三角形與全等三角形（易錯點梳理+練習(xí)）帶解析-2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

第10講三角形與全等三角形易錯點梳理

易錯點梳理

易錯點01對三角形中“三線”位置掌握不好

對三角形中“三線”位置掌握不好，導(dǎo)致出錯三角形的角平分線、中線都在三角形內(nèi)部，而三角形的高不

一定在三角形內(nèi)部.銳角三角形的高在三角形的內(nèi)部；直角三角形的兩條高與直角邊重合，斜邊上的高在三

角形內(nèi)部；鈍角三角形的兩條高在三角形外部。

易錯點02誤用多邊形的內(nèi)角和公式及三角形外角的性質(zhì)

n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)?180。，而并非為n?180。對三角形外角的性質(zhì)理解不透徹而出現(xiàn)錯誤，在應(yīng)

用三角形外角的性質(zhì)時，不可忽略了“不相鄰”這個條件。

易錯點03忽略三角形存在的條件而導(dǎo)致計算錯誤

進行等腰三角形的邊長或周長計算時，一般需要分類討論，但不可忽略三角形存在的條件，即任意兩邊之

和大于第三邊.對出現(xiàn)的情況需要逐一驗證，確定取舍。

易錯點04對正多邊形的概念理解有誤導(dǎo)致判斷失誤

判斷正多邊形的兩個條件一一各個角都相等、各條邊都相等，兩者缺一不可，不要以為每個內(nèi)角都相等的

多邊形便是正多邊形。

易錯點05全等三角形的對應(yīng)關(guān)系考慮不全面而出錯

用“0”表示兩個三角形全等時，對應(yīng)點放在對應(yīng)位置，但用語言描述的兩個三角形全等卻不需要，不要

形成固定思維.解決這類問題要考慮各種對應(yīng)情況，避免出現(xiàn)考慮不全面，導(dǎo)致結(jié)果錯誤.

易錯點06錯用“SSA”進行判定三角形全等

判定一般三角形全等的方法有“sss”“SAS”“ASA”“AAS”4種方法，不存在“SSA”的判定方法.

易錯點07運用角平分線的性質(zhì)和判定時，誤將斜線段當(dāng)作距離

在運用角的平分線的性質(zhì)和判定時，一定要注意“距離”必須有垂直的條件。

例題分析

考向01三角形的三邊關(guān)系

例題1：（2021廣東新豐九年級期中）三角形的兩邊長分別是3和6,第三邊的長是方程N-7x+10=0的一

個根，則這個三角形的周長是（）

A.11或14B.14或16C.14D.11

【答案】C

【分析】

首先利用因式分解法求得一元二次方程N-7X+10=0的兩個根，又由三角形的兩邊長分別是3和6,利用三

角形的三邊關(guān)系，即可確定這個三角形的第三邊長，然后求得周長即可.

【解析】解：Vx2-7x+10=0,

（x-5）（x-2）=0,

解得：無i=5,xi=2,

???三角形的兩邊長分別是3和6,

當(dāng)尸5時，3+5>6,能組成三角形；

當(dāng)x=2時，2+3<6,不能組成三角形.

.??這個三角形的第三邊長是5,

.?.這個三角形的周長為：3+6+5=14.

故選：C.

【點撥】本題考查了因式分解法解一元二次方程與三角形三邊關(guān)系的知識.解題的關(guān)鍵是注意準(zhǔn)確應(yīng)用因

式分解法解一元二次方程，注意分類討論思想的應(yīng)用.

例題2：（2021?江蘇?常州外國語學(xué)校九年級）如圖，。。的半徑為2,定點尸在。。上，動點A,8也在0O

上，且滿足NAP8=30。，C為尸8的中點了，則點A,8在圓上運動的過程中，線段AC的最大值為（）

B

D.1+9

A.1+mB.肉2C.273-2

【答案】A

【分析】

延長BA到點D,使ZM=54,連接產(chǎn)。，運用三角形中位線定理，當(dāng)尸。最大時，AC最大，運用三角形不等

式原理計算即可.

【解析】如圖，延長A4到點。，使D4=BA,連接尸￡>,PO,OA,OB,0D,

'：BA=AD,BC=PC,

/.AOAPBD的中位線，

：.AC=^-PD,

ZAPB=30°,

：.NA08=60。，

...△A。8等邊三角形，

/.OA=OB=AB=AD=2,XA0B=NOAB=60°,

JZADO=ZAOD=30°,

：.ZDOB=90°,

?*,0D=J5/)2_OB2=^42—22=2A/3,

■:DO+PONPD,

；.尸。的最大值為：DO+PO=2^+2,

：.AC=^PD=l+^j3,

故選A.

