人教版高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（原卷版）

二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

考點(diǎn)儕單

1;;■二■一元二次不等式的概念

二次（函數(shù)，方程，不等式）也?三個(gè)二次之間的關(guān)系

不含參數(shù)的一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法

函參數(shù)的一元二次不等式的解法

【清單01】四個(gè)二次的關(guān)系

判別式△=/—4acA>0A=0A<0

二次函數(shù)y-ax1++c（a〉01LL衛(wèi)

的圖象Xi\to/x2X

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

b沒(méi)有實(shí)數(shù)根

ax1+bx+c=0（a>0）的根根石，x（x<x）

2121-la

!b、

2(

ax+&v+c>0(a>0)的解集{x\x<玉或X>x2}{x\x^--}R

2a

2

ax++c<0(a>0)的解集{x\xr<x<x2}00

【清單02]一元二次不等式的解法

（1）先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；

（2）寫(xiě)出相應(yīng)的方程"2+樂(lè)+C=0（。>0）,計(jì)算判別式A：

①A>0時(shí)，求出兩根西、x2,且再</（注意靈活運(yùn)用十字相乘法）；

②A=0時(shí)，求根X]=x=—■—；

22a

③A<0時(shí)，方程無(wú)解

（3）根據(jù)不等式，寫(xiě)出解集.

【清單03】分式不等式的解法

①移項(xiàng)化零：將分式不等式右邊化為0：

②用<0=/(力g(合0

③黑>0o/(x).g(x)>0

/(x)-g(x)<0

g(x)g(x)豐0

/(x)-g(x)>0

g(x)g(x)豐0

量型精單

【考點(diǎn)題型一】一元二次不等式（含參）的求解（二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)）

形如:x2+mx+〃<0（x2+mx+n<0）或—+加x+〃〉o（x2+mx+n>0）

核心方法：十字相乘法+分類(lèi)討論法

【例1】1.（24-25高一上?甘肅武威?期中）解下列不等式：

（1）-2X2+5X+7>0;

【變式1-1］（24-25高一上?甘肅白銀?期中）解不等式:

(1)2X2-X-3>0

【變式1-2］（24-25高一上?四川成都?期中）求解不等式X2-4X+3<0,并利用數(shù)軸表示解集.

【考點(diǎn)題型二】一元二次不等式（含參）的求解（二次項(xiàng)系數(shù)含參）

形如：ax2+mx+72<0（ax2+mx+M<0）或ax2+mx+?>0（ax2+mx+?/>0）

核心方法：十字相乘法+分類(lèi)討論法

【例2】（24-25高一上?上海嘉定?期中）（1）已知實(shí)數(shù)加<0,解關(guān)于x的不等式

mx2+（1-m）x+m-2<m-\.

【變式2-1］（24-25高一上?北京?期中）分別求下列關(guān)于x的不等式的解集：

（1）x?+（a—2）x—2aW0.

【變式2-2］（24-25高一上?福建漳州?期中）已知/■（x）=ax2-（a+2）x+b（a,beR）

⑴若不等式〃幻<0的解集為（T3）,求a,方的值；

（2）若42,且">0求關(guān)于x的不等式〃x）>0的解集.

【變式2-3］（24-25高一上?廣西南寧?階段練習(xí)）解關(guān)于x的不等式ax2-（a+4）x+420（aeR）.

【考點(diǎn)題型三】一元二次不等式（含參）的求解（不能十字相乘法）

核心方法：A法

【例3】（24-25高一上?廣東廣州?期中）設(shè)函數(shù)/（X）—%2+（JX+3-a,

⑴對(duì)Vxe［-2,1］,/（x”0恒成立，求”的取值范圍.

（2）解不等式/（x）+（a-1）/+a>0.

【變式3-1］（24-25高一上?四川成都?階段練習(xí)）已知函數(shù)/■（x）=ax2+2x+3（aeR）.

⑴若關(guān)于x的不等式/（x）>（a-l）x+3-?解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）解不等式/（x）>0.

【考點(diǎn)題型四】一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系

b

X］+I2=---------

核心方法：根與系數(shù)的關(guān)系：a

C

X1X2~一

Ia

【例4】（多選）（24-25高一上?廣東潮州?期中）已知不等式爾+反_6<0的解集為卜卜3<x<2},下列

說(shuō)法正確的是（）

A.。<0；

B.-3,2是方程辦2+法一6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

C.b=l；

D.不等式/_法-2心0的解集為{x|x4-l或尤22}.

【變式4-1］（24-25高一上?上海?期中）已知關(guān)于x的不等式^z+bx+cNO的解集為,2,求不等式

ex2+bx+a<0的解集.

