高頻考點(diǎn)題型歸納28等差數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和【教師版】

高中數(shù)學(xué)精編資源的等差中項(xiàng).（5）等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即成等差數(shù)列.（6）兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列．（7）若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列．四、高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型考點(diǎn)一、等差數(shù)列的基本量例1.（2021·全國(guó)高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【解析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2019·江蘇高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是_____.【答案】16.【解析】由題意可得：，解得：，則.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.（2021·上海民辦南模中學(xué)高三三模）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，則的最小值是___________.【答案】5【解析】若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，公差，從而表示出，根據(jù)其單減性，求得最小值.【詳解】若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，則公差，故為正整數(shù)，關(guān)于d單減，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不符；故的最小值為5，故答案為：5對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3.中國(guó)古詩(shī)詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言”．題意是：把996斤綿分給8個(gè)兒子作盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿，那么第8個(gè)兒子分到的綿是()A．174斤 B．184斤C．191斤 D．201斤【答案】B【解析】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，公差為d＝17，n＝8，S8＝996，以第一個(gè)兒子分到的綿數(shù)a1為首項(xiàng)，所以8a1＋eq\f(8×8－1,2)×17＝996，解得a1＝65，所以第8個(gè)兒子分到的綿數(shù)a8＝a1＋(n－1)·d＝65＋7×17＝184.故選B.考點(diǎn)二、等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用例2.（2021·北京高考真題）和是兩個(gè)等差數(shù)列，其中為常值，，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知條件求出的值，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由已知條件可得，則，因此，.故選：B.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2019·浙江高三期末）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則______；當(dāng)取得最大值時(shí)，______．【答案】01009或1008【解析】，，，，，，，，，故當(dāng)取得最大值時(shí)，或，故答案為：0，1009或1008．考點(diǎn)三、前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用例3.【多選題】（2021·全國(guó)高三其他模擬）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（）A．B．的前項(xiàng)和中最小C．的最小值為-49D．的最大值為0【答案】BC【解析】由已知條件先計(jì)算出和，然后計(jì)算的值對(duì)A進(jìn)行判斷；求出的表達(dá)式，計(jì)算出最小值即可對(duì)B進(jìn)行判斷；求出的表達(dá)式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出最小值判斷C選項(xiàng)；求出的表達(dá)式對(duì)D進(jìn)行判斷.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，則