【點撥】本題考查了圓的基本性質(zhì)，三角形中位線定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形不

等式，構(gòu)造三角形中位線定理，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

考向02三角形的高、中線

例題3：（2021?山東安丘?二模）如圖，四邊形A8C。為菱形，BF//AC,。月交AC的延長線于點E,交BF

于點況且CE：AC=1：2.則下列結(jié)論不正確的有（）

A.AABE^AADE；B.NCBE=NCDF；

C.DE=FE；D.SABCE：S1：9

【答案】D

【分析】

由四邊形ABC。為菱形，AB=AD,ZBAC=ZDAC,可證AABE0AADE（S4S）可判定A；由AABEZAADE,

O\^ZABE=ZADE,由四邊形ABCZ）為菱形，可得NABC=NADC,利用等角之差NCBE=/C￡>E,可判定

B；連結(jié)8。交AC于。，四邊形A2CD為菱形，可得比）=20￡）,可證△可證DF=2OE,

可判定C；根據(jù)OE為△DBF的中位線，△DOEsADBF,可得右加尸=45必?！?由C￡：AC=1：2.可得

=

SABOAS^BOC=SABCE=S&ADO?SADO百2sABCE，可"S四7y^尸。一1。5八5位可判定D.

【解析】解：:四邊形ABC。為菱形，

：.AB=ADfZBAC=ZDACf

???在△A3E和△AOE中，

AB=AD

<NBAE=NDAE,

AE=AE

??.MBE^MDE(SAS)

故選項A正確；

???MBE^MDE

：./ABE=NADE,

???四邊形A3CD為菱形,

???ZABC=ZADC.

：.ZCBE=ZABE-ZABC=ZADE-ZADC=ZCDE,

故選項B正確；

連結(jié)3。交AC于。

???四邊形A5CZ)為菱形，

：.DO=BO,OELBD,

：.BD=2OD9

?:BF〃AE,

：.ZDOE=ZDBF,ZDEO=ZF9

.?.△DOEsADBF,

,DODE_I

**DB-DF-2?

:.DF=2DE,

：.DF=EF+DE=2DE,

：.EF=DE,

故選項C正確；

?:DO=OB,DE=EF,

C.OE^LDBF的中位線，

：.BF=20E,

?:△DOEs^DBF,

...S"/吟J

SM)BF〔BF)4

?q—4v

??*bDBF-

VCE：AC=1：2.

：.AC=2CE,

：.AO=OC=CE,

SABOA=S^BOC=S^BCE=S^ADO,

??SADOE=2S卜BCE，

=

*?*S四ABf￡)=+S^)BF=2sgeE10sA

故選項。不正確.

故選擇D.

【點撥】本題考查菱形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，三角形面積與四邊形面積,

掌握菱形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，三角形面積與四邊形面積是解題關(guān)鍵.

例題4：（2021安徽包河?九年級期中）如圖，在?ABC中，D、E分別是邊BC、AC上的點，AD與3E相交

于點尸，若E為AC的中點，BD:DC=2:3,則AEED的值是（）

【答案】A

【分析】

過點E作EG〃3C交A。于G,則EG是AAC。的中位線，AAGES/VIDC,可以得到蕓=啜=:，再

GFGFGFGF3

證明△得到=即可推出=設(shè)AD=2AG=2X,則

BDFDBDFD4

AG=GD=GF+FD=x,GF=-x,DF=-x,AF=AG+GF=^-x,由止匕求解即可.

777

【解析】解：如圖所示，過點E作EG〃3C交AO于G,

是AC的中點，EG//BC,

：.EG是^AC。的中位線，△AGEs/vloc,

??JAGGE

??EG=-CD,=,

2ADCD

.AG_GE_L

**AD-CD-2?

同理可證4FGEsAFDB,

.GEGF

??茄一訪‘

BD:DC=2:3,GE:DC=1:2,

.GEGF_3

??茄一而一"

設(shè)AD=2AG=2%,則AG=GD=GF+FD=x,

34

AGF=-x,DF=—x,

77

JAF=AG+GF=-x

7f

104

A.FFD——xi—x—2.5,

77

故選A.

【點撥】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相

似三角形的性質(zhì)與判定.

考向03三角形的角平分線

例題5：（2021?湖南?常德市第五中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，R3ABC中，NC=90。，N2=30。，ZBAC

的平分線交于點。，CC=e，則8。的長是（）

A.2B.

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知：NC鉆=60。，根據(jù)角平分線的定義得到NC4D=N54￡>=；NC4B=30。,

求得ZDAB=ZB,得到BD=4）,根據(jù)直角三角形性質(zhì)即可得到答案.

