湘教版七年級數學下冊壓軸題攻略：平方差公式與完全平方公式 壓軸題八種模型（原卷版）

專題06平方差公式與完全平方公式壓軸題八種模型全攻略

【考點導航】

目錄

【典型例題】.............................................................................1

【考點一判斷是否可用平方差公式運算】.....................................................1

【考點二運用平方差公式進行運算】........................................................2

【考點三運用完全平方公式進行運算】.......................................................2

【考點四利用平方差公式與完全平方公式進行簡便運算】......................................3

【考點五通過對完全平方公式變形求值】.....................................................3

【考點六求完全平方式中的字母系數】.......................................................4

【考點七平方差公式與幾何圖形】..........................................................4

【考點八完全平方公式與幾何圖形】........................................................6

——S1【過關檢測】..........................................................................8

【典型例題】

【考點一判斷是否可用平方差公式運算】

例題：（2024上?福建泉州?八年級統(tǒng)考期末）下列各式中不能用平方差公式進行計算的是（）

A.B.(b+a)[a-b)C.(a-\-2b)(b-2a)D.+

【變式訓練】

1.（2024上?湖南衡陽,八年級統(tǒng)考期末）下列各式中，不能用平方差公式計算的是（）

A.(2x-y)(2x+_y)B.(-x+y)(x-y)

C.[b-a)[b+a)D.(x-y)(-y-x)

2.（2024上?陜西延安?八年級統(tǒng)考期末）在下列計算中，不能用平方差公式計算的是（）

A.(m-n)(m+n)B.(/-y3)(x3+j3)

C.(-a-b){a+b)D.(2x+y)(y-2x)

【考點二運用平方差公式進行運算】

例題：（2023?上海?七年級假期作業(yè)）計算：

⑴（）；⑵；

3x+5/3x-5+(3)(2x+y)(2x-y).

【變式訓練】

1.(2024下?全國?七年級假期作業(yè))計算：

⑴+(2)(m+7i)(m-?)；

(3)(0.1-x)(0.1+x)；(4)(x+j)(-y+x).

2.（2023上?八年級課時練習）計算:

⑴（5/—3〃）（5根+3〃）；(2)(-2a2+5Z?)(-2a2-5Z,)；

(4)(-3j-4x)(3j-4x).

【考點三運用完全平方公式進行運算】

例題：（2023上,八年級課時練習）計算：

⑴（）（）（］；

2°-36\2^x-2y(3)(4/-36)2；(4)(x-l)2-%2.

【變式訓練】

1.（2023上?八年級課時練習）計算：

22^a-3bv^3b-^a

⑴（3a一6）:（2）（-x-j）；(3)

2.（2023上?天津和平?八年級天津市第二南開中學?？奸_學考試）運用乘法公式計算:

(1)(X+J+1)(X+J-1)⑵(a+26-1)2

【考點四利用平方差公式與完全平方公式進行簡便運算】

例題：(2023下?陜西西安?七年級?？茧A段練習)求值：

(1)20202-2019x2021(2)20182+182-36x2018.

【變式訓練】

1.(2023下?江西贛州?七年級?？茧A段練習)利用乘法公式進行簡便計算.

(1)1372-138X136(2)972

【考點五通過對完全平方公式變形求值】

例題：(2023上?河南南陽?八年級校聯(lián)考階段練習)已知x+y=5,個=4,求下列各式的值.

⑴(尤+“

⑵產+產

【變式訓練】

1.(2023上?甘肅平涼?八年級統(tǒng)考期末)閱讀理解：

已知。+少=5,ab=3,求〃2+匕2的值.

解:13a+6=5,

+=25,a2+lab+Z>2=25,

團aZ?=3,

^\a2+b2=(a+b)2-2ab=19,

參考上述過程解答：

⑴若x-y=_3,xy=-2.

@x2+y2=；

②求（元+y）2的值;

（2）已知x+y=7,x2+y2=25,求（x-y）2的值.

2.（2024上?甘肅定西?八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：若滿足（8-x）（x—6）=-3,求e-才+（*-6）2的值.

W：設8-x=a,x-6=b,則（8一%）（%—6）=仍=-3,a+b=8-x+x-6=2

所以（8_x）2+（x_6）2=+6=g+92_2仍=22_2X（_3）=]0

請仿照上例解決下面的問題：

⑴問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足（3—x）（x—2）=70,求：（3-尤『+（工-2）2的值.

