人教版八年級數(shù)學(xué)下冊專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平行四邊形（知識歸納+10題型突破）（原卷版）

第十八章平行四邊形（知識歸納+10題型突破）

課標(biāo)要求

1.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它們之間的關(guān)系.

2.探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法，并能運(yùn)用這些知識進(jìn)行有關(guān)的

證明和計(jì)算.

3.掌握三角形中位線定理.

基礎(chǔ)知識歸納

知識點(diǎn)一、平行四邊形

1.定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

2.性質(zhì)：（1）對邊平行且相等；（2）對角相等；鄰角互補(bǔ)；（3）對角線互相平分；（4）中心對稱圖形.

3.面積：S平行四邊形=底x圖

4.判定：邊：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

角：（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;

（5）任意兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形.

邊與角：（6）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形;

對角線：（7）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

特別說明：平行線的性質(zhì):

（1）平行線間的距離都相等；（2）等底等高的平行四邊形面積相等.

知識點(diǎn)二、矩形

1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

2.性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個(gè)角都是直角；（3）對角線互相

平分且相等；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.

3.面積：S矩形=長義寬

4.判定：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

BC

（2）對角線相等的平行四邊形是矩形.

（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

特別說明：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：

（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

（2）直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.

知識點(diǎn)三、菱形

1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

2.性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條

對角線平分一組對角；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.

一南吉—對角線義對角線

3.面積：S菱形一底x局j----------------

4.判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

（3）四邊相等的四邊形是菱形.

知識點(diǎn)四、正方形

L定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.

2.性質(zhì)：（1）對邊平行；（2）四個(gè)角都是直角；（3）四條邊都相等;

（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；

（5）兩條對角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；

（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.

3.面積：S正方形=邊長X邊長=；X對角線義對角線

4.判定：（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；

（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；

（3）對角線相等的菱形是正方形；

（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；

（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；

（6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.

重要題型

【題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求解】

例題：在平行四邊形ABC。中，ZA=130°,則/C=（）

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在YABCD中，AD=8,AB=5,DF平分/ADC交邊BC于點(diǎn)F,則3尸=（）

AD

BF

A.2B.2.5C.3D.3.5

2.如圖，在平行四邊形ABC。中，ACIBC,E為A3的中點(diǎn)，若CE=2,則CD的長為（）

AD

T

BC

A.2B.3C.4D.5

3.（2023秋?山東泰安?八年級?？计谀┤鐖D,收過平行四邊形A3CD對角線的交點(diǎn)。，交AD于點(diǎn)E,

交8C于點(diǎn)尸，貝I：

4E

BFC

?OE=OF；

②圖中共有6對全等三角形；

③若A3=5,AC=6,貝!]2＜皮＞＜14；

④S四邊形ABfE=S&ABC；

其中正確的結(jié)論有（）

A.①④B.①②④C.①③④D.①②③

4.（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=7,CD=4,BE平分/ABC交AD

于點(diǎn)E,則DE的長為

【題型二判斷能否構(gòu)成平行四邊形】

例題：能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A.AB//CD,AD=BCB.ZA=ZB,NC=ND

C.AB=CD,AD=BCD.AB=AD,CB=CD

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，四邊形ABC。的對角線交于點(diǎn)。，下列哪組條件能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（

A.OA=OC,AC=BDB.OB=OA,OD=OC

C,AB//CD,AD=BCD.ZABC+ZBAZ）=180°,/BCD=/BAD

2.如圖，下列四組條件中，不能判定四邊形A3CZ）是平行四邊形的是（）

A.AB=CD,AD=BCB.AB//CD,AD〃BC

C.AB//CD,AD=BCD.AD〃BC,AD=BC

3.在下列給出的條件中，能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）

A.AB//CD,AD=BCB.ZA=/B,NC=ND

C.AB=AD,CB=CDD.AB=CD,AD=BC

【題型三添一個(gè)條件成為平行四邊形】

例題：已知：如圖，AB//CD,線段AC和BO交于點(diǎn)0,要使四邊形ABC。是平行四邊形，還需要增加的

一個(gè)條件是:（填一個(gè)即可）.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E、尸分別在2C、上，要使四邊形BED尸是平行四邊形，還需要增

加的一個(gè)條件是.

2.如圖，在平行四邊形ABC。中，8。是對角線，E,尸是對角線上的兩點(diǎn)，要使四邊形AFCE是平行四邊

形，還需添加一個(gè)條件（只需添加一個(gè)）是.

【題型四利用平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合】

例題:如圖，四邊形ABC。中，垂直平分AC,垂足為點(diǎn)尸，E為四邊形ABC。外一點(diǎn)，且=

AEA.AC.

（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；

⑵如果ZM平分NBDE,AB=3,AD=4,求AC的長.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在YABCD中，ZC=60°,M、N分別是A。、3c的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形是平行四邊形；

(2)若BC=2CD,MN=1,求3D的長.

2.如圖，點(diǎn)8、E分別在AC、。尸上，A尸分另ij交8。、CE于點(diǎn)M、N,ZA=ZF,Z1=Z2.

(1)求證：四邊形BCED是平行四邊形;

(2)已知。E=2,連接BN,若BN平分'/DBC,求CN的長.

3.如圖，在YABCD中，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)兄連接BE,BEJ.AF.