【解析】?；NC=90°,ZB=30°

?*.ZCAB=60°

：NG4B的平分線4。交BC于點。

ZCAD=NBAD=-ZCAB=30°

2

/.ZDAB=ZB

：.BD=AD

"：CD=V3

BD=AD=2CD=2g

故選：B

【點撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，正確的理解題意、

運用相應(yīng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例題6：（2021?陜西濡橋?一模）如圖，在AABC中，NBAC=90。，是8C邊上的高，BE是AC邊的中線,

CF是/AC8的角平分線，CF交于點G,交BE于點、H,下面說法正確的是（）

①△A8E的面積=△8CE的面積；@ZFAG=ZFCB；?AF=AG；@BH=CH.

A.①②③④B.①②③C.②④D.①③

【答案】D

【分析】

根據(jù)三角形的面積公式進行判斷①，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出/砥G=NACB,再判斷②即可，根據(jù)三

角形的內(nèi)角和定理求出/”G=NAGR再根據(jù)等腰三角形的判定判斷③即可，根據(jù)等腰三角形的判定判斷

④即可.

【解析】解：是AC邊的中線，

：.AE=CE,

,:MABE的面積=△BCE的面積=（XCEXA8,

LABE的面積=△BCE的面積，故①正確;

,.NZ）是BC邊上的高，

ZADC=90°,

ZBAC=90°,

：.ZDAC+ZACB=90°,ZFAG+ZDAC=90°,

：.ZFAG^ZACB,

,:CF是/4CB的角平分線，

AZACF=ZFCB,NACB=2NFCB,

:.NFAG=2/FCB,故②錯誤；

,在AACB和ADGC中，ZBAC=ZADC=90°,ZACF=ZFCB,

：.ZAFG=180°-ABAC-ZACF,/AGP=/DGC=180°-ZADC-ZFCB,

：.ZAFG=ZAGF,

：.AF=AG,故③正確；

根據(jù)已知不能推出NHBC=/〃CB,即不能推出HB=〃C,故④錯誤；

即正確的為①③，

故選：D.

【點撥】本題考查了角平分線的定義，三角形的面積，三角形的中線，三角形的高，三角形內(nèi)角和定理等

知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵.

考向04三角形的內(nèi)角和

例題7：（2021?福建福州十八中九年級期中）如圖，？ODC是由?。48繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30。后得到的圖形,

若點。恰好落在上，則NA的度數(shù)是（）

0C

A.30°B.45'3C.60°D.75°

【答案】D

【分析】

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知NAOD=30。,OA=OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及內(nèi)角和定理可得答案.

【解析】由題意得：ZA<90=30°,0A=0D,

故選D.

【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②對應(yīng)點與旋

轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵.

例題8：（2021?青?；ブ?九年級期中）如圖，將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)80。，得到?ADE,若點。在線段

BC的延長線上，則ZPDE的度數(shù)為（）

A.60°B.80°120°

【答案】B

【分析】

由題意得A9=AD,ZBAD=80°,ZB=ZADE,得NB=NADB=50。，貝I]NAOE=/B=50°,即可得.

【解析】解：：將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)80。，得至！J?ADE,

：.AB=AD,ZBAD=80°,ZB=ZADE,

ZB=ZADB=1(180o-ABAD)=1x(180°-80°)=50°,

/.ZADE=ZS=50°,

ZPDE=1800-ZADE-ZB=180°-50°-50°=80°,

故選B.

【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點.

考向05三角形的外角

例題9：（2021河南大學(xué)附屬中學(xué)九年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊CZ）上一點，將?ADE沿

AE折疊至?AD'E處，AD與CE交于點若N3=52。，ZDAE=20°,則ZFED的度數(shù)為（）

B，

D'

A.40°B.36°C.50°D.45°

【答案】B

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)得出/。=/3=52。，由折疊的性質(zhì)得/〃=/D=52。，ZiyAE=ZDAE=20°,由三

角形的外角性質(zhì)求出NAEC=72。，由三角形內(nèi)角和定理求出=108。，即可得出NEED的大小.

【解析】解：：四邊形是平行四邊形，

.?."=々=52°,

由折疊的性質(zhì)得：ZD'=ZD=52°,ZE/AE=ZDAE=20°,

ZAEC=ZD+ZDAE=520+20°=72°,

ZAED=180°-(/￡>'+ZD'AE)=180°-(52°+20°)=108°,

:.ZFEiy=ZAED'-ZAEC=108°-72°=36°.

故選：B.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌

握平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，求出ZAEC和NAED’是解決問題的關(guān)鍵.

例題10：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，點P為邊AD上任意一點(點尸不與點A、。重合)連接CP,

若々=120。，則NAPC的度數(shù)可能為()

A.30°B.54°C.50°D.65°

【答案】D

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，求得的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得進而可確定NAPC

的范圍，根據(jù)選項即可求解.

【解析】解：：四邊形ABCD內(nèi)接于。，

AZB+ZD=180°,

,/ZB=120°,

ZD=180°-ZB=60°,

,/ZAPC為？PCD的外角，

ZAPC>ZD,只有。滿足題意.

