人教版八年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題專練：冪運算壓軸題的三種考法（解析版）

專題06塞運算壓軸題的三種考法

類型一、比較大小

例.已知4=2?6=332,C=424,則以b、c的大小關(guān)系為()

A.aVb^cB.aVc^bC.Zr<aVcD.c^b^a

【答案】B

【分析】逆運用幕的乘方法則，把服b、c都寫成一個數(shù)的8次方的形式，比較底數(shù)得結(jié)論.

【詳解】解：-.■?=240=(25)8=328,

fo=332=(34)8=818

24388

C=4=(4)=64,

32<64<81,

:.a<c<b,

故選：B.

【點睛】本題考查了整式的運算，掌握幕的乘方法則是解決本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1】.已知4,。2，。3，…“2015均為負數(shù)，M—(。］+%+...+電014)(。2+“3+…+%015)，

N=(q+%+…+。2015)(。2+。3+…+。2014),則M與N的大小關(guān)系是()

A.M=NB.M>NC.M<ND.無法確定

【答案】B

【分析】根據(jù)換兀法將，設(shè)X=4+“2+…+°2014，y=+。3+…+”2015，則”=孫，

N=(X+02o］5)(y-4015)，作差即可求得大小關(guān)系.

【詳解】設(shè)了=%+。2+…+a2014,y=a2+a3+...+tz2015,

則M=孫，

N=(x+a2m5)(y-a2m5)=xy+a20l5(y-x)-a20l^,

M一N=-02015(y-x-goB)=o1a2015

由于％,。2,43,…。2015均為負數(shù)

所以q%oi5為正數(shù)，則用一"二4的^>。，

M>N.

故選：B.

【點睛】本題考查整式的混合運算，熟練掌握運算法則是關(guān)鍵，解答時注意運用整體思想,

屬難題.

【變式訓(xùn)練2］已知a=355,6=4",C=533,則。、氏c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

【答案】A

【分析】把。、仇c三個數(shù)變成指數(shù)相同的累，通過底數(shù)可得出。、b、c的大小關(guān)系.

【詳解】解:加=(35)ii=243%b=(4與ii=256%c=(53)11=12511,

又回125<243<256,

Blc<a<b.

故選：A.

【點睛】本題考查了累的乘方的逆運算，解答本題關(guān)鍵是掌握累的乘方法則，把各數(shù)的指數(shù)

變成相同.

【變式訓(xùn)練3】34。_43。(填“>或"=")

【答案】>

【詳解】因3g(34)10=81-43。=(43)1。=64叱81>64,可得8。。>64】。,所以34。>43。.

點睛：此題考查了幕的乘方.解此題的關(guān)鍵是將將34。與43°變形為同指數(shù)的幕.

【變式訓(xùn)練4］比較52M2+620,與72012的大小.

【答案】72012>52012+62012.

【分析】先比較52。12+62。12<62。12+62。22=2*62。12,再比較72。12>2乂62。%即可得出結(jié)論.

［詳解】052O12+62O12<62O12+62O12=2X62O12=2X63X62OO9=432X62OO9=93312X62O06,

72012=73X72009=343X72009=117649X72006,

072O12>2X62O12>52O12+62O12.

20122012

【點睛】此題考查了有理數(shù)的大小比較，難點在于得出52012+62012<2X62012,7>2X6.

類型二、化簡求值

33

例.已知100"=20，1000*=50,則的值是()

22

59

A.0B.—C.3D.—

22

【答案】A

【分析】利用同底數(shù)哥乘法、幕的乘方等法則進行計算，即可得出答案.

【詳解】解：0100"=20，1000〃=50，

0(lO2)a-(lO3)fc=20x50,

01O2a-lO36=lOOO,01020#=10\132a+36=3,

3333

Sa+-b=~,^a+-b--=0,

2222

故選：A.

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕乘法、幕的乘方等知識點，熟練掌握相關(guān)運算法則以及逆運算

是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1】.已知2"=3,3〃=2,則義+工=_____.

a+1b+1

【答案】1.

【分析】利用幕的乘方與同底數(shù)累相乘，得到2。+7=2儂2=6,3次，=3左3=6,進而得到

6貴.65=6長七=6，求出答案即可.

【詳解】解：02a+/=2?x2=3x2=6,

33+7=36x3=2x3=6,

1111

團(2"+i)而=6肅=2，(3"i)麗:6而=3，

111____1

回6商.6詞=6k+詞=2x3=6，

111

團---+----=1.