【變式4-2］（24-25高一上?陜西西安?期中）若不等式x2+ax+b<0的解集為卜卜1<工<2},則4+6=_

不等式以+辦+1<0的解集為

【考點(diǎn)題型五】解分式不等式

【解題方法】轉(zhuǎn)化為一元二次不等式

【例5】（24-25高一上?吉林?期中）不等式二<2的解集是（）

x+2

A.（-8,-2）B.（-?>,-8）U（-2,+?）

C.（-8,+co）D.（-co,-2）U（8,+<?）

【變式5-1］（24-25高一上?福建三明?期中）不等式”2r-l20的解集是（）

x+4

A.{X\-4<X<MB.{x\x<-4^x>-}

22

C.{x|x<-4^x>|}D.{x\-4<x<^}

【變式5-2]（24-25高一上?上海?期中）不等式子士>。的解集為_(kāi)___.

2x+5

【考點(diǎn)題型六】一元二次不等式在人上恒（能）成立

核心方法：△判別法+分類(lèi)討論法

【例6】（24-25高三上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期中）已知關(guān)于x的不等式V-20>0的解集為R,則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是.

3

【變式6-1]（24-25高一上?廣東深圳?期中）一元二次不等式2區(qū)2+質(zhì)-2<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則人的

O

取值范圍是.

【變式6-2]（24-25高一上?福建廈門(mén)?期中）“不等式-2/+丘一?<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，，，則左的取值范

O

圍為_(kāi)______.

【考點(diǎn)題型七】不等式在區(qū)間。上恒（能）成立

核心方法：變量分離法+基本不等式+對(duì)勾函數(shù)

【例7-1]（24-25高一上?湖南長(zhǎng)沙?期中）若不等式/一笈+1<0對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)，的取值

范圍為（）

55八10

A.tN—B.t>—C.￡22D.t>—

223

【例7-2]（24-25高三上?四川成都?階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax2—2x+3a<0在（0,2]上有解，則實(shí)

數(shù)”的取值范圍是（）

【變式7-1]（24-25高一上?北京大興?期中）若不等式V-伍+2）》+20〈0對(duì)任意的工€[-1,1]恒成立，貝！

的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.[-1,+<?）C.[-1,2]D.（-?>,-1]

【變式7-2]（24-25高一上?北京?期中）命題"Vxw[l,2],x1-ax+\<0”為假命題的一個(gè)充分不必要條件

是.

【考點(diǎn)題型八】一元二次不等式的實(shí)際問(wèn)題

核心方法：分解因式解不等式

【例8】（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）單板滑雪是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，如圖，若&）=48m,某運(yùn)

動(dòng)員自起跳點(diǎn)3起跳后的運(yùn)動(dòng)軌跡（虛線部分）可近似看作一元二次函數(shù)圖象，運(yùn)動(dòng)員豎直高度了（單位:

m）與距離起跳點(diǎn)的水平距離x（單位：m）近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-由/+%+48（x>0）,則運(yùn)動(dòng)員豎

直高度不低于48m時(shí)，水平距離最多為m.

個(gè)豎直高度訓(xùn)'m

出發(fā)點(diǎn)....

3起跳點(diǎn)\

48m

D水平距毒￡1

【變式8-1](23-24高一上?陜西?階段練習(xí))某禮服租賃公司共有300套禮服供租賃，若每套禮服每天的

租價(jià)為200元，則所有禮服均被租出；若將每套禮服每天的租價(jià)在200元的基礎(chǔ)上提高10%元(14x420,

xeZ),則被租出的禮服會(huì)減少10x套.若要使該禮服租賃公司每天租賃禮服的收入超過(guò)6.24萬(wàn)元，則該禮

服租賃公司每套禮服每天的租價(jià)應(yīng)定為()

A.220元B.240元C.250元D.280元

【變式8-2](23-24高一上?湖南株洲?階段練習(xí))某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其年產(chǎn)量為x萬(wàn)件時(shí)利潤(rùn)為R(x)

萬(wàn)元.

⑴當(dāng)0<xW35時(shí)，年利潤(rùn)為R(x)=-gx2+20x+250,若公司生產(chǎn)量年利潤(rùn)不低于400萬(wàn)時(shí)，求生產(chǎn)量x

的范圍；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)x>35時(shí)，年利潤(rùn)為R(x)=-gx-?+520.求公司年利潤(rùn)及(x)的最大值.

【考點(diǎn)題型九】一元二次不等式中的新定義問(wèn)題

【例9】(23-24高一?江蘇)定義兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)加(x),"(x)的定義域?yàn)镹,B,若對(duì)任意的

X^A,均存在使得,="(%)，我們就稱(chēng)加(x)為“(X)的“子函數(shù)”.