故選：D.

【點撥】本題考查了圓內(nèi)接四邊形形對角互補，三角形的外角性質(zhì)，求得ND的大小是解題的關(guān)鍵.

考向06全等三角形的性質(zhì)

例題11：（2021?廣西大化?九年級期中）如圖，已知。，E分別是正三角形的邊BC和C4上的點，且AE=CD,

D.60°

【答案】D

【分析】

根據(jù)△ABC是等邊三角形，可得AC=2C,ZABD=ZC=60°,結(jié)合A￡=CD,利用等式性質(zhì)易得

利用SAS易證△ABD0MCE,從而有NADB=/BEC,再利用三角形外角性質(zhì)可證NC=NAPE,而NAPE

和N8尸。是對頂角，故可得N2P￡）=NC.

【解析】:△ABC是等邊三角形，

：.AC=BC,ZABD=ZC=60°,

\'AE^CD,

：.AC-AE=BC-CD,

即BD=CE,

又,.,NABO=NC=60°,AC=BC,

：./\ABD^/\BCE,

：.NADB=NBEC,

"：ZADB=ZC+ADAC,

ZBEC=ZDAC+NAPE,

：.ZC=ZAPE,

,/ZAPE=ZBPD,

：.NBPD=/C=60。.

故選D

【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明

XABD沿ABCE.

例題12：（2021?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級期中）如圖AABC0ADEC,點A和點。是對應(yīng)頂

點，當(dāng)2和點E是對應(yīng)頂點，過點A作AB，。，垂足為點「若NBCE=65。，則NC4F的度數(shù)為（）

A.30°B.25°C.35°D.65°

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得/ACfi=/DCE,進而可得/BCE=NACD,根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余,

即可求得NC4F的度數(shù).

【解析】ZxABgADEC,

?.ZACB=/DCE,

:.ZACB-ZACE=ZDCE-ZACE

^ZBCE=ZACDf

AFLCD,ZBCE=65。,

/.ZCAF=90°-ZACD=25°

故選B

【點撥】本題考查了三角形全等的性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余，證明N3C￡=NACD是解題的關(guān)鍵.

考向07全等三角形的判定

例題13：（2021?山東?禹城市教育和體育局九年級期中）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作㈤F=45。,

AE交BC于點、E,AF交CD于點尸，連接ER將?ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得至lj?ABG.若DF=3,則

BE的長為（）

A

3

A.2B.-C.1D.1

2

【答案】A

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，然后即可得到。尸=3G,ZDAF=ZBAG,然后根據(jù)題目中的條件,

可以得到AEAG之△比1尸，再根據(jù)。尸=3,A5=6和勾股定理，可以求出BE的長.

【解析】解：由題意可得,

△ADF^AABG,

?：DF=BG,ZDAF=ZBAG,

'.'ZDAB=90%/EAF=45。,

?：/DAF+/EAB=45。,

?：/BAG+/EAB=45。,

?：NEAF=/EAG,

在4^6和4胡尸中，

AG=AF

<ZEAG=ZEAF,

AE=AE

：.AEAG^AEAF(SAS),

：.GE=FE,

BE=x,貝ljGE=5G+3E=3+x,CE=6-x,

EF=3+x,

?:CD=6,DF=3,

：.CF=3,

VZC=90°,

.\(6-X)2+32=(3+X)2,

解得，x=2,

即BE=2.

故選A..

【點撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用

數(shù)形結(jié)合的思想.

例題14：（2021?黑龍江?哈爾濱德強學(xué)校九年級期中）如圖，在?ABC中，ZC=90°,AC=BC,將?ABC繞

點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60。到?AB'C的位置，連接則NCA4的度數(shù)為（

A.15°B.20°C.30°D.45°

【答案】C

【分析】

連接班'，證明？ABB'為等邊三角形，然后進一步證明△班'C四？BAC',得到/B'3C'=NABC',即可求

出NCSA的度數(shù).

【解析】解：如圖所示，連接班

由題意得：

AB=AB',ZBAB,=60°,

/.?ABB,為等邊三角形，

ZB'BA=60°,BB=BA

在△班'C'與？BAC'中，

BB'=BA

<BC'=BC

B'C'=AC

：.Z^BB'Cg△?BAC'(SSS),

ZB'BCZABC,

故選：C.

【點撥】該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用等幾何知識點問題.解題的

關(guān)鍵是作輔助線；靈活運用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定來分析、解答.