Q+1Z?+1

故答案為：L

【點睛】本題考查幕的乘方與同底數(shù)神相乘，掌握幕的乘方與同底數(shù)幕相乘的運算法則是解

題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2］.若""=20,6"=20,ab=20,則竺土.

mn

【答案】1

［分析］先根據(jù)仍=20可得anbn=20",再結(jié)合6"=20可得a"=20"-,由此結(jié)合a"1=20可

得am+n=amn=20",由此可得加+〃=加，進而可求得答案.

【詳解】解：回。6=20,

回(")"=20",

即a"b"=20",

毗=20,

團420=20",

團/=20”-1,

又回a"'=20,

Eam+n=am-a"=20x20"-1=20",amn=(a'")"=20",

^am+n=a,nn,

^\m+n=mn,

mnmn

故答案為：1.

【點睛】本題考查了累的運算，熟練掌握同底數(shù)嘉的乘除法法則及幕的乘方法則是解決本題

的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】.已知2。=5=10,判斷口"的大小關(guān)系.

【答案】a+b=ab.

【分析】利用幕的乘方和積的乘方將式子化簡得到：（2。）"=2"=10，（5”=5""=10",

10"x10〃=10"〃=5"x2昉=（5x2）""=10妨，即可求出a+6和ab的大小關(guān)系.

【詳解】解:回2"=5〃=10,

回Q。）"=2。"=10",（5〃）"=5"=10",

團10"x10〃=10"+"=5ahx2ab=（5xif=10",

^\a+b=ab.

【點睛】本題考查累的乘方和積的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幕的乘方和積的乘方，求出

10"*10%=10“+"=5"X2奶=（5x2）""=10".

類型三、新定義問題

例.閱讀下列材料：一般地，〃個相同的因數(shù)。相乘。,4…，記為優(yōu).如2x2x2=23=8,此

時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為log28（即log？8=3）.一般地，若a"=b（。>0且"1,

b>0）,則w叫做以a為底b的對數(shù)，記為log*（BPlogflb=n.如3d=81,則4叫做以3

為底81的對數(shù)，記為logs81（即log381=4）.

（1）計算以下各對數(shù)的值：/意24=,log^6=,log,64=.

（2）寫出（1）/og/、/意216、/og264之間滿足的關(guān)系式.

⑶由（2）的結(jié)果，請你能歸納出一個一般性的結(jié)論：log“M+log“N=（°>0且"1,

M>0,N>0）.

⑷設(shè)a"=N,am=M,請根據(jù)幕的運算法則以及對數(shù)的定義說明上述結(jié)論的正確性.

【答案】⑴2,4,6

（2）log24+log216=log,64

⑶log“（MN）

⑷證明見解析

【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的定義求解；

（2）認真觀察，即可找到規(guī)律：4x16=64,log24+log216=log264.,

（3）由特殊到一般，得出結(jié)論：logaM+logaN^loga（MN）.

（4）設(shè)log〃M=4，log“N=%,根據(jù)同底數(shù)塞的運算法則：峻.優(yōu)=曖+"和給出的材料證

明結(jié)論.

【詳解】（1）回2?=4，24=16,2s=64

0/og24=2,/ogJ6=4,log264=6,

故答案為：2,4,6；

（2）04x16=64,log14=2,log216=4,fog264=6,

ElZog24+/og216=/og264,

故答案為：bg24+/og216=/og264；

（3）由（2）的結(jié)果可得/og〃M+/og“N=/oga（M?V）,

故答案為：log°（MN）.

（4）設(shè)log“M=61,log〃N=62，

則泊=M,0b2=N

^MN=ab'abl

回4+b2=iogaCMN）,

國IogaM+logaN=loga（MN）.

【點睛】本題是開放性的題目，難度較大.借考查同底數(shù)幕的乘法，對數(shù)，實際考查學(xué)生對

指數(shù)的理解、掌握的程度；解題的關(guān)鍵是要求學(xué)生不但能靈活、準(zhǔn)確的應(yīng)用其運算法則，還

要會類比、歸納，推測出對數(shù)應(yīng)有的性質(zhì).

【變式訓(xùn)練1】閱讀理解：規(guī)定兩數(shù)。，6之間的一種運算，記作（。力）；如果第=6,那么

（a,b）=c.例如:因為23=8,所以（2,8）=3.

（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：

①（4,16）=；

②若=貝l]x=；

③若（一3,y）=4,則,=.

