上海市松江區(qū)2024-2025學年高三年級上冊期末質(zhì)量監(jiān)控數(shù)學試題（含解析）

松江區(qū)2024學年度第一學期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷

高二數(shù)學

（滿分150分，完卷時間120分鐘）

考生注意：

1.本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或

寫（非選擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分.

2.答題前，務必在答題紙上填寫座位號和姓名.

3.答題紙與試卷在試題編號上是一一對應的，答題時應特別注意，不能錯位.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7?12題每題5分）考生

應在答題紙的相應位置直接填寫結(jié)果.

1.已知集合/=巴+8）,8={2,4,6,8},則/8=.

【答案】{4,6,8}

【解析】

【分析】找出集合N與集合8的公共元素，即可確定出交集.

【詳解】因為集合/=[4,+8）,5={2,4,6,8）,

所以/。5={4,6,8}.

故答案為：{4,6,8}.

,.4

2.若sin0=—,則cos20=

5--------

7

【答案】--

25

【解析】

4

【詳解】Vsind=~,

7

貝iJcos26=l—2sin2，=l—2

25

7

故答案為----.

25

3.函數(shù)y=lg（3x+l）+J匚1的定義域是.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可.

【詳解】要使函數(shù)了二年0^+9+足1有意義，則“_》〉0，解得一m<xWl，

即函數(shù)y=lg（3x+l）+J匚1的定義域為.

故答案為：［—；』.

4.在V48c中，角A、B、。所對的邊分別為。、b、c,若。=4,b=6，C=；兀，則。=

6

【答案】V31

【解析】

【分析】由余弦定理可得答案.

【詳解】c2^a2+/>2-2a/）cosC=16+3-2x4x73x一方-=31,

c=VT1，

故答案為：V31.

5.若復數(shù)z滿足i.z=2+3i（其中i是虛數(shù)單位），則復數(shù)z的共輾復數(shù)亍=

【答案】3+2i

【解析】

【分析】利用復數(shù)的除法運算得到z,根據(jù)共飄復數(shù)的定義即可得到結(jié)果.

?HR、■+,日汽*/曰2+3i（2+3i）i—3+2i

【詳解】由意思侍，z=----=-----—=------=3—21>

ii2-1

.'.Z=3+2i.

故答案為：3+2i.

6.已知一個圓錐的底面半徑為3,其側(cè)面積為15兀，則該圓錐的高為.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用側(cè)面積公式求出母線長，進而求出圓錐的高.

【詳解】圓錐的底面半徑r=3,設(shè)其母線長為/,則兀”=15兀，解得/=5,

所以該圓錐的高〃="了=752-32=4.

故答案為：4

7.已知（X+2）4=。0+。4%4，則%+%+。3+。4=-

【答案】65

【解析】

【分析】根據(jù)二項展開式，利用賦值法求解.

【詳解】令x=0,則有4=24=16,

再令X=l,則有+%+。2+。3+。4=34=81,

所以%+%+%+%=81-16=65,

故答案為：65.

8.已知等比數(shù)列｛%｝中，1082%+1。82%=3,2"2.2%=64,則即）=.

【答案】512或工

64

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求見。的值.

【詳解】因為log2%+log2a4=log2（%七4）=3，所以=8，

因為2%-2"3=2%+%=64,所以的+。3=6，解得。2=2,%=4或。2=4,%=2.

當。2=2,%=4時，q=2,所以a1。=2x2?=512；

當。2=4,%=2時,,所以%o=4x[g]=:.

故答案為：512或2.

64

3\x>0

9.已知函數(shù)y=/（x）的表達式為/（x）=1,則滿足〃機）2/（陰+2）的實數(shù)加的最大值為

—,x<0

【答案】-1

【解析】

【分析】結(jié)合偶函數(shù)定義可得/（x）為偶函數(shù)，再利用指數(shù)函數(shù)對稱性解出不等式即可得.

【詳解】當x〉0時，有/（-x）=J=3x=/（x）,又/（x）定義域為R,故/（x）為偶函數(shù)，

又當尤＞0時,/（x）單調(diào)遞增,故對/（加）2/（加+2）有加,加+2|,

即加22（加+2）~,即有4〃z+4V0,解得加V-1,

故〃?的最大值為-1.

故答案為：-1.

22

10.已知點尸為橢圓土+匕=1上任意一點，ER為圓N:（x-1）2+/=4的任意一條直徑，則麗.而的

43-

取值范圍是.

【答案】［-3,5］

【解析】

【分析】利用向量運算將麗.而轉(zhuǎn)化為-4+|赤，通過求|NP|的取值范圍來求得正確答案.

