與二次函數(shù)有關(guān)的常見(jiàn)壓軸題（解析版）-2022屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

專(zhuān)題19與二次函數(shù)有關(guān)的常見(jiàn)壓軸題

1.(2021?龍巖市第五中學(xué)九年級(jí)月考)拋物線丁=仆2+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(4,0),B(0,-4),直線EC過(guò)點(diǎn)

E(4,-1),C(0,-3),點(diǎn)尸是拋物線上點(diǎn)/、8間的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)4、B),過(guò)尸作PDLc軸于點(diǎn)D,

連接尸C、PE.

(1)求拋物線與直線CE的解析式；

(2)求證：PC+尸。為定值；

(3)若的面積為1,求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴y=^x2-4,j=1x-3；(2)見(jiàn)解析；(3)4(1+5,1-2),月(1+6,日-3)

【解題思路分析】(1)將N(4,0),B(0,-4)的坐標(biāo)代入F=G2+6,利用待定系數(shù)法得拋物線解析

式，再將點(diǎn)K(4,-1),C(0,-3)的坐標(biāo)代入y=%x+”可得問(wèn)題的答案；

(2)設(shè)點(diǎn)尸卜,，2_4)

,0<7<4,如圖，過(guò)點(diǎn)尸作尸F(xiàn)ly軸于點(diǎn)R從而得PRPD、PC、尸C的長(zhǎng)度，從而得到答案；

(3)設(shè)。尸與EC的交點(diǎn)為G,設(shè)一4),①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)P上方時(shí)，根據(jù)三角形面積公式可得答案；

②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸下方時(shí)，根據(jù)三角形面積公式可得答案.

【解析】解：(1)將4(4,0),B(0,-4)的坐標(biāo)代入歹=aN+b,

得[]\6a—+b-Q

'_j_

解得，”z,

b=-4

1,

???拋物線的解析式為k,2—,

4

設(shè)直線CE為歹=加工+〃，將點(diǎn)￡(4,-1),C(0,-3)的坐標(biāo)代入y=m;+〃得，

14加+〃=-1

\n=-3'

1

,*m=一

解得，2,

n=-3

???直線CE的解析式是y=；》-3；

(2)證明：設(shè)點(diǎn)尸4),0</<4,如圖，過(guò)點(diǎn)尸作尸F(xiàn)ly軸于點(diǎn)尸，

則尸產(chǎn)=3FC=-Z2-4+3=-f2-l

44

所以尸C+PO=［：/2+ij+14-：f2］=5為定值；

（3）解：方法一：設(shè)DP與EC的交點(diǎn)為G,設(shè)尸［三；--4

■:SQ>EC=1，

解得：占=1+百，X2=1-V3（負(fù)根舍去），

②如圖，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)P下方時(shí),

'：S"EC=1，

解得：￡=1+近，X4=1-V7(負(fù)根舍去)，

2

.?.y=lx(l+V7)-4=^-2,即5l+V7,y--2,

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有耳=“+6,4-3],5"+J7,1一2.

I2JI2)

方法二：如圖，分別過(guò)點(diǎn)P,E作PF_LCE,軸，垂足為尸，H,PD交CE于點(diǎn)、G,

在RtAEHC中,EH=4,HC=2,

?1?CE=4EH2+HC2=2V5，

,?SAPEC=],

：.-CE^PF=1,

2

即尸E,

5

-PFLCE,PG1EH,

:.XPFGsRCHE,

PGEC

''~PF~~EH'

PG2>j5

即收一4，

T

解得PG=g,

???過(guò)點(diǎn)尸與直線CE平行，且與直線CE距離為q的直線有兩條：y=,

[12/

y=—x-4

依題意得：：5，

y=-x—

I22

解得：x=1±5（負(fù)根舍去），

x=1+\/Y，y=不——2，

2

P\1+V7,-2,

f12,

片片-4

V17，

y=-x——

C22

解得：x=1±V3（負(fù)根舍去），

?**x=1+,\/3，y=-3，

2

???鳥(niǎo)（1+百，三一3）,

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有理1+近,[-2）,8（1+6,[一3）.

2.（2021?江蘇射陽(yáng)?九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+6x經(jīng)過(guò)/

（-4,0）,5（-3,V3）兩點(diǎn)，連接N8,BO.