⑵若（4,7）=。，（2,3）=%（4,63）=c.請?zhí)剿鱝,b,c之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

【答案】①①2；②2；③81

（2）a+b=c

【分析】（1）根據(jù)規(guī)定的運算法則結(jié)合有理數(shù)的乘方和負整數(shù)指數(shù)累解答即可；

（2）由題意可得出4"=7,2"=3,40=63,結(jié)合7x3?=63,即得出4"xQ"）?=4。，再根

據(jù)察的乘方及其逆用法則和同底數(shù)累乘法的逆用法則計算即可求解.

【詳解】（1）解：①回42=16,

0（4,16）=2.

故答案為：2；

②回2-5$,

回x=2.

故答案為：2；

③團(-3)4=81,

團y=81.

故答案為：81.

(2)解：0(4,7)=0,(2,3)=6,(4,63)=c,

回4"=7,2"=3,4。=63.

07x32=63,

回4"x(2")2=4。，

回4"><4'=平，

團平+。=4C,

團a+b=c.

【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方,負整數(shù)指數(shù)哥,神的乘方及其逆用，同底數(shù)幕乘法的逆用.理

解題意，掌握新規(guī)定的運算法則是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】如果x"=y,那么我們規(guī)定(%?=".例如：因為42=16,所以(4,16]=2.

(1)(-2,16]=；若(2,y]=6,貝”=；

⑵已知(4,12]=a,(4,5]=Z>,(4,y]=c,若a+方=c,求>的值；

⑶若(5,10]=匹(2,10]=6,令公言.

①求磊的值；

②求r的值.

【答案】⑴4,64

(2)y=60

(3)@^=—;@1=2

16〃100

【分析】(1)由(-2)4=1,可直接得出(一2,16]=4；由26=64,可得出y=64；

(2)由題意可得出4"=12，4"=5,4C=y.根據(jù)a+Z?=c,得出4""=4'，即4"-4'=4°，

進而即可求出'=12x5=60；

(3)①由題意可得出50=10,2"=10，再根據(jù)25"=(51=(5")2=100,

16fc=(24)"=(2fc)4=10000,即可求出言=$5；②根據(jù)(5")"=10"，即得出5"=10J結(jié)

合題意可得出(5,101=a6.由①知5"=2〃=10,即得出5""=5"5=2"x5"=10J進而得

出(5,10"]=a+6,即說明他=。+6,代入/=空中求值即可.

【詳解】(1)解：?.?(-2)4=16,

二(-2,16]=4；

1.-(2,y]=6,且2$=64,

y=64.

故答案為：4,64；

(2)解：?.,(4,12]=a,(4,5]=Z?,(4,y]=c,若a+b=c,

:.4a=12-4=5,4c=y.

a+b=c,

4a+b=4C，BP4a-4b=4C

y=12x5=60；

(3)解：①?.?(5,10]=a,(2,10]=Z7,

.-5=10,2"=10,

25"=(52)"=(5a)2=102=100,16"=(24)"=(2"『=(10)4=10000,

,25a_100_1

■10000WO；

②?.?(5"))=10”，

.?5〃=10\

二(5,101=".

由①知：5"=2"=10,

.-.5a+b=5a-5b=2bx5b=lOb,

.?.(5,l(/]=a+6,

:.ab=a+b,

lab

；.t=------=2.

a+b

【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方，積的乘方與其逆用，幕的乘方與其逆用.熟練掌握各運算

法則是解題關(guān)鍵.

課后訓(xùn)練

1.計算(-0.125)2°2。*(2嚴6。的結(jié)果是()

A.1B.-1C.8D.-8

【答案】A

【分析】將(2嚴6?；癁?8嚴2。使兩個募的指數(shù)相同，再利用積的乘方逆運算進行計算.

2020

【詳解1(-0.125嚴2°X(2)6060=(-0.125產(chǎn)2°X(8嚴2。=(_o.125X8)=1,

故選：A.

【點睛】此題考查幕的乘方逆運算，積的乘方逆運算，熟記公式是解題的關(guān)鍵.

2.已知2>2.3,+2=3643,貝！|x=.

【答案】8.

【分析】根據(jù)積的乘方和事的乘方的逆運算，把等式變形，根據(jù)指數(shù)相同求解即可.

【詳解】解：2'"2.3"2=36"-3,

根據(jù)積的乘方和幕的乘方，等式可變形為：(2x3)A2=(62)i,

即6V+2=62X-6,

x+2=2x-6,

解得，x=8

故答案為：8.

【點睛】本題考查了哥的運算的逆運算，解題關(guān)鍵是把等式恰當(dāng)變形，依據(jù)底數(shù)相同，指數(shù)

也相同列方程.