【詳解】圓N的圓心為N（l,0）,半徑為2.

因為而?而=（屜—而）?（而_而卜赤.而—而.（屜+標）+標2

=T礪H而］?COS7T—0+|祈『=-4+M.

22

又因為橢圓\+弓_=1的。=2,b=g,c=l,N（l,0）為橢圓的右焦點，

22/2A

設(shè)尸（%o，yo），寸+^=1/；=31-"~T=3-3%

43147-丁

X

|凹=J（x（）T『+3=^o-2x0+1+3-^

L±2i2_l,

七一2…第T16二==

22

-2XQV2,-1?—-XQV1，1V2—-XQV3,

所以|貓目1,3],式網(wǎng),

APE-PFe[-3,5],

故答案為：[-3,5]

H.已知平面向量2,B的夾角為6,與商的夾角為3。，同=1,々和B-a在B上的投影為x,外則

x(v+sin^)的取值范圍是.

/V3-1V2

【答案】

4F

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知彼-方與書的夾角為28,從而根據(jù)正弦定理可得收-一，再根據(jù)投影的定

112cose

義表示出x，N,最后對x(y+sin。)化簡變形通過正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為平面向量1，B的夾角為，，與1的夾角為3。,

所以與3的夾角為26,

所以根據(jù)正弦定理可得歸一“L同，同=i,

sin。sin2。

所以忸―N=同=_____J__，所以,一同=^^,

sin3sin202sin6cos82cos9

0<^<71

7T

因為<0<2，<兀，所以0W，<—,

3

0<3^<7t

所以1在3上的投影為X=同cos。=cos。，

GZD

不一3在3上的投影為y=W—Wcos26=魯3,

所以x（y+sin0）=cos伏仝二+sin。）

2cos6

=-cos26>+—sin26*

22

=^^sin（2，+：）

因為046＜二，所以042?！瓷?，所以工42，+巴＜小，

334412

所以q4＜sin[2，+：]w'，所以x（y+sin。）的取值范圍為與

（V3-1萬

故答案為：^—，―

[42J

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查平面向量的綜合問題，考查向量投影，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用,

解題的關(guān)鍵是根據(jù)向量投影的概念表示出XJ,考查計算能力，屬于難題.

12.交通信號燈由紅燈、綠燈、黃燈組成.黃燈設(shè)置的時長與路口寬度、限定速度、停車距離有關(guān).根據(jù)路

況不同，道路的限定速度一般在30千米/小時至70千米/小時之間.由相關(guān)數(shù)據(jù)，駕駛員反應距離Si（單

位：米）關(guān)于車速v（單位：米/秒）的函數(shù)模型為：邑=0.7584丫；剎車距離§2（單位：米）關(guān)于車速v

2

（單位：米/秒）的函數(shù)模型為：52=0.072v,反應距離與剎車距離之和稱為停車距離.已知某個十字路

口寬度為30米，為保證通行安全，黃燈亮的時間是允許限速車輛離停車線距離小于停車距離的汽車通過十

字路口，則該路口黃燈亮的時間最多為秒（結(jié)果精確到0.01秒）.

【答案】3.70

【解析】

【分析】依題意求出反應距離與，剎車距離邑，即可得到路程s,再根據(jù)速度、路程、時間的關(guān)系計算可

得；

【詳解】解：依題意當小汽車最大限速v=70km/h（約19.44tn/s）時，

反應距離'=0.7584x19.44它14.7432m,殺ij車距離S?=0.072x19.442它20m,

所以停車距離為14.7432+27.2098=41.953m,

又路口寬度為30m,所以s=41.953+30=71.953m,

s71953

所以時間t=-=—x3.70s；

v19.44

故答案為：3.70

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每

題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應位置上，將所選答案的代號涂黑.

13.已知?！?〉0,以下四個數(shù)中最大的是（）

a+b

A.bB.yl~abC.D.

2

【答案】D

【解析】

【分析】首先得審〉癡〉b,而丘、9都是正數(shù)，故只需讓它們的平方作差與0比較大小

即可.

【詳解】由題意。〉6〉0,所以6="＜疝，

由基本不等式可得"22J茄，同時注意到awb,所以"2〉J茄〉b,

22

jJ+必j^a+b^_a2+b2a2+2ab+b2_(a-b)2

而審都是正數(shù)，所以疝〉b.

故選：D.

14.漸進式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡.對于男職工，新方案將延遲法定退

休年齡每4個月延遲1個月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲.如果男職工

延遲法定退休年齡部分對照表如下表所示：

1965年1965年1965年1966年

出生時間...

