平面向量-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案（含答案）

專題三平面向量

【題型分析】

考情分析：

1.平面向量的線性運算常與平面向量數(shù)量積結(jié)合命題.

2.平面向量數(shù)量積的運算及其應(yīng)用是高考的熱點，主要以小題的形式考查.

題型1平面向量的線性運算

典例精析

例1(1)(2022年新高考全國/卷)在^ABC中，點。在邊AB上，BD=2DA.記

CA=m,~CD=n,則而=().

鼠3m-2nB.-2m+3n

C.3m+2nD.2m+3n

(2)(2024年天津卷)在邊長為1的正方形ABCD中，E為線段CD的三等分點，

CE=*E,BE=XBA+fiBC，則丸+〃=；R為線段BE上的動點，G為AR

的中點，則泰?麗的最小值為.

方法總結(jié)：

1.利用共線向量定理解題的策略

(l)a〃0cz=%(厚0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想

的運用.

(2)當(dāng)兩個向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.

(3)若a與》不共線且&則7=〃=0.

(4)耐=丸南+〃瓦(九〃為實數(shù))，若A,B,C三點共線，貝lp+〃=L

2.解決向量問題的兩個常見思路

⑴解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能

熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.

⑵在求向量時要盡可能將向量轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形

法則、三角形法則、三角形中位線定理及相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的

性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.

跟蹤訓(xùn)練

1.已知等邊AABC的邊長為1,D,E分別為AB,3C的中點，若而=3而，則

AF=().

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

C.^AB+ACD.|AB+|ZC

2.在△ABC中，已知反=3而，P為線段AD的中點，若加=丸瓦＜+〃前，則

11

廣廠---------

題型2平面向量數(shù)量積的運算

典例精析

例2(1)(2024年新高考全國〃卷)已知向量a,b滿足⑷=1,\a+2b\=2,且(尻

2a)Lb,則|加=().

A」B*cZD.l

222

(2)如圖，在△ABC中，NR4c=60。，\AB\=6,\AC\=3,AM=2MB，CN=NM,則

A/V-CB=().

17

A.-9B.-C.9D.18

2

方法總結(jié)：

1.平面向量數(shù)量積的兩種運算方法

(1)定義法：當(dāng)向量的模和夾角已知時，可利用定義法a-0=|a||6|cos＜a,Z?＞求解,

適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題.

⑵坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若0=（X1,

州），6=（x2,竺），則a-b=xiX2+yiyi.

2.靈活運用平面向量數(shù)量積的幾何意義

根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若6為非零向量，則cos<a,匕>=黑（夾角公

\a\\b\

式），乃=0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度、垂直問題.

3.計算向量的模的方法

（1）當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時，可用模的計算公式.

（2）利用⑷及（。廿）2=|。|2里。乃+|加2,把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算.

⑶幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形

法則作出向量，再利用余弦定理等公式求解.

遜跟蹤訓(xùn)練

1.（原創(chuàng)）如圖，在△A3C中,A3=AC,點。在線段A3上，且滿足AD=CD=3C=2,

則宿麗=（）.

A.."B.-l+V5C,V5D號

2.（原創(chuàng)）在矩形ABCD中，AC=m,平面內(nèi)一動點P滿足AP=〃，則麗?麗的取值

范圍為.

【真題改編】

1.(2024年新高考全國/卷，T3改編)已知向量。=(1,1),6=(2,x),c=(0,1),

若a〃。，則cQ-4c)=().

A.lB.-lC.-2D.2

2.（2024年全國甲卷,理科T9改編）已知向量。=（x+l,x）,b=（x-l,3x）,則（）.

A.的充分條件是“九=2”

的必要條件是

?！?。〃。”的充分條件是“%=0”

口.2〃?！钡谋匾獥l件是％=-2”

3.(2023年全國甲卷，文科T3改編)已知a+b=(5,3),a-b=(l,-1),則cos<a,

b>=().

屋B.四C陋D班

5555

4.(2023年全國甲卷，理科T4改編)已知向量a,0,c滿足|a+b|=|a￡=|c|,⑷=|加,

且cos<a,c>=cos<b,c><0,若a-c=-l,則|a|=().

A.4B.2C.V2D.l

5.(2024年新高考全國〃卷，T3改編)已知非零向量a,6滿足⑷=新\a+4b\=2,

且(a-e)，。，則。在6上的投影向量為().