考向08角平分線與線段垂直平分線

例題15：如圖，正方形A3CD的邊長為2,點E從點A出發(fā)沿著線段AD向點。運動（不與點A,。重合）,

同時點/從點。出發(fā)沿著線段。C向點C運動（不與點。，C重合），點E與點產(chǎn)的運動速度相同.BE與AF

相交于點G,H為BF中點、、則有下列結(jié)論：

①/3GP是定值；

②FB平分ZAFC；

③當(dāng)E運動到AD中點時，GH=—；

2

④當(dāng)AG+BG=#時，四邊形GEZ*的面積是g

其中正確的是（）

A.①②④B.①②③

C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意很容易證得△氏4￡也△ADF,即可得至I]A尸=8￡,利用正方形內(nèi)角為90。，得出即可判斷

①；②假設(shè)2歹平分/APC,則角平分線的性質(zhì)得到BG=2C,則BG=AB,又由/2GA=90。，得到AB>BG,

由此即可判斷②；③先利用勾股定理求出班'的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求

解；④根據(jù)A8AE四△的>?即可得到S四邊形GEDF二SVABG，然后根據(jù)AG+GB=#時，得到

（AG+GB）2^AG2+2AGGB+GB2=6,再由AG?+BG?=AB?=4即可得至!J2AG-G3=2,貝!1

SvABG=；AG-G8=g.

【解析】證明：???￡在AO邊上（不與A,。重合），點尸在OC邊上（不與O,。重合），

又??,點區(qū)尸分別同時從A,。出發(fā)以相同的速度運動，

:?AE=DF,

???四邊形A5CQ是正方形，

AAB=DA,ZBAE=ZD=90°

在aBAE和△AD尸中，

AE=DF

<ZBAE=ZADF=90,

AB=DA

：.△BXEQAADF(SAS),

AZ1=Z2,

???Z2+Z3=90，

：.Zl+Z3=90即NAG5=90,

JN5G尸=90°即N5G/是定值，故①正確;

假設(shè)BF平分NAR?,

???四邊形A3CQ是正方形,

：.BCLFC,BC=AB

VBG±AF,

：.BG=BCf

：.BG=AB,

又???N3G4=90。,

：.AB>BG,

假設(shè)不成立，

②不正確；

③當(dāng)E運動到中點時，則尸運動到C。中點,

CF=-CD=\,

2

?*-BF=A/SC2+CF2=A/5，

VZBGF=90°,〃為BF的中點

：.GH=-BF=—,故③正確；

22

@'：/\BAE^/\ADF,

??SABAE—SMDF

S四邊彩GEOF=SABG,

：.當(dāng)AG+G8=6時，（AG+GBP=AG2+2AGGB+GB2=6,

,?AG2+BG2=AB?=4,

:.2AGGB=2,

???SvMG=gAG-GB=g,

S四邊形GEO/二3故④正確；

故選c.

【點撥】考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，角平分線的性質(zhì)，直角三角形斜邊

上的中線，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

例題16：（2021?廣東深圳市高級中學(xué)九年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB=8,連接BD,

分別以點8,。為圓心，大于方8。長為半徑作弧，兩弧交于點E和點F,作直線EF交于點/,交BC

于點打，點X恰為8C的中點，連接A8,則A8的長為（）

----0------#

H

BC

A.46B.6C.7D.4A/5

【答案】A

【分析】

連接DH,根據(jù)作圖過程可得EF是線段BD的垂直平分線，證明△DHC是等邊三角形，然后證明乙4HZA90。,

根據(jù)勾股定理可得A"的長.

【解析】解：如圖，連接

根據(jù)作圖過程可知：EF是線段BD的垂直平分線,

:?DH=BH,

,?,點H為8C的中點，

:?BH=CH,BC=2CH,

:?DH=CH,

在口A3C0中，AB=DC,

9：AD=BC=2AB=8,

:.DH=CH=CD=4,

???△DHC是等邊三角形，

ZC=ZCDH=/DHC=6。。,

在口A3CD中，ZBAD=ZC=60°,AD//BC,

:?/DAH=/BHA,

?:AB=BH,

:?/BAH=NBHA,

：.ZBAH=ZDAH=30°,

：.NAHD=90。,

??AH=yfAD1—DH~=A/82—42=4^3?

故選：A.

【點撥】本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性

質(zhì)，勾股定理等知識點，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法.

微練習(xí)

一、單選題

1.（2021?浙江拱墅?九年級期中）如圖，〃是的重心，延長力〃交融于〃延長掰交〃于弘E

是加上一點，且龐：EC=3:2,連結(jié)/￡交砌于G,則胡：HG：酸等于（）

A.7：5：2B.13：5：2C.5：3：1D.26：10：3

【答案】D

【分析】

過C作CF//BM,交斯的延長線于￡設(shè)CF=a,則GM=\a,依據(jù)CF//BG,DE：EC=3：3,，是比1的中點,

2135

可得宓=6CF=6a,再根據(jù)〃是比的重心，即可得到曲=]以仁丁石，HG=BG-BH=]a,進而得到初：

1351

HG\GM=-a：-a：5a=26：10：3.