1月-4月5月-8月9月-12月1月-4月

改革后法定退休年齡60歲+1個月60歲+2個月60歲+3個月60歲+4個月...

那么1974年5月出生的男職工退休年齡為()

A.62歲3個月B.62歲4個月C.62歲5個月D.63歲

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造等差數(shù)列得出公差及首項，再應用等差數(shù)列通項公式計算即可.

【詳解】設(shè)1965年5月出生的男職工退休年齡為%=60工歲，則1966年5月出生的男職工退休年齡為

6

%—60—I—歲，

264

所以公差為:，設(shè)5月出生的男職工退休年齡為{%},{4}是首項為60：,公差為;的等差數(shù)列，

1974年5月出生的男職工退休年齡為=60：+9x；=62、.

故1974年5月出生的男職工退休年齡為62歲5個月.

故選：c.

15.拋擲三枚硬幣，若記“出現(xiàn)三個正面”、“兩個正面一個反面”和“兩個反面一個正面”分別為事件/、8和

C,則下列說法錯誤的是()

7

A.事件N、2?和C兩兩互斥B.尸(/)+尸(5)+P(C)=—

8

C.事件/與事件5口。是對立事件D.事件ZU5與相互獨立

【答案】C

【解析】

【分析】利用互斥事件的定義判斷A,；利用互斥事件概率加法公式求解判斷B；利用對立事件的定義判斷

C；利用相互獨立事件判斷D.

【詳解】拋擲三枚硬幣，樣本空間0={(正，正，正),(正，正，反),(正，反，正),(反，正,正)，

(正，反，反),(反，正，反),(反，反，正),(反，反,反)},共8個樣本點，

事件/={(正，正，正)},8={(正，正，反),(正，反，正),(反，正，正)},C={(正，反，反),(反，正，反),(反，反,正)},

對于A,事件48,C中任何兩個事件都不能同時發(fā)生，事件48,C兩兩互斥，A正確；

1337

對于B,P(A)+P(B)+P(C)=-+-+-=B正確；

8888

對于C,事件A與BuC可以同時不發(fā)生，事件N與事件BuC不是對立事件，C錯誤；

131333

對于D,P(A+B)=P(A)+P(B)=-+-=P(B+C)=P(B)+P(C)=-+-=

882884

P[(^U5)n(5uC)]=P(5)=-=P(A\JB)P(BuC),則事件NUB，相互獨立，D正確.

故選：C

16.設(shè)函數(shù)y=/(x)與y=g(x)均是定義在R上的函數(shù)，有以下兩個命題：①若y=/(x)是周期函數(shù)，

且是R上的減函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)必為常值函數(shù)；②若對任意的。，6eR,有

|/(。)一/他)閆g(a)—g(b)|成立，且=g(x)是R上的增函數(shù)，則^=/(x)—g(x)是R上的增函

數(shù).則以下選項正確的是()

A.①是真命題，②是假命題B.兩個都是真命題

C.①是假命題，②是真命題D,兩個都是假命題

【答案】A

【解析】

【分析】用反證法判斷命題①，用反例判斷命題②.

【詳解】①若y=/(x)是周期函數(shù)，設(shè)T是它的正周期，即/(x)=/(x+T),

假設(shè)函數(shù)y=/Q)不是常值函數(shù)，設(shè)再</，且"xjw"%),又/(七尸/(%)恒成立，因此

/(西)〉/(%)，

取〃=［上/］+1，其中［血尸］是不大于毛土的最大整數(shù)，則再+〃7>%，

而/(再)=/(占+”)，

所以/(西+江)>/(9),這是/(X)是減函數(shù)矛盾，所以/(再”)(工2)不成立，

所以/(%)=/(%)，即/(X)是常值函數(shù)，①是真命題；

②取/(x)=x,g(x)=2x,則對任意的a,b,|/3)-/倒=,一同，|g(a)—gS)|=2|"W，滿足

|/(a)-/(Z7)|<|g(?)-g(&)|,

但/(x)-g(x)=-X是減函數(shù)，②是假命題.

故選：A.

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)

定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.某日用品按行業(yè)質(zhì)量標準分成五個等級，等級系數(shù)X依次為1、2、3、4、5,現(xiàn)從一批該日用品中隨機

抽取20件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：

X12345

fa0.20.45bc

(1)若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求a、b、c的值;

(2)在(1)的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為為、/、七,等級系數(shù)為5的2件日用品記為

%、內(nèi),現(xiàn)從為、/、七、%、為這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，

寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率.