（1）求拋物線表達(dá)式和直線。8解析式；

（2）點(diǎn)C是第二象限內(nèi)直線。2上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)C使△C02面積最大？若存在請(qǐng)求

出點(diǎn)C坐標(biāo)及最大面積，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)D從點(diǎn)。出發(fā)沿線段04向點(diǎn)工作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)線段04上另一個(gè)點(diǎn)〃

從點(diǎn)/出發(fā)沿線段/。向點(diǎn)。作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度（當(dāng)點(diǎn)X到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)。也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)

）.過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線，與直線08交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)到點(diǎn)尸，使得E尸=。￡,以DF為邊,在D尸左側(cè)作等邊

ADGF（當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)G、點(diǎn)廠也隨之運(yùn)動(dòng)）.過(guò)點(diǎn)〃作x軸的垂線，與直線48交于點(diǎn)L,延長(zhǎng)到點(diǎn)加，

使得以HM為邊,在加的右側(cè)作等邊（當(dāng)點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M、點(diǎn)N也隨之運(yùn)動(dòng)）.當(dāng)點(diǎn)。

運(yùn)動(dòng)/秒時(shí)，aOG廠有一條邊所在直線恰好過(guò)△附W的重心，直接寫(xiě)出此刻f的值.

【答案】⑴拋物線解析式「\一￥工，直線解析式尸-永；（2）存在，點(diǎn)。色,孚

,最大面積為名目；（3）f的值為2s或時(shí)，ADG尸有一條邊所在直線恰好過(guò)的重心.

8511

【解題思路分析】（1）利用待定系數(shù)法分別把點(diǎn)/、8的坐標(biāo)代入拋物線解析式，設(shè)直線解析式為

y=kx,進(jìn)而代點(diǎn)求解即可；

(2)過(guò)點(diǎn)C作C0||y軸，交02于點(diǎn)0,由⑴可設(shè)點(diǎn)。-——m\,Qm,--m,則有

I33JI31

CQ=_^-m2-^3m,然后根據(jù)鉛垂法可進(jìn)行求解；

(3)由題意可分兩種情況：①當(dāng)直線。尸經(jīng)過(guò)的重心尸時(shí)，②當(dāng)直線。G經(jīng)過(guò)△HAW的重心尸時(shí)，然

后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)可進(jìn)行求解.

【解析】解：(1)由題意得：把點(diǎn)/、8的坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+6x得:

1646=0

,解得:

9a-3b=s/3

???拋物線解析式為尸-3-?，

設(shè)直線解析式為^=履，

：.-3k=5解得：k=-—,

3

???直線08解析式為＞=x；

(2)過(guò)點(diǎn)C作C0||y軸，交OB于點(diǎn)Q,如圖所示:

I+,/，、—1"、幾上八（24乖I，小，分

由（1）可設(shè)點(diǎn)Cm,--—m—m

I33,

?:點(diǎn)B(-3,百)，

??.△COB的水平寬為3,

。0

2

.??當(dāng)加=-：時(shí)，△CO3的面積為最大，最大值為見(jiàn)1,

28

把加=-：代入拋物線解析式得：y=

24

二點(diǎn)C

(3)由題意可分兩種情況:

①當(dāng)直線。尸經(jīng)過(guò)△〃?出的重心P時(shí)，如圖2,連接

■.-LM=LH,且△力何是等邊三角形，

:點(diǎn)P在NL上,

由題意得：0D=t,AH=2t,

AB=^（-4+3）2+（0-V3）2=2,ON=4,OB=^32+（0-73）2=273,

■-AB2+OB2=0A2,且=

2

...ZAOB=30°,ZBAO=60°,

軸，

：./LALH=30°,

:?LH=2底,

:.HN=HM=2HL=4底,

???"HN=60。,

LN=HN?sin60。=6t,

??,即_Lx軸，MKLx軸，

??.ZLHD=ZPDH=ZPLH=90°,

???四邊形電加是矩形，

,:點(diǎn)尸是重心，

：.PL=DH=-LN=2t,

3

-OA=AH+HD+OD=4,

,,4

：.2t+2t+t=4,解得：；

②當(dāng)直線QG經(jīng)過(guò)的重心。時(shí)，如圖3,連接NL,

：DPUMN,

LP_LK

:LH=LM,

KL1

，,KH=4,

：LPHDH,

KHDH4'4-3t4

4

解得：,

44

綜上所述：/的值為《s或時(shí)，△DG/苗一條邊所在直線恰好過(guò)的重心.