⑵若（6-xy+（x-4）2=8,求：（6—x）（x-4）的值.

【考點六求完全平方式中的字母系數】

例題：（2023上?寧夏吳忠?八年級?？计谀┤绻?區(qū)+25是一個完全平方式，那么左的值是

【變式訓練】

1.（2024上?河南駐馬店?八年級統(tǒng)考期末）若V-6x+k是x的完全平方式，貝心=

2.（2023上?全國?八年級期末）若多項式a?+1+M的結果是一個多項式的平方，則單項式〃=

【考點七平方差公式與幾何圖形】

例題：（2023上?吉林?八年級統(tǒng)考期末）探究活動:

圖2

（1）如圖1是邊長分別為服b的正方形，可以求出陰影部分的面積是寫成兩數平方差的形式）

（2）如圖2,若將圖1中陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，面積是一.（寫成多項式乘積的形式）

（3）比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到等式：

知識應用:

①計算：(x+3y)(x-3y)(x2+9y2)；

②計算998x1002

【變式訓練】

1.（2022上?湖南衡陽?八年級衡陽市外國語學校?？茧A段練習）實踐與探索：如圖1,在邊長為。的大正方

形里挖去一個邊長為6的小正方形，再把圖1中的剩余部分（陰影部分）拼成一個長方形（如圖2所示）.

b

圖1圖2

⑴上述操作能驗證的等式是：（請選擇正確的一個）

A.a2—b2=(?+/?)(?—Z?)

B.a"—2ab+=(a—b)

C.a2+ab=a^a+b)

（2）請應用這個等式完成下列各題：

①已知4/-/J?=24,2a+b=6,貝!|2。-6=.

②計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）.

2.（2023上?河南南陽?八年級統(tǒng)考期中）我國著名數學家華羅庚說過"數缺形時少直觀，形缺數時難入微;

數形結合百般好，隔離分家萬事休".請你利用數形結合的思想解決以下數學問題.

從邊長為。的正方形減掉一個邊長為b的正方形（如圖1）,然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）.

圖1圖2

⑴通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證的一個等式是

(2)若9/一16y2=30,3尤+4y=6,求3x-4y的值.

⑶計算焉］的值是

【考點八完全平方公式與幾何圖形】

例題：現(xiàn)有長與寬分別為a、6的小長方形若干個，用兩個這樣的小長方形，拼成如圖1的圖形，用四個相

同的小長方形拼成圖2的圖形，請認真觀察圖形，解答下列問題:

⑴根據圖中條件，請寫出圖1和圖2所驗證的關于“、b的關系式：（用。、b的代數式表示出來）;

圖1表示：；圖2表示：；

根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：

（2）若x+y=8,尤2+y2=40,貝lj（x-y）2=；孫=；

（3）如圖3,點C是線段A5上的一點，以AC,3c為邊向兩邊作正方形，設4?=7,兩正方形的面積和

H+S2=16,求圖中陰影部分面積.

【變式訓練】

1.將完全平方公式(?！?)2=。2±2岫+〃進行適當的變形，可以解決很多的數學問題，例如：若。+匕=3,

ab=\,求"+廿的值.

解：因為。+6=3,所以(a+6)2=9,BPa1+?.ab+b2=9-

又因為。。=1,所以〃2+62=7.

根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：

⑴若x+y=8,x2+y2=40,則孫=_；

(2)若尤-y=6,xy=5,求f+,2的值;

(3)兩個正方形ABC"AEFG如圖擺放，面積和為34,BG=8,則圖中陰影部分面積和為

2.如圖①，正方形A3CD是由兩個長為人寬為6的長方形和兩個邊長分別為。、6的正方形拼成的.

圖①

⑴利用正方形ABCD面積的不同表示方法，直接寫出S+4、4+〃、通之間的關系式，這個關系式是.

⑵若相滿足(2024-機y+("-2023)2=4047,請利用(1)中的數量關系，求(2024—〃*〃?—2023)的值;

⑶若將正方形EFGH的邊FG、G”分別與圖①中的PG、MG重疊，如圖②所示，已知P尸=8,NH=32,

求圖中陰影部分的面積（結果必須是一個具體數值）.

