廣東省茂名市信宜市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省茂名市信宜市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】由題意知命題“，”為存在量詞命題，其否定為全程量詞命題，即，.故選：C.2.設(shè)集合，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榧?，所以．故選：D.3.若指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則它的反函數(shù)的解析式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)指數(shù)函數(shù)且，點(diǎn)在的圖象上，所以，解得.所以，故反函數(shù).故選：A.4.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知點(diǎn)，則，則.故選：B.5.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過第三象限，則的值可以是（）A.-2 B.2 C. D.3【答案】D【解析】A：當(dāng)時(shí)，，圖像如下，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，，圖像如下，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)時(shí)，，圖像如下，故C錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，，圖像如下，故D正確.故選：D.6.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】B【解析】在上單調(diào)遞減，，，所以零點(diǎn)所在的區(qū)間是,所以該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).故選：B.7.聲強(qiáng)級(jí)（單位：dB）由公式給出，其中為聲強(qiáng)（單位：W/m2）一般正常人聽覺能忍受的最高聲強(qiáng)級(jí)為120dB，平時(shí)常人交談時(shí)聲強(qiáng)級(jí)約為60dB，那么一般正常人能忍受的最高聲強(qiáng)是平時(shí)常人交談時(shí)聲強(qiáng)的（）A.104倍 B.105倍 C.106倍 D.107倍【答案】C【解析】設(shè)一般正常人聽覺能忍受的最高聲強(qiáng)為，平時(shí)常人交談時(shí)聲強(qiáng)為，由題意得，解得，∴.故選：C.8.設(shè)甲：，乙：，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，例如，但，即推不出；當(dāng)時(shí)，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列不等式成立的有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】不妨令，則，，CD錯(cuò)誤；因?yàn)椋坏仁絻蛇呁艘缘茫?，不等式兩邊同乘以得：，故，A正確；因?yàn)?，，相乘得：，B正確.故選：AB.10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B.的值域是C.若，則 D.是增函數(shù)【答案】AB【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋礊槠婧瘮?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)函數(shù)值域?yàn)椋鶕?jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性可知，函數(shù)的值域?yàn)椋蔅正確；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，顯然等號(hào)無(wú)法取得，所以，所以，則，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋@然函數(shù)不單調(diào)，故D錯(cuò)誤．故選：AB．11.下列各式比較大小，正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】A：由于在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故，故A錯(cuò)誤；B：，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增函數(shù)，所以，故B正確；C：，，故，故C正確；D：，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知函數(shù)，，對(duì)，與中的最大值記為，則（）A.函數(shù)的零點(diǎn)為， B.函數(shù)的最小值為C.方程有3個(gè)解 D.方程最多有4個(gè)解【答案】BCD【解析】對(duì)于A，由，即，得或，所以的零點(diǎn)為和3，所以A不正確；對(duì)于B，因?yàn)榈慕鉃楹?，由與的圖象可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)榈膱D象與有3個(gè)交點(diǎn)，所以方程有3個(gè)解，所以C正確；對(duì)于D，令，因?yàn)?，由選項(xiàng)B中圖象可知，當(dāng)時(shí)，最多有2個(gè)解，，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)解；而有2個(gè)解，故最多有4個(gè)解，所以D正確．故選：BCD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)，則______.【答案】【解析】因?yàn)?，所?14.已知，，且，則ab的最大值為___________．【答案】4【解析】∵，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，整理可得，所以ab最大值為4．15.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：①對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，恒有；②在R上單調(diào)遞增.請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件的函數(shù)解析式__________．【答案】（答案不唯一）【解析】由，則可知指數(shù)函數(shù)滿足該條件要求，是上的單調(diào)遞增函數(shù)則指數(shù)函數(shù)的底數(shù)要，故均滿足題意，故答案可以是（答案不唯一）．16.有同學(xué)在研究函數(shù)的奇偶性時(shí)發(fā)現(xiàn)，命題“函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)”可推廣為：“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)”.據(jù)此，對(duì)于函數(shù)，可以判定：（1）函數(shù)的對(duì)稱中心是_____；（2）______．【答案】3033【解析】由得，令，則，即為奇函數(shù)；由題中命題可得，函數(shù)的對(duì)稱中心是；由得，則；所以.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.17.（1）求值：；（2）求值：．解：（1）原式.（2）原式.18.已知，且為第三象限角.（1）求和的值；（2）已知，求的值.解：（1）由可得，，所以，又為第三象限角，所以，，所以，.（2）利用誘導(dǎo)公式可得，將代入可得，即.19.已知集合，或，.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）將代入集合中的不等式得：，∵或，∴或，，則.（2）∵，或，當(dāng)時(shí)，；此時(shí)滿足，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)也滿足，當(dāng)時(shí)，，若，則，解得：；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù)，，設(shè).（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；（3）若，求x的范圍.解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)，，可得，則有，解可得，即函數(shù)定義域?yàn)?（2）由（1）知，函數(shù)，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，即，所以函數(shù)為定義域上的奇函數(shù).（3）由，即，則滿足且，解可得，所以x的取值范圍為.21.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)．某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量即（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費(fèi)）20x元.已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求記該水果樹的單株利潤(rùn)為（單位：元）．（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹的單株利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?解：（1）由已知.（2）由（1）得，即由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，，由基本不等式可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，綜上，當(dāng)時(shí)取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為480元.22.已知是定義在R上的奇函數(shù)，其中，且.（1）求的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（3）設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)椋?，解得，所以，，則為奇函數(shù)，所以.（2）在上單調(diào)遞減.證明如下：設(shè)，則，因?yàn)?，則，，所以，所以在上單調(diào)遞減.（3）記在上的值域?yàn)榧螦，在上的值域?yàn)榧螧，則原問題等價(jià)于，由（2）可知在上單調(diào)遞減，所以，記在區(qū)間內(nèi)的值域