【解析】：如圖，過C悴CF〃BM,交/￡的延長線于應(yīng)

??,〃是△相。的重心，

???〃是ZC的中點，〃是方。的中點，

???G是"的中點,

JGM=|CF,

設(shè)CF=a,則GM=；a,

u

\CF//BGfDE\EC=5：2,〃是勿的中點，

.CFCE2_1

??茄一蔗―5+5+2—6'

:.BG=6CF=6a,

13

：.BM=—a,

2

???〃是△/回的重心，

213

33

135

HG=BG-BH=6a----a=-a,

33

135i

：.BH\HG\GM=—a：-a:：a=26：10：3.

332

故選D.

【點撥】本題主要考查了重心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握重心是三條中線的交點以及重心的性

質(zhì).

2.（2021?云南魯?shù)?九年級期中）已知三角形的兩邊長為2和5,第三邊滿足方程犬-7》+12=0,則三

角形的周長為（）

A.10B.11C.10或11D.以上都不對

【答案】B

【分析】

解方程得到兩個解，分兩類情況討論，看是否能構(gòu)成三角形，若能構(gòu)成，則三邊長加起來即為三角形周長.

【解析】Vx2-7x+12=0,

解得%=3,%=4

.?.三角形三邊長可能的情況為：

①2,5,3,V2+3=5,.\2,3,5不能構(gòu)成三角形

②2,5,4,V2+4>5,：.2,4,5能構(gòu)成三角形

.??三角形的周長為2+4+5=11

故選B

【點撥】本題考查了解一元二次方程，注意用三角形三邊關(guān)系驗證是否能構(gòu)成三角形是解決本題的關(guān)鍵.

3.（2021?吉林?長春市第五十二中學(xué)九年級期中）如圖，在?ABC中，ZACB>90°.按以下步驟作圖：分

別以點A和C為圓心，大于‘AC的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和N；作直線交A8于點。，連

2

結(jié)CD.若AB=7cm,則的長可能是（）

【答案】A

【分析】

由基本作圖得到.垂直平分/G則加=〃C,根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到比〈上血，然后對各選項進行判

斷.

【解析】解：由作法得就垂直平分/G

：.DA=DC,

：.CIABD=DA+DB=AB=7,

"：BC<CIADB,

：.BC<7.

故選：A.

【點撥】本題考查了作圖-基本作圖一作已知線段的垂直平分線.三角形三邊關(guān)系，線段垂直平分線的性質(zhì)，

掌握三角形三邊關(guān)系，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.（2021?江蘇?宜興市樹人中學(xué)九年級期中）下列說法正確的是（）

A.三角形三條中線的交點是三角形重心B.等弦所對的圓周角相等

C.長度相等的兩條弧是等弧D.三角形的外心到三邊的距離相等

【答案】A

【分析】

根據(jù)重心，弦與圓周角之間的關(guān)系，等弧的定義以及外心的定義進行逐一判斷即可.

【解析】解：A、三角形三條中線的交點是三角形重心，故此選項符合題意;

B、在同圓或等圓中，等弦所對的圓周角相等，故此選項不符合題意；

C、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故此說法不符合題意；

D、三角形的外心是三邊垂直平分線的交點，到三個頂點的距離相等，故此說法不符合題意；

故選A.

【點撥】本題主要考查了三角形重心，外心，以及圓中弦、弧的知識，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)

知識進行求解.

5.（2021?浙江?杭州市天杭實驗學(xué)校九年級期中）如圖，。。的兩條弦/A切所在的直線交于點RAC,

BD交于點、E,//初=105°,/片55°,則等于（）

A

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】

由圖可得：覺所對的圓周角相等，可得/a4c=/3OC,在VPC4及△尸BD中利用三角形內(nèi)角和定理分別

表示出/PC4,ZPBD,由等式的性質(zhì)可得：NPCA=NPBD,對頂角相等可得：ZBEC=ZAED,根據(jù)四

邊形內(nèi)角和為360。可得ZACP,由平角定義即可得出結(jié)果.

【解析】解：由圖可得：BC所對的圓周角相等，即：

/BAC=/BDC,

在VPC4中，

ZPCA=180°—NP—/BAC,

在△PBD中，

Z.PBD=180。一/尸-Z.BDC,,

NPCA=NPBD,

ZAED=105°,

/BEC=ZAED=105°,

ZACP=1(360°-ZP-NBEC)=100°,

???ZACD=180°-ZACP=80°,

故選：C.

【點撥】題目主要考查同弧所對的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理及對頂角相等的性質(zhì)，理解同弧所對圓

周角相等是解題關(guān)鍵.

6.（2021?遼寧旅順口?九年級期中）如圖，將Rt^ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A'3'C,

連接A4',若4=25。，則ZBAC的度數(shù)是（）.