3.(2021?九龍坡?重慶市育才中學(xué)九年級(jí)月考)如圖，拋物線》=^2+阮+3交x軸于點(diǎn)/(T,0)和點(diǎn)2(3,

0),與歹軸交于點(diǎn)C,連3C,交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)D

(2)點(diǎn)尸是直線2C上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接尸C,PD,求"CD的面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)尸的

坐標(biāo);

(3)將拋物線/="2+加+3向右平移1個(gè)單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是新

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)G是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn).當(dāng)以。、￡、F,G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí),

直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解其中一個(gè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)的過(guò)程.

9

【答案】(1)產(chǎn)-/+2x+3；(2)△尸的面積最大值為二

O

8+歷)

Py);(3)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,2)或(2,二及)或⑵

4

【解題思路分析［(1)由48兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式;

(2)過(guò)點(diǎn)尸作直線PNlx軸于點(diǎn)N,交直線于點(diǎn)先求出直線8c的解析式，設(shè)P(x,-

x2+2x+3),則M(x,-

x+3),求出面積的表達(dá)式，這是一個(gè)二次函數(shù)，求出其取最大值的條件，即可求解；

(3)求得新拋物線的解析式為產(chǎn)-(x-2)2+4,對(duì)稱(chēng)軸為直線%=2,兩拋物線的交點(diǎn)為E

315

(-,1)，分￡＞尸為對(duì)角線，DG為對(duì)角線兩種情況討論，畫(huà)出圖形利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可.

【解析】解：(1)由題意可得:

Iq—b+3=0[tz=—1

?gon,解得，卜9,

[9a+30+3=0[b-2

???拋物線解析式為y=-N+2x+3；

(2)過(guò)點(diǎn)尸作直線PNlx軸于點(diǎn)M交直線8c于點(diǎn)M,

令x=0,則尸3,

二點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),

拋物線尸-x2+2x+3的對(duì)稱(chēng)軸為直線產(chǎn)-2=1，

2a

設(shè)直線5c的解析式為：y=kx+3,則有：

Ax+3=0,

解得：k=-\,

???直線的解析式為：y=-x+3,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,2),

設(shè)尸(x,-x2+2x+3),則M(x,-x+3),

：,PM=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x.

x-|

?'?S^PCD=yPM?(X[)-Xc)=5(?N+3x)=-—■

39

???當(dāng)產(chǎn)彳時(shí)，△尸CZ)的面積最大，最大值為

28

327

此時(shí)P(-,—);

24

(3)將拋物線產(chǎn)-N+2x+3=_(x_1y+4向右平移1個(gè)單位得到新拋物線,

則新拋物線的解析式為尸-(X-1-1)2+4=-(X-2)2+4,對(duì)稱(chēng)軸為直線=2,

3

解方程?(X?1)2+4=?(X-2)2+4,得產(chǎn),，

①當(dāng)。咒為對(duì)角線時(shí)，如圖，四邊形DEBGi是菱形,

由對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可得，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,2）；

②當(dāng)。G為對(duì)角線時(shí)，如圖，四邊形DEG?巳是菱形,

設(shè)點(diǎn)廠的坐標(biāo)為（2,m）,

解得：“二產(chǎn)或產(chǎn),

???點(diǎn)尸2的坐標(biāo)為（2,8-歷）,點(diǎn)/3的坐標(biāo)為（2,8+歷）,

44

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,2）或（2,8-歷）或（2,8+歷）.

44

1

4.（2021?漢濱區(qū)漢濱初級(jí)中學(xué)九年級(jí)月考）已知，如圖，拋物線＞=-/卜-2）9+8與x軸分別交于點(diǎn)8

C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)8的左邊），與了軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)尸是線段N3上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

V

(1)求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求直線的解析式；

(3)過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段于點(diǎn)。，再過(guò)點(diǎn)尸做PE//x軸交拋物線于點(diǎn)E,連結(jié)。E,請(qǐng)問(wèn)是

否存在點(diǎn)P使△包)￡為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)A(0,6)、B(6,0)、C(-2,0)；(2)y=-x+6；(3)存在，(4,6),5后,3717-

5).