(1)求證：4ADE沿/XFCE；

(2)求證：AE平分NIMB；

⑶若NZMB=60。，AB=4,求YA3CD的面積.

【題型五利用矩形的性質(zhì)求角度或線段長】

例題：如圖，矩形ABC。的對角線AC,8。相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作OEL3Z),交AD于點(diǎn)E,若ZACB=20。,

則NAOE的大小為

【變式訓(xùn)練】

1.在矩形ABCD中，作/3的平分線交直線AD于點(diǎn)E,則NBED是度.

2.如圖，四邊形A3CD是矩形，點(diǎn)E在線段AD的延長線上，連接8E交8于點(diǎn)尸，NBEC=2NAEB,點(diǎn)

G是8尸的中點(diǎn)，若DE=1,BF=10,則A3的長為

3.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊8C的中點(diǎn)，連接AE并延長，交DC的延長線于點(diǎn)兒連接AC、

BF.

(1)求證：AABEm乙FCE；

(2)當(dāng)四邊形ABFC是矩形時(shí)，若NAEC=110。，求/。的度數(shù).

4.如圖，在矩形ABCD中，8。是對角線，BE、。產(chǎn)分別平分/4BD、ZCDB,交邊AD、BC于點(diǎn)E、

F.

(1)若3E=2,ZABE=30°,求3。的長.

(2)求證：AE=CF.

【題型六矩形的性質(zhì)與判定綜合問題】

例題：如圖，在AABC中，AB=AC,AO平分交2C于點(diǎn)分別過點(diǎn)A、￡＞作AE〃、DE〃AB,

AE與DE相交于點(diǎn)E,連接CE.

(1)求證：AE=BD-,

(2)求證：四邊形ADCE是矩形.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，將YABCD的邊AB延長到點(diǎn)E,^BE=AB,連接DE交邊BC于點(diǎn)H

(1)求證：ABFD^ACFE；

(2)^ZA=1ZEFC,判斷四邊形BECD的形狀，并證明你的結(jié)論.

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊BC,AD上，BE=DF,ZAEC=90°.

(1)求證：四邊形A￡CF是矩形；

(2)連接8尸，若AB=6,ZABC=60°,環(huán)平分/ABC,則平行四邊形ABCD的面積為

【題型七利用菱形的性質(zhì)求角度或線段長】

例題：如圖，菱形ABCD中，已知NASD=20。，則NC的大小是

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在菱形ABCD中，BELAS交對角線AC于點(diǎn)E,若/。=120。，BE=1,貝|AC=

2.如圖，在菱形ABCD中，AC與30相交于點(diǎn)。，AB的垂直平分線所交AC于點(diǎn)尸，連接。尸，若

440=80。，則/￡)歹O的度數(shù)為

D

3.如圖，在菱形ABC。中，40=12,ZJ?CD=60°,E是4。中點(diǎn)，BE交AC于點(diǎn)、F,連接￡（尸，則D尸的

長為.

4.如圖，菱形A8CO的邊長為2,ZABC=60°,對角線AC與8。交于點(diǎn)。，E為OB中點(diǎn)、,尸為AZ）中點(diǎn),

連接，則防的長為.

5.如圖，已知四邊形ABCD是菱形，且于點(diǎn)E,AF_LCD于點(diǎn)尸.

⑴求證：AE=AF；

⑵若AB=10,CE=4,求菱形ABC。的面積.

【題型八菱形的性質(zhì)與判定綜合問題】

例題：如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AB=BC,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,3D平分NABC,過

點(diǎn)。作DE_L3C,交BC的延長線于點(diǎn)E,連接OE.

(1)求證：四邊形A3CE>是菱形；

(2)若。C=2>/?,AC=4,求0E的長;

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，平行四邊形42。的對角線AC,3D相交于點(diǎn)。，且AE〃即，BE//AC,OE=AB.

(1)求證：四邊形A3CD是菱形.

⑵若NADC=60。，BE=2,求的長.

2.如圖，平行四邊形ABCD中，AB=6cm,BC=10cm,/3=60。，點(diǎn)G是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AD上

的動(dòng)點(diǎn)，EG的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)f，連接CE,DF.

(1)求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

(2)①直接寫出：當(dāng)AE=cm時(shí)，四邊形CEZ邛是菱形(不需要說明理由);

②當(dāng)AE=cm時(shí)，四邊形CEE不是矩形，請說明理由.

【題型九利用正方形的性質(zhì)求角度或線段長】

例題：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)尸為邊C。上一點(diǎn)，8尸與AC交于點(diǎn)E.若/C3尸=20。，則4￡E＞的

大小為度.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，正方形ABC。中，ZOAC=ZODA,則NAOD=

2.如圖，四邊形ABC。是正方形，以BC為邊在正方形內(nèi)部作等邊APBC,連接B4,則440=

3.如圖，在正方形ABCD中，尸為對角線3D上一點(diǎn)，過尸作PEL3c于E,P/FCD于尸，若PE=3,P產(chǎn)=4,

則AP=.

4.己知在矩形ABC。中，BC=\2,AB=10,四邊形EFG8的三個(gè)頂點(diǎn)E、RG、”分別在矩形ABC。

的邊A3、BC、D4上，AE=2.