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【分析】

由旋轉(zhuǎn)得A，C=AC,ZACA=90°,求出/C4A'=45。，利用外角性質(zhì)求出NA'B'C,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

的度數(shù)，再計算90°-N8即可得到結(jié)果.

【解析】解：由旋轉(zhuǎn)得AC=AC,ZACAr=90°,

/C4A'=45。，

,/Zl=25°,

ZAB'C=Z1+/GU'=70°,

由旋轉(zhuǎn)得/廬ZAB'C=70°,

ABAC=90°-N后20°,

故選：B.

【點撥】此題考查三角形外角的性質(zhì)，等邊對等角求角的度數(shù)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?陜西師大附中九年級期中）如圖所示，在?ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,將?ABC繞點。順

時針旋轉(zhuǎn)得到VAEC,點8'恰好在4?上，A'B,交AC于F,在不添加其他線段的情況下，圖中與?AB'F相

似的三角形有（）

A

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及相似三角形的判定方法進行分析，找出存在的相似三角形即可.

【解析】由題意得：BC=BC,AB=ABAC=AC,NB=NB'，NA=NA'=30。，ZACB=ZA'CB'=90<

\'ZA=30a,ZACB=90°

；./斤60°

?1,BC=BC

：.△33'C是等邊三角形

Z.NB=NBB'C=ZBCB'=60°

：.AB'CA=30°,ZZACA=60°,ZAB'A'=60°

AB://BC

:ZACB=90°

：.ACrAB'

與？AB'F相似的三角形有AA，CF、叢ABC、7CB7F、VA'B'C

所以有4個

故選：C

【點撥】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是關(guān)鍵.

8.（2021?重慶一中九年級期中）下列命題是真命題的是（）

A.三角形的外角大于它的任何一個內(nèi)角B.“523）邊形的外角和為360。

C.矩形的對角線互相垂直且平分D.三角形的內(nèi)心到三角形三個項點的距離相等

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形的性質(zhì)、多邊形外角的性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，對選項逐個判斷即可.

【解析】解：A、三角形的外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角，則選項錯誤，不符合題意；B、邊

形的外角和為360。，則選項正確，符合題意；C、矩形的對角線互相平分，但不一定垂直，則選項錯誤，不

符合題意；D、三角形的內(nèi)心到三角形三個邊的距離相等，則選項錯誤，不符合題意；故選B

【點撥】本題考查的是真假命題的判斷，同時考查三角形的外角的性質(zhì)，多邊形的外角和定理，矩形的性

質(zhì)，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

9.（2021?寧夏?銀川市第十五中學(xué)九年級期中）如圖，在平行四邊形A3CD中，用直尺和圓規(guī)作44。的

平分線AG交于點￡；以點/為圓心，A8的長為半徑畫弧交AD于點尸.若3P=12,AB=10,則AE的

長為（）

A.16B.15C.14D.13

【答案】A

【分析】

連接班設(shè)3RAE交于點。，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和作圖可知/2=/3,=進而證明四邊形

AB所是菱形，根據(jù)勾股定理求得AO的長，即可求得AE的長.

【解析】解：如圖，連接竹，設(shè)3EAE交于點。，

二/=N2

四邊形A5CD是平行四邊形

:.AD//BC

二/2=/3

:.AB=BE

X-.AB=AF

:.AF=BE

AF//BE

，四邊形是平行四邊形

AB=BE

，四邊形AB￡F是菱形

:.AE1BF,AO^OE,BO=OF=-BF

2

在及ABO中，A5=10,BO=-BF=6

2

AO=7AB2-BO2=V102-62=8

=240=16

故選A

【點撥】本題考查了作角平分線，等角對等邊，菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理,

證明ABEF是菱形是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?黑龍江?大慶市第六十九中學(xué)九年級）如圖，在等邊中，AB=6,點、D,￡分別在邊6G

〃上，&BD=CE,連接四，BE交手點、F,連接6F,則CF的最小值是（）

A.3B.C.4D.3A/3

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形全等的判定定理和性質(zhì)可得：？ABD??BCE,NBAD=NCBE,利用各角之間的數(shù)量關(guān)系可得：

ZAFB=120°,作？ABF的外接圓，則點尸在圓上運動，連接班、0C,交劣弧而于點尸'，當(dāng)點尸與點尸'重

合時，CF的長度最小，由切線定理可得ZBCO=3Q°,在Rt?OBC中，利用三角函數(shù)的正切可得

OB=2y/3,再根據(jù)30。所對直角邊是斜邊的一半即可確定OC=4A/L即可求出b的最小值.