【解題思路分析[(1)令尸0,求得x,即可確定3、C的坐標(biāo)，然后再令尸0,求得分即可確定C的坐標(biāo)；

(2)直接運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；

1

(3)設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(冽，--(m-2)9+8),由題意可知尸ZXPE,若△尸DE是等腰直角三角形，貝I」PE=PZ),

再分別用冽表示出尸。及尸￡的長(zhǎng)，再求得冽的值，進(jìn)而求得點(diǎn)尸的坐標(biāo).

1

【解析】(1)令尸0,貝1」0=-5(、一2)7+8,解得產(chǎn)6或%=?2

:.B(6,0),C(-2,0)

1、,

令尸0,貝!]?=-5(0-2)+8,解得尸6

：?A(0,6)；

(2)設(shè)直線45的解析式為y=Ax+b,則有：

0=6k+bk=-l

,解得

6=04+6b=6

?,?直線45的解析式為y=-x+6；

1

(3)如圖：設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(m,--(m-2)+8)

???/)點(diǎn)的坐標(biāo)為(冽，-冽+6)

121

.,.PD=-—(m-2)+8-(-m+6)=--m2+3m

-PE//x軸

12

+2m+6）

：.PE=\2m-4\

12

?'?|2m-4|=——+3加

解得，加i=?2（舍），加2=4,m3=5+V17（舍），m4=5-Vi7

△尸DE為等腰直角三角形時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（4,6）,5后，3V17-5）.

5.（2021?重慶北磨?西南大學(xué)附中九年級(jí)月考）如圖，已知拋物線y=a/+6x+c與x軸交于點(diǎn)/（-2,0）

，5（6,0）,與y軸交于點(diǎn)C,且。。:/。=1:2.連接3C,與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線8c上方拋物線上一點(diǎn)，連接尸C、PD,求Ape。面積的最大值，及當(dāng)APC。面積最大

時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）”為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，N為拋物線上一點(diǎn)，在（2）的基礎(chǔ)上，是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)尸

、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）y=-卷/+；工+1；（2）面積最大值為:，P13,5

（3）存在,

【解題思路分析】(1)由題意可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求解即可；

(2)過(guò)點(diǎn)尸作尸軸于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸父x軸于點(diǎn)R設(shè)尸(加，〃)，則由S^pcz)=S梯形PE。。-S梯形DFOC-S梯形尸跖,

可得關(guān)于冽的二次函數(shù)式，從而可求得其最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)分三種情況：以尸。、CN為鄰邊的平行四邊形；以尸C、為鄰邊的平行四邊形；以PC為對(duì)角線的平

行四邊形.利用平行四邊形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo).

【解析】解：(1)???，(—2,0),CO:AO=1:2

??/O=2,CO=1

C(0,l)

4a-2b-l-c=0

把4B、。三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y="2+樂(lè)+。中，得：＜36Q+66+C=0

c=l

1

a=---

12

解得：=g

c=1

故拋物線的解析式為y=-92+；x+i

(2)過(guò)點(diǎn)尸作PE1X軸于點(diǎn)￡,對(duì)稱(chēng)軸交X軸于點(diǎn)凡如圖所示

設(shè)尸(加，ri),其中〃=一卷加之+；加+1,其中加〉0,〃〉0

貝PE=n

??,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線02

???O尸=2,且。門(mén)||。。

DFBF

???一=—,EF=OE~OF=m~2

OCOB

???5(6,0)

：?OB=6,BF=OB~OF=6-2=4

?一廠BF?OC2

OB3

..S

?3PCDS梯形PEOC-S梯形。尸oc-S梯形PEFD

=1(OC+PE)OE-1(OC+DF)OF-^(PE+DF)EF

=—(n+V)m——x1+—x2——x—+n(m-2)

2212)2，3J

=—m+n—l

6

3

???當(dāng)加=3時(shí)，4有最小值，且最小值為；

◎"CD4

此時(shí)

(3)存在

設(shè)點(diǎn)M■的坐標(biāo)為(2,k)

分三種情況：

①若平行四邊形以PC、CM為鄰邊，此時(shí)CPIIMM旦CP=MN

???點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位再向上平移9個(gè)單位可得到點(diǎn)尸

???點(diǎn)M向右平移3個(gè)單位再向上平移1個(gè)單位可得到點(diǎn)N

4

則此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5,左+1)