3322

3.已知(7=2255,6=33，c=55,d=66,則。、b、c、d的大小關(guān)系是()

A.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>c>dD.a>d>b>c

【答案】A

【分析】先變形化簡a=2255=(225)”,6=33"=(334尸，C=5533=(553)U,d=66?2=(662)”,

比較11次累的底數(shù)大小即可.

3331122211

【詳解】因為a=22$5=(225尸,6=33*=(334尸,c=55=(55),J=66=(66),

32

5555uu/5、2UU25、，

因為—,~55x———55x(一)=55x—>1,

66-66-636

所以553>662,

所以(553)”>(662尸，

故5533>6622即c>d；

同理可證a>b,b>c

所以a>b>c>d,

故選A.

【點睛】本題考查了塞的乘方的逆運算，熟練掌握暴的乘方及其逆運算是解題的關(guān)鍵.

4.己知2"=3,20，2。=12,現(xiàn)給出3個數(shù)6,c之間的四個關(guān)系式：①a+c=2b；②4+6=2c-3；

③b+c=2a+3；@b=a+2.其中，正確的關(guān)系式是___（填序號）.

【答案】①②③

【分析】根據(jù)同底數(shù)嘉的乘法法則即可求出。、氏c的關(guān)系，代入各式驗證即可.

【詳解】解：回2"=3,2b=6,2C=12.

E2flx22=3x4=12,2fcx2=6x2=12,2。=12，

Ela+2=6+l=c,

即b=a+l,c=b+l,c=a+2,

于是有：@a+c=a+a+2=2a+2,2b=2a+2,

所以a+c=2b,因此①正確；

（2）a+b=a+a+1=2a+1,2c-3=2a+4-3=2o+l,

所以a+6=2c-3,因此②正確；

（3）b+c=a+l+a+2=2a+3,因此③正確；

④6=a+l,因此④不正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③三個，

故選：C.

【點睛】本題考查同底數(shù)嘉的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練運用同底數(shù)塞的乘法法則，得出。、

b、c的關(guān)系.

5.已知5,=160,32'=160,貝1|（-2022）（1）（1）-1=.

【答案】1

【分析】本題的思路是將等式兩邊化成同底數(shù)幕，推出指數(shù)相等.由于5義32=160,因此對

等式5工=160兩邊同時取y次方，可以得到5P=160＞，再把160換成5x32得到5町=5,x32,，

接著把32,換成5,（都等于160）得到5邛=5'+\從而推出孫=x+y,最后對（-2022）（1（-

中的指數(shù)去括號，整體代入可得結(jié)果.

【詳解】解：05X=16O,

回（5*）＞=160，回5?=（5x32），=5Vx32＞

回5'=160,32y=160,

E5Ay=5vxl60=5-vx5':-5%+y,

^xy=x+y,

國（一2022）（IX,T）T=（-2022）孫=（-2022）所飆＞）=（-2022）0=1.

故答案為：L

【點睛】本題考查同底數(shù)塞的乘法，積的乘方，幕的乘方，將等式兩邊化成同底數(shù)嘉，推出

指數(shù)相等是解題的關(guān)鍵.

6.比較大小:430340(填"或

【答案】＜

【分析】根據(jù)塞的乘方，底數(shù)大于1時，根據(jù)指數(shù)越大暴越大，可得答案.

【詳解】解:430=(43)10=6410,340=(34)10=8110,

064＜81,

06410＜8110.

即43。＜3領(lǐng)，

故答案為：＜.

【點睛】本題考查了幕的乘方與積的乘方，利用累的乘方化成同指數(shù)的募是解題關(guān)鍵.

7.閱讀材料：3,的末尾數(shù)字是3,3Z的末尾數(shù)字是9,3、的末尾數(shù)字是7,3,的末尾數(shù)字是1,

聿的末尾數(shù)字是3……,觀察規(guī)律,34"+1=(34)"X3,即的末尾數(shù)字是1,回(31的末尾數(shù)字

是1,回?4)"X3的末尾數(shù)字是3,同理可知，3皿+2的末尾數(shù)字是9,3,"+3的末尾數(shù)字是7.解

答下列問題：

(1)3202)的末尾數(shù)字是一，142期的末尾數(shù)字是」

⑵求22022的末尾數(shù)字；

⑶求證：1223+372°18能被5整除.

【答案】⑴3,6；

(2)4；

⑶證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)閱讀材料中的結(jié)論可知32以的末尾數(shù)字；根據(jù)閱讀材料中提供的方法，可

得142角的末尾數(shù)字是4,14所的末尾數(shù)字是6,于是得解；

(2)先將22022化成(24)5—4,再利用⑵產(chǎn)=弁?的