【答案】(1)(2=0.1,6=0.15,c=0.1

(2)所有可能的結(jié)果詳見解析；概率為0.4.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率和頻數(shù)的關(guān)系可求ac的值，根據(jù)頻率和為1可求。的值.

(2)用列舉法寫出所有的可能性，再結(jié)合古典概型公式求解即可.

【小問1詳解】

因為等級系數(shù)為4的恰有3件，所以6=上3=0.15；

20

2

等級系數(shù)為5的恰有2件，所以。=一=0.1；

20

因為a+0.2+0.45+b+c=1,所以a=0.1.

故a=0.1,6=0.15,c=0.1.

【小問2詳解】

從事、%、W、%、出這5件日用品中任取兩件，所有可能得結(jié)果有：

｛再,％｝'｛再,七｝‘｛"1，%｝，｛/，%｝,｛*2，w｝'｛*2，％｝‘｛12，％｝,｛工3，％｝'｛七，％｝,｛乂，/｝共

10種情況.

這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的結(jié)果有：｛占,/｝，｛石,七｝,｛%,演｝,｛必,為｝,共4個.

4

因為每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，所以這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率為：尸=—=0.4.

10

18.如圖，已知48_L平面NC。，AB//DE,A/CD為等邊三角形，/。=?！?248,點尸為CD的中

點.

(1)求證：4F//平面3CE；

(2)求直線89和平面45C所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵旦

4

【解析】

【分析】(1)設(shè)AD=DE=2AB=2a,建立空間直角坐標系N-斗，利用向量的坐標運算得出

AF=^(BE+BQ,結(jié)合線面平行判定定理即可得結(jié)論；

(2)確定平面48c的一個法向量亢，利用而和力的夾角求解即可.

【小問1詳解】

因為45,平面/CD,AB!/DE,A/C。為等邊三角形,

設(shè)AD=DE=2AB=2a,建立如圖所示的空間直角坐標系幺—師,

則A(0,0,0),C(2a,0,0),5(0,0,a),D(a,V3a,0),E(a,^a,2a)，

?.?尸為CD的中點，.?/(!■生當a,0),

AF=(1-t7,^-a,0)，BE=(a,拒a,a),BC=(2a,0,-a),

—?1—■——.

AF=-(BE+BC),/廠仁平面3CE,

4F//平面5CF.

【小問2詳解】

又3=(0,1,0)是y軸上的單位向量，則其是平面45。的一個法向量,

因為而=Qa,*a,—a)，設(shè)跖和平面5CE所成的角為，,

V3

\BF-n\fl

則nilsin(9=。-LT_V3

回祠2axi4

???直線BF和平面ABC所成角的正弦值為巴.

4

19.為了打造美麗社區(qū)，某小區(qū)準備將一塊由一個半圓和長方形組成的空地進行美化，如圖，長方形的邊AB

為半圓的直徑，。為半圓的圓心，=2/。=200m,現(xiàn)要將此空地規(guī)劃出一個等腰三角形區(qū)域尸(底

邊跖VLCD)種植觀賞樹木，其余區(qū)域種植花卉.謖ZMOB=d,.

jr

（1）當。二—時，求△尸AW的面積；

3

（2）求三角形區(qū)域尸跖V面積的最大值.

【答案】（1）（3750百+7500）m2

（2）（7500+5000拒）m?

【解析】

【分析】（1）利用三角函數(shù)表達出"M4E的長，再由面積公式即可求解.

（2）用，的三角函數(shù)表達出三角形區(qū)域尸九W面積，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求出三角形區(qū)域尸面

積的最大值.

【小問1詳解】

設(shè)肱V與48相交于點E,則Affi=<W.sin4=100x'=506,

32

則AfiV=Affi+EN=50百+100，^￡=100+100cosy=150,

易知|Z￡|等于P到MN的距離，

x(50V3+100)x150=375073+7500(m2)

【小問2詳解】

過點P作P尸W于點尸，則尸尸=ZE=100+100cos（9,

而兒W=〃E+EN=100+100sine,

則三角形區(qū)域PMN面積為S=^\MN\-\PF\=5000(1+sin6)(1+cos，)

=5000(1+sin9+cos0+sinOcos8),

TT713兀

設(shè)sine+cos8=，，因為。所以F

45T

故/=sin，+cos6=V^sin[，+：]e[l,V^],而$也，(：056=彳^，

(尸―

則S=5000l+r+—=2500(/+l『，故當f=0時，S取得最大值，

I2J

22

5max=2500(72+1)=7500+5000^(m)

故三角形區(qū)域尸肋V面積的最大值為(7500+5000后)m2

20.如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是一個橢圓的長軸和短軸，則稱它們?yōu)椤肮草S”曲線.若雙曲線G與

橢圓G是夬軸”曲線，且橢圓a：：+，=l(0<b<3),e-=￥(9、02分別為曲線G、G的離

心率).已知點"(1,0),點P為雙曲線G上任意一點.

