廣東省佛山市2023-2024學年高二上學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市2023-2024學年高二上學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目后面的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.斜率為，且經(jīng)過點的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由點斜式方程可得，化簡可得：.故選：B.2.已知平行四邊形的頂點在橢圓上，頂點分別為的左、右焦點，則該平行四邊形的周長為（）A. B.4 C. D.8【答案】D【解析】橢圓的長半軸長，由點在橢圓上，分別為的左、右焦點，得，所以平行四邊形的周長為.故選：D3.已知是拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，且，則線段的中點到軸的距離為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】設(shè)Ax1,則，解得，所以.故選：B．4.已知雙曲線的虛軸長為，兩個頂點分別為橢圓的兩個焦點，則的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題，設(shè)雙曲線的標準方程為，則，可得，又因為雙曲線的兩個頂點分別為橢圓的兩個焦點，則，因此，雙曲線的標準方程為.故選：A.5.長為的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，則點關(guān)于點的對稱點的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)點Mx,y、、，則，可得，因為點關(guān)于點的對稱點為，則為的中點，所以，，可得，將代入可得，即，因此，點的軌跡方程為.故選：C.6.在棱長為的正方體中，點是的中點．設(shè)在上的投影向量為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，由題意可知，，所以，.故選：C.7.已知甲、乙兩人射擊的命中率分別是和．現(xiàn)二人同時向同一獵物射擊，發(fā)現(xiàn)獵物只中一槍，則甲、乙分配獵物的比例應(yīng)該是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為甲、乙兩人射擊命中率分別是和，現(xiàn)二人同時向同一獵物射擊，發(fā)現(xiàn)獵物只中一槍，只有甲打中獵物的概率為，只有乙打中獵物的概率為所以，甲、乙分配獵物的比例應(yīng)該是.故選：A.8.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為、，過且傾斜角為的直線分別交的左、右兩支于、兩點，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，取中點，連接，因為，所以，，設(shè)，因為，則，又，所以，，所以，，則，所以，，過點且傾斜角為的直線方程為，，所以，，在中，由勾股定理可得，即，①在中，，即，②聯(lián)立①②消去化簡得，所以，雙曲線的離心率．故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.在平面直角坐標系中，直線過原點，且點和點到直線的距離相等，則直線的斜率可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因為，，所以，，故、、不共線，因為直線過原點，且點和點到直線的距離相等，（1）直線，則直線的斜率為；（2）直線過線段的中點，則直線的斜率為.故選：AC.10.有個相同的球，分別標有數(shù)字、、、、，從中有放回的隨機取兩次，每次取個球．記事件為“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件為“兩次取出的球的數(shù)字相同”，事件為“兩次取出的球的數(shù)字之和是”，則（）A.與相互獨立 B.與相互獨立C.與相互獨立 D.與相互獨立【答案】ABC【解析】由題意可知，，，記第一次取出的球的數(shù)字為，第二次取出的球的數(shù)字為，其中、，用表示兩次取球的號碼，則事件包含的基本事件有：、、、、，則，事件包含的基本事件有：、、，則，事件包含的基本事件有：、、，則，事件包含的基本事件有：，則，事件包含的基本事件有：，則，對于A選項，，則與相互獨立，A對；對于B選項，，所以，與相互獨立，B對；對于C選項，，所以，與相互獨立，C對；對于D選項，，所以，與不相互獨立，D錯.故選：ABC.11.已知為數(shù)列的前項和，且，則（）A.存在，使得 B.可能是常數(shù)列C.可能是遞增數(shù)列 D.可能是遞減數(shù)列【答案】ABD【解析】因為為數(shù)列的前項和，且，對于A選項，取，則，則，A對；對于B選項，取，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，可能是常數(shù)列，B對；對于C選項，假設(shè)數(shù)列為遞增數(shù)列，則對任意的，，即，所以，對任意的恒成立，但當時，，矛盾，故數(shù)列不可能是遞增數(shù)列，C錯；對于D選項，取，則，，，猜想，，當時，猜想成立，假設(shè)當時，猜想成立，即，則當時，，這說明當時，猜想也成立，故對任意的，，此時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，D對.故選：ABD.12.設(shè)是雙曲線上的兩點，下列四個點中，可以作為線段中點的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】當直線的斜率不存在時，由雙曲線的對稱性，則中點的縱坐標為，不合題意；斜率存在時，設(shè)且中點坐枟為，將A,B代入，可得:，兩式相減可得：，設(shè)直線的斜率存在，整理可得.