A.bB.-b

C.2bD.-2b

6.(2023年新高考全國〃卷，T13改編)已知向量a,b滿足|2a+0|=|2a6|,

\a+2b\=\^a-b\,則斗=.

\b\

【最新模擬】

(總分：83分單選題每題5分，多選題每題6分，填空題每題5分)

Q強基訓(xùn)練

1.在梯形A3CD中，AB//CD,且A3=2CD,“是3c的中點，則俞=().

A.|四］而荏+|同

C.AB+|ADD.|AB+|AD

2.已知G是△A3C的重心,M是線段AC的中點，若南=丸荏+〃就，則丸+〃=().

1111

A.-B.-C,--D.-—

126612

3.已知單位向量a,6滿足|。力|=1,則。在匕方向上的投影向量為（）.

11

A.-bB.bC-aD.-a

22

4.已知向量a=（m，2機+3）,b=（l,4m+l）,則“機=-，是“。與人共線”的（）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

5.已知向量a,b滿足|。-勿=心，|a+b|=|2a-0|,則|。|=（）.

A.lB.V2C.2D.V3

6.已知。為坐標(biāo)原點，平面向量力5=（1,1）,5（-2,2）,則向量版與赤夾角的余

弦值為（）.

A.返B.—C,—D,—

5555

7.多選題已知G是△ABC的重心，0,尸是△ABC所在平面內(nèi)的兩個不同的點，

且滿足函+礪+沆，則（）.

A.。，P,G三點共線

>11■--->

B.0P=20G

C.20P=AP+RP+CP

D.點尸在△ABC的內(nèi)部

8.如圖，在矩形A3CD中，E為3c的中點，AE與3。交于點R若將同=a,

彳5=0作為平面向量的一組基底，則向量方可表示為.（用a,人表示）

9.已知AB為圓/+>2=1的一條直徑，尸為直線尤-y+2=0上任意一點，則與?而

的最小值是.

能力提升

10.多選題蜜蜂的巢房是令人驚嘆的天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它

的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形

組成），巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖，這是一個蜂巢的正六邊形開口

ABCDEF,它的邊長為1,P是ADER內(nèi)部（包括邊界）的動點，則（）.

A---->--->1.—?

A.DE=AF--AD

B.ACBD=4-

C.若尸為ER的中點，則而在無上的投影向量為-VI前

D.lFE+FPI的最大值為近

11.多選題已知等邊^(qū)ABC的邊長為2,AD=2DC，AE=EB，BD與CE交于點F,

則（）.

A.BD=|B2+1BC

B.CF=|CE

CJD-CE=-2

D.前在阮方向上的投影向量為*BC

6

12.已知正方形ABCD的邊長為1,點P滿足前=7近（A0）.當(dāng)丸=；時,

AC-VD=；當(dāng)齊時，麗?麗取得最大值.

創(chuàng)新思維

13.（原創(chuàng)）已知向量a=6,2sin忌b=（Lcos（|哈））,且a_L。,則sin（

2。+詈）=（）.

14.（原創(chuàng)）已知0是△ABC所在平面上的一點，且OA=OB=OC,若AB=2y[3,

AC=4,則而就=.

15.（原倉1J）已知|a+6|=12,cos<a,b>=cos<c+a,c-b>=^,則|c|的最大值為.

16.（湘教版必修第二冊P65T22改編）在四邊形ABCD中，AD=BC=（1，同,

晅+衛(wèi)=匹，則至BC的星巨離/?=

.40..4n..AC.AD------------

參考答案

專題三平面向量

分類突破題型分析

題型1平面向量的線性運算

例1（1）B（2號磊

【解析】（1）因為30=204,所以荏=3而，所以

~CB=CA+AB=CA+2>AD=CA+3(AC+'CD)=-2CA+3'CD=-2m+3n.t^B.

(2)因為CE=#>E,所以濯*則屐=就+*=［瓦<+阮，

可得7=：,〃=1,所以7+〃=*

由題意可知I阮1=1瓦?1=1,~BA-~BC=0,

因為歹為線段3E上的動點，所以可設(shè)前=左前瓦1+猊，左G[0,1],

則族=AB+BF=AB+kBE=（爭1刖+kBC.

