廣東省深圳市龍崗區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市龍崗區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘.2．答題前，請將學(xué)校、班級、姓名和考號用規(guī)定的筆寫在答題卡指定的位置上，并將條形碼粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū).請保持條形碼整潔、不污損.3．本卷試題，考生必須在答題卡上按規(guī)定作答；凡在試卷、草稿紙上作答的，其答案一律無效．答題卡必須保持清潔，不能折疊.4．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡選擇題答題區(qū)內(nèi)對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；非選擇題答案必須用規(guī)定的筆，按作答題目的序號，寫在答題卡非選擇題答題區(qū)內(nèi).5．考試結(jié)束，請將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，由直線的方向向量可知直線的斜率，所以.故選：D.2.已知向量，，且，那么（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】由向量，，且，得，則，則.故選：C3.若雙曲線的焦距為4，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】雙曲線焦距為4，可得m+1＝4，所以m＝3，由題設(shè)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故漸近線方程為：所以雙曲線的漸近線方程為：yx．故選：A．4.數(shù)列滿足，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，所以.故選：C.5.直線與圓的公共點(diǎn)個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.不確定【答案】C【解析】因?yàn)橹本€可化為，所以直線過定點(diǎn)，而，所以該定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故直線與圓有2個公共點(diǎn).故選：C.6.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，則在上恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故.故選：A.7.已知向量與平面垂直,且經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為()A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，又與平面垂直，則是平面的一個法向量，所以到的距離為.故選：B.8.設(shè)為等比數(shù)列，則“對于任意”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】充分性：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，情形一：當(dāng)時，由得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時為遞增數(shù)列；情形二：當(dāng)，由得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時為遞增數(shù)列；必要性：反之，若為遞增數(shù)列，則，所以“對于任意的”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，由等差數(shù)列是遞增數(shù)列，則該等差數(shù)列的公差，由，則，，由，則，故A正確；對于B，由A可知，則，故B正確；對于C，由，則，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在x=0處的切線方程為B.C.函數(shù)只存在一個極小值，無極大值D.有唯一零點(diǎn)【答案】ABD【解析】，對于A，因?yàn)椋?，所以在處的切線方程為：，故A正確；對于B，，因?yàn)?，所以，故B正確；對于C，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，所以，即，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)無極值，故C錯誤；對于D，因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，且，，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)，故D正確．故選：ABD．11.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，P為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.的最小值為4 B.的最大值為4C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，【答案】AD【解析】由拋物線可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，對于A，當(dāng)直線l的斜率不存在時，方程為，代入拋物線可得所以此時；當(dāng)直線l的斜率存在時，假設(shè)直線的方程為，設(shè)將直線方程代入拋物線可得，則，所以，綜上所述，的最小值為4，故A正確；對于B，當(dāng)直線l的斜率存在時，，故B錯誤；對于C，因?yàn)镻為的中點(diǎn)，，所以，所以，則，所以，將代入可得，解得或，當(dāng)時，易得不滿足題意；當(dāng)時，，所以，故C錯誤；對于D，由易得斜率存在，由P為的中點(diǎn)可得即，所以，解得，所以，故D正確；故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為________．【答案】【解析】由題設(shè)，則，又，所以點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：13.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：的右焦點(diǎn)，若C上存在一點(diǎn)P，使得為等邊三角形，則橢圓C的離心率為______.【答案】【解析】取橢圓的左焦點(diǎn)，連結(jié)，

由為等邊三角形，則，可知為直角三角形，且，設(shè)，則，，可得，則，所以橢圓的離心率是.故答案為：.14.已知直四棱柱，底面是邊長為1的菱形，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動點(diǎn).則直線與直線所成角的正切值的最小值為___________.【答案】【解析】連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L為1的菱形，且，所以，故為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則⊥，，則⊥，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，故，設(shè)直線與直線所成角為，則，令，則，當(dāng)，即，時，取得最大值，最大值為，此時，為最小值，由于在上單調(diào)遞增，故此時為最小值，又在上單調(diào)遞增，故所成角的正切值的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15已知圓與圓.（1）若圓與圓相內(nèi)切，求的值；（2）在（1）的條件下，直線被圓截得的弦長為，求實(shí)數(shù)的值.解：（1），，，，，，，，圓與圓相內(nèi)切，，，.（2）由（1）得，圓的方程為，，，故圓心到直線的距離，.16.在正三棱柱中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角余弦值．解：（1）連接，與交于點(diǎn)F，連接，則F為的中點(diǎn)．因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．（2）取的中點(diǎn)D，連接，則，．又平面，所以底面，底面，所以，則可以E為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，，所以，，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，即．設(shè)平面的法向量為，則，取，即，則，即平面與平面夾角的余弦值為．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）令，得因?yàn)椋ǎ裕ǎ?，兩式相減得（，），即．所以（，），所以，即，所以（，），又，符合上式，所以（）．（2）由（1），所以．18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且垂直于軸．（1）求橢圓的方程；（2）直線斜率存在，交橢圓于兩點(diǎn)，三點(diǎn)不共線，且直線和直線關(guān)于對稱．（?。┳C明：直線過定點(diǎn)；（ⅱ）求面積的最大值．解：（1）點(diǎn)在橢圓上，且垂直于軸，則有F1,0設(shè)橢圓的焦距為，則，點(diǎn)代入橢圓方程，有，解得，則，所以橢圓的方程為.（2）（?。┰O(shè)直線l的方程為，由，消去y，整理得，因?yàn)閘交橢圓C于兩點(diǎn)，所以，設(shè)Ax1,因?yàn)橹本€和直線關(guān)于對稱，所以k所以所以解得.所以直線l的方程為，所以直線l過定點(diǎn).（ⅱ）設(shè)直線l的方程為，由，消去，整理得，因?yàn)閘交橢圓C于兩點(diǎn)，所以，解得，，所以，所以令則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以面積的最大值為.19.已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，記，其中為常數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，①求的取值范圍；②求證：.解：（1）定義域?yàn)?，，，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，則，解得，令，則，解得，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時