(1)^/(X)=X2-X(O<X<2),g(x)=x+l(-2<x<2),判斷/(x)是否為g(x)的“子函數(shù)”,并說(shuō)明理由;

[1X>1

⑵若尸(耳=/-2辦+l(OVxV2)是G@)=尤'?一的“子函數(shù)”，求a的取值范圍.

|x+l|,-5<x<\

【變式9-1](23-24高三下?四川)設(shè)M表示函數(shù)/(x)=--4x+2|在閉區(qū)間/上的最大值.若正實(shí)數(shù)

滿(mǎn)足叫。,“小2M[郎],則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.2—^3,—B.12-6,1]C.[2,2+6]D.[2+V3,4]

\b,a>b

【變式9-2](23-24高二上?廣東廣州)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,定義函數(shù)/(。*)=/已知函數(shù)

[a,a<b

f(x)=x2-mx+n,g(x)=2|x-11,記H(x)二尸(/(現(xiàn)g(x)).

(1)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式〃》)28(2)+〃-5恒成立，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍；

⑵若2m-〃=2,且加w[6,+8),求使得等式H(x)=/(x)成立的x的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，求"(x)在區(qū)間[0,6]上的最小值.

提升訓(xùn)練

一、單選題

1.(24-25高一上?陜西寶雞?期中)若不等式ax^bx+oO的解集為門(mén)卜2<x<1},則不等式ax2+bx+c>0

的解集為()

A.{止l<x<2}B.{止C.{x|-2<x<2}D.{x|-l<x<3}

2.(24-25高一上?北京?期中)已知不等式x>”對(duì)任意的xe[1,2卜恒成立，則實(shí)數(shù)"的取值范圍是

a—\

()

A.B.(-2,1)

C.(-oo,-2)U(l,+oo)D.

3.(24-25高一上?云南文山?階段練習(xí))已知關(guān)于x的一元二次不等式Y(jié)+樂(lè)+。K0的解集為{^|2<x<4},

則關(guān)于x的不等式cf+bx+iwo的解集為()

A.\——x<――B.1x|2<x<4j

C.{x\-4<x<-2}D.

4.（24-25高一上?河北石家莊?期中）若存在xwR,使得不等式以廠戶(hù)成立,則實(shí)數(shù)膽的取值范圍

x—2x+3

為（）

A.{m|m>2}B.{m|m<0}C.{m\m<2}D.{m|m<2}

5.（24-25高一上?福建泉州?期中）已知不等式ax2-10x+6a<0的解集為{x[2<x<3},且不等式

（加、2加-3b2+（"?+1卜+。>0對(duì)于任意的xeR恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

6.（24-25高一上?廣東珠海?期中）命題“WeR,使加x；-（加+3）x0+加<0”是假命題，則實(shí)數(shù)，"的取值

范圍為（）

A.m<0B.m<—\C.m>3D.m>3

7.（24-25高一上?吉林長(zhǎng)春?期中）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,V滿(mǎn)足4x+y=2盯，且不等式x+-加有解，

4

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.-1<m<2B.m<-2,或加>1

C.-2<m<1D.m<-l9或根>2

8.（24-25高一上?河南駐馬店?階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式（/_1卜2_2辦+1<0恰有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)

數(shù)〃的取值范圍是（）

14,5—5,4〕f3/4T4/31

A.Sa—一<a<—一或一WQ<一,B.Sa一一

1344,3J|2

—"1或D.k一43〕

-<a<一]或1?（2<—>

二、多選題

9.（24-25高一上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）不等式-法+c>0的解集是卜卜2<》<1},則下列選項(xiàng)正確的

是（）

A.b<0且c>0

B.不等式6x-c>0的解集是{x|x>2}

C.a+b+c>0

D.不等式蹂2+式+c>0的解集是{止l<x<2}

10.（24-25高一上?全國(guó)?期中）已知關(guān)于x的不等式爾+bx+c>0解集為{42<無(wú)<3},則（）

A.a<0B.a+b+c〉O

C.b-\—N2-\/6D.CY+6X+Q>O的解集為

c

三、填空題

3X_1

11.(24?25高一上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))不等式—>1的解集為_(kāi)______.

2-x

12.(24-25高一上?云南昆明?期中)若“土41,2],f一?+此。，，為假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為一

四、解答題

13.(24-25高一上?江蘇南京?階段練習(xí))已知函數(shù)/(0=亦2+2x+6+l,a,beR,g(x)=x-l.

⑴若關(guān)于x的不等式/(x)>。的解集為{x|x<-4或無(wú)>2},求實(shí)數(shù)。，6的值；

(2)當(dāng)6=0時(shí)，〃x)圖像始終在g(x)圖象上方，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)當(dāng)a=l時(shí)，若對(duì)任意王e[-2,2],總存在馬4-2,2],使得g(再)=/(%)成立，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

14.(24-25高一上?浙江杭州?期中)設(shè)函數(shù)/