又因為G為AR的中點，所以說=萬彳+正=-阮強-1）瓦＜+（與1）前,

可得喬而=[&）而+砒]以河市+91）至]

=鴻1戶喧1）=淞凱奈

又左?[0,1],所以當(dāng)左=1時，泰?而取得最小值，最小值為士.

lo

跟蹤訓(xùn)練

1.B

【解析】如圖，因為。，E分別為AB,BC的中點，DF=3EF,

所以前《麗=：尼’所以標(biāo)=版+而=：(荏+元)芯=9同+,而

Z4Z4N4

2.10

【解析】如圖，由虎=3麗，得前=之前.

4

因為P為線段A。的中點，所以前［而+，麗4而+，阮.

ZZZo

XBP=^BA+MBC,~BA，就不共線，所以7=1〃=：,所以：+；=2+8=10.

ZoAM

題型2平面向量數(shù)量積的運算

例2(1)B(2)C

【解析】(1)因為S-2〃)_Lb,所以(Z?-2Q)”=0,即b2=2a-b.

又因為|〃|=1,\a+2b\=2,所以(〃+2Z?)2=l+4〃為+4Z?2=1+6Z?2=4,解得⑸二學(xué)故選

B.

⑵因為前《前+，前仁樂同，CB=AB-AC，

^T^Z1V-CB=(|JC+|AB)-(AB-ZC)

=—AB2AB'ACAC2=12+—x6x3x——-=9.

3OLo，，

跟蹤訓(xùn)練

l.A

【解析】由圖可得尼~BD=AC-(BC+CD)=AC-~BC+AC-'CD=\AC\-\BC\cosZACB-

就I?而卜cosNACD=|福-cosNABC黃弓前F=3前6而匕設(shè)AC=X>2,因

為A3=AC,AD=CD=BC=2,所以△ABCS^CB。，則白Z,解得尸1+武或

2x_2

X=1-倔舍去)，所以前?麗=1逐

2.[r^-mn,r^+mn]

【解析】

~PB~PD=(PA+AB>(PA+AD)=P22+PA-(AB+AD)+AB-AD=PA2+PA-AC=n2+mncos

<AC，PA>，

因為」Wcos<而，PA><1，

所以A耳萬5?-機小r^+mn].

分類突破真題改編

l.C

【解析】因為。〃瓦所以x=2,所以。-4c=(2,-2),cQ-4c)=-2.故選C.

2.C

【解析】若小人，則。"=0,所以(x+l>(x-l)+3x2=0,即4%2-1=0,解得兀=±±

對于A,充分性不成立，必要性也不成立，故A錯誤.

對于B,必要性不成立，充分性成立，故B錯誤.

若a〃。,則3x(x+l)=x(x-l),解得x=0或x=-2.

對于C,充分性成立，必要性不成立，故C正確.

對于D,必要性不成立，充分性成立，故D錯誤.故選C.

3.C

【解析】因為。+。=(5,3),a-b=(l,-1),所以。=(3,1),b=(2,2),

則⑷="32+12\b\=V22+22=242,40=3x2+1x2=8,

所以cos<tz,b>=~^=:廳=萼故選C.

?ci|?D?V10X2V25

4.D

【解析】因為|。+勿二|。-勿,所以〃乃=0,由⑷=|勿，cosva,c>=cos<Z?,c><0,可

知<〃，c>=<b,半，由|。|二網(wǎng)，\a-^b\=\a-b\=\c\,得|〃|二|例=S匕|,設(shè)

42

\a\=\b\=^-\c\=m,則℃=&??><(_苧)=1,所以⑷=機=1.

故選D.

5.D

【解析】因為(。-必)_1_瓦所以06=加.

又|Q|=2,|〃+4"=2,LU|4z+4/?|2=6z2+86z-Z?+16Z?2=4+(8/l+16)/22=4,

依題意可知b2=\b\2^0,則82+16=0,

故丸=-2,所以a-b=Xb2^\a\-\b\cos<a,b>=-2\b\2,

__h

即|Q|COS<Q,b>=-2\b\,所以〃在b上的投影向量為|Q|COS<〃，Z?>.再=.2b.故選D.

6.匹

5

【解析】因為|2〃+川=|2〃-勿,BP(2a+Z?)2=(2a-b)2,所以a?Z?=0.

2

又因為+2勿=14adi,即(Q+26)2=(4a-b),

所以。2+4。0+4b2=16。2-8。乃+/?2,整理得反力足，所以用二在.

ri5

分類突破最新模擬

。庭t尋山囹i

1.D

【解析】依題意可得

AM=^AB+^AC=^AB+^(AD+~DC)=^AD+^AB+^AB=^AB+^AD.

