廣西名校2025屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西名校2025屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若復(fù)數(shù)，，則（）.A. B. C.2 D.5【答案】A【解析】.故選：A.2.已知函數(shù)定義域?yàn)?，則命題：“函數(shù)為偶函數(shù)”是命題“，滿足”的（）.A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若為偶函數(shù)，則有，充分性滿足；若，則有.，即，而為奇函數(shù)，因此必要性不滿足.故命題：“函數(shù)為偶函數(shù)”是命題“，滿足”的充分不必要條件.故選：A.3.已知向量，的模相等且夾角為，若向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)（）.A. B. C. D.2【答案】D【解析】由，則，即，即.解得.故選：D.4.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元農(nóng)戶比率估計為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【答案】C【解析】因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計值.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為,故A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為,故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間比例估計值為,故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.故選：C.5.已知，分別為軸、軸上的動點(diǎn)，若以線段為直徑的圓過點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)時，直線斜率不存在，此時直線斜率為，所以，，，當(dāng)時，有，即，整理得：，經(jīng)檢驗(yàn)在直線上，所以的軌跡方程為：.故選：B.6.設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即為偶函?shù)，當(dāng)時與，與均在上單調(diào)遞增，所以與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則不等式等價于，即，解得或，即不等式的解集為.故選：B.7.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，是球O的直徑.若平面平面，，，球O的體積為，則三棱錐的體積為（）A.9 B.18 C.27 D.36【答案】A【解析】如圖，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，是球O的直徑O為中點(diǎn)，∴，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，設(shè)，由球O的體積為，可得，則，∴三棱錐的體積為9，故選∶A．8.如圖，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點(diǎn).若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的，兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和，且，，則的離心率為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】連接，，根據(jù)題意，，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線.，且由知，故.所以.可設(shè)，，.由于，故.從而，，故，.在中，由余弦定理得，，解得，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9已知，函數(shù)，則（）.A.關(guān)于直線對稱B.的最大值為C.在上不單調(diào)D.在，方程（為常數(shù)）最多有3個解【答案】BC【解析】若，則，即，即，若，則，即，即，故，故的大致圖象如圖，對于A：由圖象可得不關(guān)于直線對稱，故A錯誤；對于B：由圖象可得的最大值為，故B正確；對于C：當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C正確：對于D：由圖象，當(dāng)時，方程在有4個解，故D錯誤.故選：BC.10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為上的動點(diǎn)（與均不重合），且點(diǎn)位于第一象限，過點(diǎn)向軸作垂線，垂足記為點(diǎn)，點(diǎn)，則（）A. B.C.的最小值為 D.△OMN面積的最小值為2【答案】ABD【解析】對于A選項(xiàng)，由題意知，故，所以，故A正確；對于B選項(xiàng)，由題意知軸，所以，所以，又，即，故B正確；對于C選項(xiàng)，由拋物線的性質(zhì)知，，因此當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，此時，即，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立得，故，，因此，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線距離為，所以△OMN的面積為，當(dāng)時，△OMN的面積取最小值2，故D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，則（）A.至少有一個零點(diǎn)B.存在，使得有且僅有一個極值點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對稱中心D.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】對A：由，當(dāng)時，，故在上必有零點(diǎn)，即至少有一個零點(diǎn)，故A正確；對B：若存在，使得有且僅有一個極值點(diǎn)，則有唯一變號零點(diǎn)，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，二次函數(shù)在上不可能有唯一變號零點(diǎn)，故不存在，使得有且僅有一個極值點(diǎn)，故B錯誤；對C：，有，故點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C正確；對D：，當(dāng)，，由，則，故在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.在單調(diào)遞增的等差數(shù)列中，若，，則__________.【答案】0【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，又因?yàn)?，且?shù)列單調(diào)遞增，可得，，則公差，所以.故答案為：0.13.已知，則的值為__________.【答案】【解析】由，得，則，即得，即，則.故答案為：.14.甲、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績?yōu)?2分，方差為90分；乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為60分．那么甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績是______分，方差是______分．【答案】①.80②.【解析】甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績?yōu)榉?，方差為故答案為?0，四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）求函數(shù)的最小值.解：（1），所以函數(shù)的圖象在處的切線斜率.又，切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)的最小值為.16.在中，角所對的邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若的面積為，且，求的最小值.解：（1）由正弦定理得，即，由余弦定理可得，因?yàn)锽∈所以.（2）由已知，所以.因?yàn)?，所以，可得，所以，又，?dāng)且僅當(dāng)，時取等號，所以的最小值為.17.如圖，在四棱錐中，是以為斜邊等腰直角三角形，，，平面平面，.（1）證明：．（2）為的中點(diǎn)，求直線BM與平面所成角的正弦值.（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，，因?yàn)椋?，，所以四邊形為正方形，所以，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切危?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，可得，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線BM與平面所成角的正弦值為.18.隨著春季學(xué)期開學(xué)，某市市場監(jiān)管局加強(qiáng)了對學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動“大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學(xué)有A，B兩個餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學(xué)9天6天12天3天張老師

6天6天6天12天假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計概率．（1）估計一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．（1）解：設(shè)事件C為“一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，因?yàn)?0天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為，所以．（2）解：由題意知，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.3，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，張老師午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2，張老師午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.4，記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，則X的所有可能取值為1、2，所以，，所以X的分布列為X12P0.10.9所以X的數(shù)學(xué)期望（3）證明：由題知，所以，所以，所以，即：，所以，即.19.記直線為橢圓的上準(zhǔn)線.已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上有一點(diǎn)，記到上準(zhǔn)線的距離為，且是與的等差中項(xiàng).（1）當(dāng)取最大值