(1)求雙曲線G的方程；

(2)延長線段PM到點°,且怛比|=2|MQ|,若點Q在橢圓。2上，試求點尸的坐標；

(3)若點P在雙曲線G的右支上，點/、3分別為雙曲線G的左、右頂點，直線交雙曲線的左支于

點R,直線NP、8R的斜率分別為左在、kBR.是否存在實數(shù)X,使得右？=2原&?若存在，求出X的值;

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)--/=1

(2)伍,—百)或(6,⑹或(3,0)

（3）當尸、3重合時，AeR；當尸、3不重合時，存在實數(shù)2使得左左理由見解析

22Q八

【解析】

【分析】（1）根據(jù)“共軸”曲線定義，直接列式計算可得答案；

（2）設(shè)「（西,必）,。（々,%）,由=可得％=方，，%=-5%，代入°?方程與G方程聯(lián)

立，即可求得點尸的坐標；

（3）討論當P、8重合時，2eR;P、8不重合時，設(shè)出直線尸R的方程為》=卬+1,與雙曲線方程聯(lián)立,

消元后利用韋達定理進行消參，進而證明其比值為定值.

【小問1詳解】

22

根據(jù)題意雙曲線。2:^_y_=l(O<b<3)，

~9~V

因為邪2=加上x也+廿=逑,解得6=1,

J339

丫2

雙曲線G的方程為黃，=i；

【小問2詳解】

22

由⑴知，=1,C2：y+/=1，

設(shè)P（X1,必歹2），

己知"(1,0),x\PM\=2\MQ\,

mi”3-X]1

所以，％=一]%，

由點0在橢圓Q上，則［2）

9

又點p為雙曲線G上任意一點，則1―3=1,

苞=6

聯(lián)立，解得<

所以點P的坐標為(6,-J5")或(6,6)或(3,0)；

【小問3詳解】

當尸、8重合時，AeR；當尸、8不重合時，存在實數(shù)2=(,使得幻尸=；幻&,理由如下,

當尸、5重合時，由題意左以=0,則七尸二0,貝!J4ER,

當尸、8不重合時，kBR^Q,設(shè)直線PR的方程為x=(y+l,P(x”外)，火(吃,外),

x=ty+\

-9^y2+2ty-8=0,

因為雙曲線的漸近線方程為V=±p

又直線產(chǎn)加交雙曲線的左支于點R,右支于點尸，所以/e(-3,3),

由韋達定理得，M+工=；?與，"為=三\，

t—yt—y

%必

所以k”占+3%+4%,"3_2=夕心―2%

kBR"%仍+4匕沙辦+48

/一3ty^一2

—8/c

_/2_9_X_8-2%('_9)_力

『+-16_4"(尸.9)2，

9U-9?'J

所以存在實數(shù)2=3，使得幻尸=；心&-

【點睛】思路點睛：本題的解題思路是理解題目定義，求出雙曲線方程，根據(jù)定點位置合理設(shè)出直線的方

程形式，再利用直線與雙曲線的位置關(guān)系得到韋達定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判斷是否為定

值.

21.定義在。上的函數(shù)y=f(x),若對任意不同的兩點5(x2,/(x2))(x1<x2),都存在

x0e(xpx2),使得函數(shù)y=f(x)在/處的切線/與直線48平行，則稱函數(shù)y=/⑺在。上處處相依，其

中/稱為直線48的相依切線，(七,％2)為函數(shù)y=f(x)在/的相依區(qū)間.己知/(x)=-(<2+l)x2+ta.

(1)當a=2時，函數(shù)—x)=V+/(x)在R上處處相依，證明：導函數(shù)歹=尸(力在(0,1)上有零點;

⑵若函數(shù)G(x)=lnx+/?D在(0,+8)上處處相依，且對任意實數(shù)加、"，m>n>Q,都有

G(加)恒成立,求實數(shù)。的取值范圍.

m-n

0

(3)當a=0時，H(X)=^—=(X>Q),(國,％2)為函數(shù)>=〃(％)在%=1的相依區(qū)間，證明:

x；+x2>2.

【答案】(1)證明見詳解

(2)—,+co^(3)證明見詳解

【解析】

【分析】(1)求出歹=廠'(了)，根據(jù)零點存在性定理判斷證明;

(2)根據(jù)函數(shù)G(x)在(0,+8)上處處相依，可