【過關檢測】

一、單選題

1.（2023下?遼寧朝陽?七年級?？计谥校┫铝懈魇街?，不能用平方差公式計算的是（）

A.（Tx+3y）（4尤+3y）B.（4x-3y）（3y—4x）

C.（Tx+3y）（Tx—3y）D.（4x+3y）（4x-3y）

2.（2023下?河北唐山?七年級統(tǒng)考期末）如果（3x+y）（）=9/-則括號內的多項式為（）

A.3x+yB.3x-yC.-3x-yD.-3x+y

3.（2024上?湖北襄陽?八年級統(tǒng)考期末）若代數式—6。+〃=（?！?）~+1,則”=（）

A.-10B.9C.10D.-9

4.（2023上?廣東汕頭?九年級汕頭市澄海中學?？茧A段練習）若M=2/-12x+15,N=x2-8x+U,則M

與N的大小關系為（）

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能確定

5.（2023上?四川宜賓?八年級四川省宜賓市第二中學校校考階段練習）誠誠同學在課外實踐活動中，利用大

小不等的兩個正方形紙板42進行拼接（重組）探究，已知紙板A與2的面積之和為52,如圖所示，現(xiàn)

將紙板B按甲方式放在紙板A的內部，陰影部分的面積為9,若將紙板A,8按乙方式并列放置后，構造新

的正方形，則陰影部分的面積為（）

A.40C.44D.45

二、填空題

6.（山西省大同市2023-2024學年八年級上學期期末數學試題）計算：（2a+3頊2〃-3外=.

7.（2023上?河南商丘?八年級?？茧A段練習）若V+GTI-DX+I可以用完全平方公因式分解，則〃?=.

8.（2024上?福建泉州?八年級統(tǒng)考期末）已知〃-62=14,a+b=2,貝.

^ab23

9.（2021上?河南鄭州?七年級?？计谥校┪覀兌x=ad-bc,例如/<=2x5—3x4=10—12=—2.如

ca45

果X、y均為有理數，并且滿足3一：=0,那么x+y的值為.

y-3x-1

10.（2024上?北京豐臺?八年級統(tǒng)考期末）如圖，有邊長分別為。，可。>為的A型和B型正方形紙片，長為

。、寬為6的C型長方形紙片若干張、1張A型紙片、1張8型紙片和2張C型紙片可以無縫隙、不重疊地

拼成一個正方形，則這個正方形的邊長為（用含。，6的式子表示）.

b

A型B型

三、解答題

11.（2024上?湖北恩施?八年級統(tǒng)考期末）計算:

(1)/,a**a+

(2)(x+2y)(x-y)-(x+y)2

12.（2024上?遼寧?八年級統(tǒng)考期末）（1）（24-l）（a-4）；

（2）（2x+3y）2—（2x+y）（2x—.

13.（2023下?江蘇?七年級專題練習）先化簡，再求值：（%+、）（%—日—（％—封2—N元一2'），其中％=—逅，

2020

y=.

2021

14.（2023下,山東青島?七年級校考期末）計算：

⑴利用整式乘法公式計算：103x97；

（2）先化簡，再求值：2Z?2+（a+Z?）（a—/?）—（a—Z?）2,其中。=—3,.

15.（2023上?云南昆明?八年級校考期中）（1）簡便計算：2024x2022-2023"

（2）先化簡再求值：（x-3y『+（3x+y）（3x-y）-5（2f-個），其中x=T,j=-|.

16.（2023上?全國?八年級課堂例題）利用乘法公式簡化運算：

⑴（a+26+c）2；

⑵（x-2y+3z）（x+2y-3z）.

17.（2024上?陜西漢中?八年級統(tǒng)考期末）如圖是一塊長（2。+36）米，寬（2。+26）米的長方形地塊，市發(fā)改

委計劃在陰影部分鋪設塑膠跑道，中間修建一個邊長為（2a+6）米的正方形足球場地.

⑴塑膠跑道的面積是多少平方米？(用含。，b的代數式表示)

(2)當a=40,6=20時，求塑膠跑道的面積.

18.(2023上?吉林長春?八年級統(tǒng)考期末)下面是小明同學化簡求值的過程，請你認真閱讀并完成相應的任

務.

,2

先化簡，再求值：2(x+l)-x(x-l)-(x+l)(x-l),其中x=-y.

解：原式=+2x+l)—x?+x—_])第_.步

=2x2+4尤+2-》2+X—彳2-1.....第二步

=5尤+1.....