解得，，A錯(cuò)誤；

，當(dāng)n=5時(shí)取得最小值，故B正確；

，設(shè)函數(shù)，

則，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以，，且，，

所以最小值為-49，C正確；，沒(méi)有最大值，D錯(cuò)誤．故選：BC對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2021·湖北省直轄縣級(jí)行政單位·高三其他模擬）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和最大.則當(dāng)時(shí)，___________.【答案】【解析】首先根據(jù)題意求出，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)即可求解.【詳解】解：由題意可知，，解得，又，則，所以，.由，得，解得或(舍)，故故答案為：20.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.（2020·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)（理））設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，，…，中最大的項(xiàng)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵等差數(shù)列前n項(xiàng)和，由S15>0，S16<0，得，∴，若視為函數(shù)則對(duì)稱軸在之間，∵，∴Sn最大值是，分析，知為正值時(shí)有最大值，故為前8項(xiàng)，又d＜0，遞減，前8項(xiàng)中遞增，∴前8項(xiàng)中最大最小時(shí)有最大值，∴最大．考點(diǎn)四、證明等差數(shù)列例4-1.（2021·全國(guó)高考真題（理））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得.【詳解】（1）由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對(duì)于n=1不成立,∴.例4-2.（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）將已知遞推關(guān)系移項(xiàng)配方整理可得，進(jìn)而利用等差中項(xiàng)法證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）利用裂項(xiàng)求和法求和化簡(jiǎn)后即得證.【詳解】解：（1）由結(jié)合數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)得則，所以數(shù)列是等差數(shù)列；（2），則公差∴，∴.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2021·全國(guó)高考真題（文））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】先根據(jù)求出數(shù)列的公差，進(jìn)一步寫出的通項(xiàng)，從而求出的通項(xiàng)公式，最終得證.【詳解】∵數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，滿足，∴的通項(xiàng)公式為，∴∴是等差數(shù)列.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.【2019·全國(guó)II卷】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（I）證明：{an–bn}是等差數(shù)列；{an+bn}是等比數(shù)列，（II）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.【答案】（I）見(jiàn)解析；（2），.【解析】（1）由題設(shè)得，即．又因?yàn)閍1–b1=l，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．由題設(shè)得，即．又因?yàn)閍1+b1=l，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）知，，．所以，?？键c(diǎn)五、數(shù)學(xué)文化小型應(yīng)用題例5.（2021·全國(guó)高三其他模擬（文））我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問(wèn)：各該鈔若干？其意思是：現(xiàn)有錢238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人，現(xiàn)在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問(wèn)各人各得錢多少？在這個(gè)問(wèn)題中，戊所得錢數(shù)為（）A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫【答案】A【解析】由題意知甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人所得錢數(shù)組成等差數(shù)列，由等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)列方程組即可求出所要的結(jié)果.【詳解】解：依次記甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人所得錢數(shù)為a1，a2，a3，a4，a5，由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可記公差為d，依題意得：，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得錢數(shù)為30.8貫.故選：A.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2021·哈爾濱市第一中學(xué)校高三三模（理））習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對(duì)青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開(kāi)展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（單位萬(wàn)元，），每年開(kāi)展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為（）A．72萬(wàn)元 B．96萬(wàn)元 C．120萬(wàn)元 D．144萬(wàn)元【答案】C【解析】本題可設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后根據(jù)題意得出五年累計(jì)總投入資金為，最后通過(guò)基本不等式即可求出最值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，五年累計(jì)總投入資金為：，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為120萬(wàn)元，故選：C.鞏固訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，則a3等于()A．－2B．0C．3D．6答案：A解析：a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2，故選A.2．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11＝（）A．58 B．88 C．143 D．176答案：B解析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，．3．是等差數(shù)列，，，則該數(shù)列前10項(xiàng)和等于（）A．64 B．100 C．110 D．120答案：B解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由a1+a2=4，a7+a8=28，可得：解方程組可得.故選：B4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．8答案：C解析：設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.5．程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩(shī)云“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言．務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”意為：996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)開(kāi)始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止．分配時(shí)一定要等級(jí)分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為()A．65B．176C．183D．184答案：D解析：根據(jù)題意可知每個(gè)孩子所得棉花的斤數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得8a1＋eq\f(8×7,2)×17＝996，解得a1＝65.由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為184.6．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－2018，eq\f(S2019,2019)－eq\f(S2013,2013)＝6，則S2020＝________.答案：2020解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列．設(shè)其公差為d，則eq\f(S2019,2019)－eq\f(S2013,2013)＝6d＝6，∴d＝1.故eq\f(S2020,2020)＝eq\f(S1,1)＋2019d＝－2018＋2019＝1，∴S2020＝1×2020＝2020.二、多項(xiàng)選擇題7．設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，則下列結(jié)論正確的是()A．d<0 B．a(chǎn)7＝0C．S9>S5 D．S6與S7均為Sn的最大值答案：ABD解析：S6＝S5＋a6>S5，則a6>0，S7＝S6＋a7＝S6，則a7＝0，則d＝a7－a6<0，S8＝S7＋a8<S7，a8<0.a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5＝S9，由a7＝0，a6>0知S6，S7是Sn中的最大值．從而ABD均正確．8．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式成立的是（）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．答案：ABC解析：對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；對(duì)于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，，，．當(dāng)時(shí)，，∴即；當(dāng)時(shí)，，∴即，所以，D不正確．三、填空題9．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2a4a6a8=120，且+++=，則S9的值為．答案：解析：由題意得+++=+++=，則2(a2+a8)=14，即a2+a8=7，所以S9==(a2+a8)=．10．已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足=3n2an+，an≠0，n≥2，n∈N*，那么a=．答案：3解析：在=3n2an+中，分別令n=2，n=3及a1=a，得(a+a2)2=12a2+a2，(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2，因?yàn)閍n≠0，所以a2=12-2a，a3=3+2a．因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a1+a3=2a2，即2(12-2a)=a+3+2a，解得a=3．經(jīng)檢驗(yàn)a=3時(shí)，an=3n，Sn=，Sn-1=，滿足Sn2=3n2an+Sn-12．所以a=3．11．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，當(dāng)整數(shù)n≥2時(shí)，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，則S15＝________．答案：211解析：由Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2S1＝2，即an＋1－an＝2(n≥2)，所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起構(gòu)成等差數(shù)列，則S15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211．12．設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，則eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)的值為_(kāi)_______．答案：eq\f(19,41)解析：∵{an}，{bn}為等差數(shù)列，∴eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)＝eq\f(a9,2b6)＋eq\f(a3,2b6)＝eq\f(a9＋a3,2b6)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(a6,b6)．∵eq\f(S11,T11)＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(2×11－3,4×11－3)＝eq\f(19,41)，∴eq\f(a6,b6)＝eq\f(19,41)．二、解答題13．已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3·a4＝117，a2＋a5＝22．(1)求an和Sn；(2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且bn＝eq\f(Sn,n＋c)，求非零常數(shù)c．解析：(1)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a3＋a4＝a2＋a5＝22．又a3·a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的兩實(shí)根，又公差d＞0，∴a3＜a4，∴a3＝9，a4＝13，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝9，,a1＋3d＝13，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝4.))∴通項(xiàng)公式an＝4n－3．∴Sn＝na1＋eq\f(n(n－1),2)×d＝2n2－n．(2)由(1)知Sn＝2n2－n，∴bn＝eq\f(Sn,n＋c)＝eq\f(2n2－n