【解析】解：在？ABD與？BCE中,

AB=BC

<ZABC=ZACB=60°,

BD=CE

.".?ABD??BCE,

ZBAD=/CBE,

：.ZABF+ZBAF=ZABF+Z.CBE=60°,

ZAFB=120°,

作?ABF的外接圓，則點戶的運動軌跡為以。為圓心，如為半徑的圓，如圖所示，連接以O(shè)C,交劣弧而于

點、F',當(dāng)點尸與點尸重合時，CF的長度最小，

BD0

由切線定理可得：/與。。相切于點8,

AOBLBC,ZBCO=30°,

在Rt?OBC中，

OB=BCtan30°=2>/3,

/.OC=2OB=4A/3,

：.CF'=OC-OF=26，

的最小值為2vL

故選：B.

【點撥】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓的相關(guān)性質(zhì)定理、正切三角函數(shù)

等，添加輔助圓作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵.

11.（2021?陜西碑林?九年級期中）如圖，平行四邊形力6口的周長為16,AC,皮相交于點。，施工M交

AD于E,則的周長為（）

E

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】

先證明力￡=成7,再求解/62C=8,再利用三角形的周長公式進行計算即可.

【解析】解：???平行四邊形四切，

:.AABC,AB=CD,04=OC,

'：EOVAC,

:.AE=EC,

,：A班BC+C班AD=16,

:.A決DC=B,

△〃團的周長是：CmDE+CE=AE+DE+CAAIACA8,

故選：C.

【點撥】本題考查的是平行四邊形性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，證明/￡=口是解本題關(guān)鍵.

12.（2021?湖北青山?九年級期中）如圖，四邊形加切內(nèi)接于。。，AB=AD,/BCA120。，E、尸分別為

BC、切上一點，ZEAF=30°,EF=3,DF=\.則龐的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

延長。到〃，使B4DR3連接力〃，則可證得△被超△力加；從而/生/尸，/BA&/DAF,易證△/應(yīng)必^

AFE,可得應(yīng)三第3,則可求得龐的長.

【解析】延長,到〃，使B4DE,連接力〃，如圖

A

???四邊形被小內(nèi)接于。。

ZABaZAVai80°

■:/AB卅/ABO\8?！?/p>

JAAB^AADF

在△/掰和△/以中

AB=AD

<ZABH=NADF

BH=DF

：.&AB厘4ADF

:.好AF,/BA居/DAF

■:/BA>/BCg8G°,ZBCD=120°

AZBAD=180N8緇60°

VZEA/^30°

:■/BAE+/DA氏/BAD-/EA戶30°

:?4E好/BAE+/BA+3G°

在△/龐和△"F中

AH=AD

<ZEAH=ZEAF

AE=AE

：./\A//E^/\AFE

:?HFE^3

:.BB-HE-B拈3T=2

故選：B

【點撥】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造輔助線得到全等三角形的問題

的關(guān)鍵與難點.

二、填空題

13.（2021?四川恩陽?九年級期中）點G為？ABC的重心，如果AG=6,BG=8,CG=10,貝U?ABC的面

積為.

【答案】72

【分析】

延長4G到G',連接CG',使得=則△BDG三△CDG',再證明ACGG是直角三角形即可得解；

【解析】如圖所示，延長/G到G',連接CG,使得DG=DG,則￡\BDG三△CDG',

GG'=BG=8,

■：OG」AG=3,

2

/.DG=DG'=3,

：.GG'=6,

,：CG=10,

Z\CGG是直角三角形，

S&GBC=SACGG=5x8x6=24,

S^ABC=3sAGBC=72；

故答案是：72.

【點撥】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)和三角形全等判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

14.（2021?上海交通大學(xué)附屬第二中學(xué)九年級期中）如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部

分，我們把這條直線稱作為這個平面圖形的一條優(yōu)美線.已知6c中，AB^AC^5,a三6,點久夕在邊

BC上,且以H2,E為BC中點,過點，的優(yōu)美線交過點￡的優(yōu)美線于凡那么線段/戶的長等于

【答案】y

【分析】

作？GDC使得GD是入ABC一條優(yōu)美線，過點G作GH，5c于點H,根據(jù)GHLBC,AELBC,^CGH^ACAE,

ADEF^ADGH,列出比例式，代入數(shù)值計算即可.

【解析】如圖，△/a'中，AB=AC=5,BC=6,

為員中點，

A￡±BC，

--BE=EC=：BC=3,SABE=SAEC

■■■是△46。的一條優(yōu)美線

:.AE=^AB--BE2=4

SZA_X/izJC=—2BCxAE=—2x6x4=12

?/BD=2,

:.DC=BC-BD=6-2=4

作？GDC使得GO是△ABC一條優(yōu)美線，過點G作G"J_于點〃，

則$△GDC=15AABC=6

.?.GH=6x2SC=3

GH±BC,AE±BC

GH//AE

:公CGHsMAE,ADEF^ADGH

HCGH

'~EC~~\E

設(shè)“C