ZZZZZ4Z4Z

2.C

L1GM-BMAC-AB)——AB+^AC>所以丸=-[,〃=、，2+〃=-

D。。乙KJUDU

1

-

6.

3.A

【解析】因為a,6是單位向量，所以⑷=1,|。|=1.由|ad|=l得|a-0|2=i,即。2一

2。0+〃=1,所以a-b=^,貝I］。在6方向上的投影向量為|a|cos<a,5>餐=哈導(dǎo)=4.

2四p|四2

4.A

【解析】向量a=("z,2m+3),人=(1,4m+1),若a與b共線，則m(4m+l)-(2m+3)=0,

解得機=-,或m=l,所以“加=乎是"a與b共線”的充分不必要條件.

44

5.D

【解析】由|a-"|=g,可得。2一206+抉=3,①

由|a+0|=|2a-0|,可得a2+2a-b+b2=4a2-4a-b+b2,

整理得戶2a0=0,代入①MZP=3,解得⑸=g.

6.C

【解析】由8(-2,2)可得向量礪=(-2,2),^AB=OB-OA^AB=(-3,1)，

貝U萬?麗=(-2)x(-3)+2xl=8,因此cos＜同，麗＞=祟*=~^后=婆.

|T4B||OB|V1UXV85

7.AC

【解析】欲=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC=3OG+GA+GB+GC，

因為G為△ABC的重心，所以襦+蒲+前=0,所以而=3而，

所以。，P,G三點共線，故A正確，B錯誤；

AP+BP+CP=AO+OP+BO+OP+CO+OP=(AO+BO+CO)+3OP，

因為麗=OA+OB+OC,所以(而+BO+CO)+3OP=-OP+3OP=2OP,

即2OP=AP+BP+CP,故C正確；

因為方=3次，所以點P的位置隨著點0位置的變化而變化，故點P不一定在

△A3C的內(nèi)部，故D錯誤.

【解析】^AD//BE,得符號2,所以”=挺，所以格|荏=|(地+荏

9.1

【解析】因為方?麗=(而+瓦5)?(而+元)=|而1213gl2,所以當(dāng)0P垂直于直線

x-y+2=0時，刀?麗的值最小，最小值為(或)242=1.

10.AD

[WtfflDE=DA+AF+~FE=:AD+AF+^AD=AF-^~AD,A正確;

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

則W，-豹,3體-豹,C（l,0）,嗚當(dāng)，￡（4豹,H-1,0）,

乙N乙N乙N乙乙

可得前=（|，苧），麗=（0,可）,所以前.前=|，B錯誤;

由題意可知CELER,若P為所的中點，則而在阮上的投影向量為-前，C錯

誤；

設(shè)尸（x,y）,可知-1W燼［0<y<^,

則而=（：，苧）,FP=（x+l,y）,可得而+而=（x+*>+岑），

則I屋+而匚J（x+|）2+（y+爭2,

可知當(dāng)X=:產(chǎn)即點P與點。重合時，|而+而|的值最大，最大值為近，D

乙Z

正確.

11.BCD

【解析】由平面向量線性運算可得麗=阮+而=或+9潟=就+/瓦5-

BC）=|BC+|B1,A錯誤；

以E為坐標(biāo)原點，EA，無的方向分別為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)

系，如圖所示，

則E(0,0),A(l,0),B(-l,0),C(0,V3),空1),

33

設(shè)_F(0,y)9y￡(0,V3)>貝y)，DF=(-；，)>

因為品〃而，所以產(chǎn)學(xué)=當(dāng)，解得產(chǎn)屋所以而［覆B正確；

因為麗=傳，學(xué))，CE=(0,-V3)，所以前?而與0+空(-8)=2C正確;

因為麗=(9竽)，BC=(1，同，所以麗.阮=恭1+竽乂四;學(xué)，

所以前在前方向上的投影向量為呼?娶=￥?羽=：品，D正確.

|BCiIBCI226

21

z

3-2-

【解析】根據(jù)題意，建立以A為原點的平面直角坐標(biāo)系，如圖,

則A(0,0),C(l,1),。(0,1),5(1,0),因為正方形A3CD的邊長為1,

AP=AZB(A>0),

所以當(dāng)時，AP