對于A，，直線，化簡可得，代入可得，整理可得，顯然方程無解，故A錯誤；對于B，，直線，化簡可得，代入可得，，，.由，，故B正確；對于C，，直線，化簡可得，代入可得，，，，，，故C正確；對于，直線，化簡可得，代入可得，，，，，，故D正確故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線被圓截得的弦長為______．【答案】【解析】圓心坐標，半徑，圓心到直線的距離，所以弦長的一半為，故弦長為.故答案為：14.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，在橢圓上滿足的點的個數(shù)為______．【答案】【解析】在橢圓中，，，則，若，易知原點為的中點，則，所以，點在以原點為圓心，半徑為的圓上，即點在圓上，聯(lián)立，可得，即點或，即滿足條件的點的個數(shù)為.故答案為：.15.佛山是全國著名的工業(yè)城市，這里生產(chǎn)的部分產(chǎn)品通過水路運輸?shù)饺珖酥寥澜纾聢D1是佛山一個貨運碼頭的吊機，其作用是完成集裝箱的裝船或卸船．為了研究其結(jié)構(gòu)的穩(wěn)固性，工程師把一個吊機的部分結(jié)構(gòu)（圖1中圈住部分）畫成圖2的空間幾何體．若四邊形是矩形，，，，，，，則直線與所成角的余弦值為______．【答案】【解析】在中，，，，由余弦定理可得，過點作交于點，連接，因為，，則四邊形為平行四邊形，則，，則，因為四邊形為矩形，則，則，因為，則直線與所成角為或其補角，由余弦定理可得.因此，直線與所成角的余弦值為.故答案為：.16.已知圓、均與軸相切，且均與過原點的直線相切于點，則兩圓的半徑之和為______．【答案】【解析】如下圖所示：設(shè)圓心在第一象限，設(shè)，則，可得，所以，，又因為，整理可得，因為，解得，設(shè)圓切軸于點，圓切軸于點，由圓的幾何性質(zhì)可知，，又因為，，所以，，則，同理可知，，所以，，因為，則，因為，則，，因此，兩圓半徑之和為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題．共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知點，圓上兩動點滿足，且四邊形是矩形．（1）當點在第一象限且橫坐標為3時，求邊所在直線的方程；（2）求點的軌跡方程．解：（1）設(shè)點，由，得，直線的斜率，而，所以直線的方程為，即.（2）由于線段是圓的弦，則線段的中垂線必過圓心，又線段的中垂線是矩形的對稱軸，因此該對稱軸垂直平分線段，即，顯然不重合，當重合時，點重合，則點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除點外），所以點的軌跡方程是.18.時下，一些工廠、學校、社區(qū)安裝了風力發(fā)電機組、光伏等設(shè)備，利用風、光、熱等新能源發(fā)電供自用，節(jié)約用電成本．現(xiàn)有一學校作未來兩年的用電計劃，總需求為720萬千瓦時，其中一部分可由自身的光伏設(shè)備發(fā)電滿足，剩余部分需向電網(wǎng)預(yù)購．由于受天氣、故障等不確定因素影響，從以往結(jié)果可預(yù)計光伏發(fā)電設(shè)冬每一年的發(fā)電量（單位：萬千瓦時）情況如下：發(fā)電量100120140概率0.10.40.5（1）求未來兩年光伏發(fā)電量總和的所有可能情況及對應(yīng)的概率；（2）學校應(yīng)再向電網(wǎng)至少預(yù)購多少電量才能以不低于的概率滿足未來兩年用電總需求？解：（1）設(shè)未來兩年光伏發(fā)電量總和為，所以，所以，，，，.（2）因為，，根據(jù)兩年光伏發(fā)電量的情況，只有的概率供應(yīng)萬千瓦以上，兩年光伏發(fā)電量能以的概率供應(yīng)萬千瓦以上，所以，要以不低于的概率滿足未來兩年用電總需求，學校應(yīng)再向電網(wǎng)至少預(yù)購萬千瓦的電量.19.如圖，在三棱錐中，平面平面．（1）在線段上是否存在點使得平面？并說明理由．（2）設(shè)線段和的中點分別為和，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）在平面內(nèi)過點作，由平面平面，平面平面，得平面，而，即，則直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，由，得，，假設(shè)在線段上存在點使得平面，令，，由，解得，此時，而平面，因此平面，所以在線段上存在點使得平面，為在上的投影點.（2）由（1）及分別為線段的中點，得，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，顯然平面的法向量，設(shè)平面與平面夾的角大小為，則，所以平面與平面夾角的余弦值.20.已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求的通項公式及；（2）記，求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為，由可得，可得，因，則，所以，，解得，則，所以，.所以，.（2）因為，對任意的，，所以，數(shù)列bn的前項和.21.已知橢圓的兩個焦點分別為，過的直線與相交手兩點.當平行軸時，.（1）求的方程；（2）當?shù)膬?nèi)切圓面積取得最大值時，求的方程.解：（1）由題意，橢圓過點，且，則，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）由已知，可設(shè)直線為，且，聯(lián)立整理得，，所以，，的周長為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，所以，又，所以，要使的內(nèi)切圓面積最大，則的內(nèi)切圓的半徑最大，從而只需最大，而，所以，令，則，因為，當且僅當即時等號成立，所以，即，，當時等號成立.此時，所以，所以直線的方程為.22.已知為拋物線的焦點，點在上，且滿足．（