??,點(diǎn)拋物線上

7

，當(dāng)%=5時(shí)，j^=—

即點(diǎn)N的坐標(biāo)為

②若平行四邊形以尸C、為鄰邊，此時(shí)CPIIMV,且CP=MN

???點(diǎn)尸向左平移3個(gè)單位再向下平移J個(gè)單位可得到點(diǎn)C

二點(diǎn)”向左平移3個(gè)單位再向下平移9個(gè)單位可得到點(diǎn)N

4

則此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1,左-二）

???點(diǎn)拋物線上

7

?,?當(dāng)x=-1時(shí)，y=——

z12

即點(diǎn)N的坐標(biāo)為,

③以尸C為對(duì)角線，則PMIICN

???點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位再向上平移左個(gè)單位可得到點(diǎn)尸

???點(diǎn)C向右平移1個(gè)單位再向上平移1-4個(gè)單位可得到點(diǎn)N

4

則此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（嚀-幻

4

???點(diǎn)N在拋物線上

二當(dāng)x=l時(shí)，尸：

4

則此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（I,：）

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為或1或

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQr中，拋物線》=X2+加+。與無(wú)軸交于/、3兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)2的左側(cè)），與y

軸交于點(diǎn)C,0A=0C=3,頂點(diǎn)為。，對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E.

（1）求拋物線的解析式、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)。的坐標(biāo).

(2)在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)N,使得是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使得△如)尸是以，。為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)在拋物線上是否存在一點(diǎn)0,使得AQC0是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由;

【答案】(1)y=x2+2x-3,對(duì)稱(chēng)軸為：直線x=-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為：D(-1,—4)；(2)存在，點(diǎn)N

的坐標(biāo)為或卜1,-3+舊)或卜1,-3-而)或卜1,舊)或卜1,-m)；(3)存在，點(diǎn)

【解析】(1)解：?；O4=0C=3,

■.A(-3,0),C(0,-3),

「弘+c,解得:

?,?拋物線的解析式為：y=x2+2x-3,

對(duì)稱(chēng)軸為：直線x=-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為：D(―1,—4).

(2)解：由題意可設(shè)N(-1,〃)，/(-3,0),。(0,-3),

?.?△/CN是等腰三角形，

.??①當(dāng)NN=CN時(shí)，則根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得：

(-l+3)2+(n-0)2=(-l-0)2+(n+3)2,解得：n=-l,

???點(diǎn)N(*l)；

②當(dāng)NC=CN時(shí)，則根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得：

32+32=(-1-0)2+(?+3)2,解得：〃[=-3+如,巧=-3-如,

③當(dāng)NC=/N時(shí)，則根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得：

2

3。+3=(—1+3)~+(〃—0)2,解得：=V14,n2=—414,

..?點(diǎn)MT舊)或卜1,-VS)；

綜上所述：當(dāng)是等腰三角形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或卜1,-3+后)或卜1,-3-炳)或(-1,71可或

(-1,-714)

(3)解：存在，理由如下：

過(guò)點(diǎn)P作尸01AD于點(diǎn)。，如圖所示：

???△4。尸是以4。為底邊的等腰三角形，

.e.AQ=DQ,

?.?^(-3,0),2)(-1,-4),

???由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得。(-2,-2),

由直線4。的解析式y(tǒng)=-2x-6可知舄0=-2,

■：PQLAD,

?1?kAD'kPQ=~^,解得：⑥2=；，

設(shè)直線P。的解析式為y=+把點(diǎn)。(-2,-2)代入得：-2=；X(-2)+6,

解得：b=-\,

???直線P。的解析式為y=

聯(lián)立直線尸。與拋物線的解析式可得：V+2X_3=；X-1,化簡(jiǎn)得：2/+3X-4=0,

解得：23+741-3-741;

1424

一」-3+1-ll+V41Vf-3-V4i-11-西)

??,點(diǎn)或

(4)解：存在，理由如下：

「A0co是等邊三角形，。(0,-3),

...QC=QO=OC=3,

過(guò)點(diǎn)。作0GQ軸于點(diǎn)G,如圖所示:

3

.?.OG=GC=一,

2

.??在放ZsOG。中，QG=y/OQ2-OG2=^y->

，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-浮，縱坐標(biāo)為-g,

7.(2021?河北?天津外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)月考)如圖，拋物線》=4+加+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)

4-3,0),B(l,0),C(0,-3).

(2)若點(diǎn)尸為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，求AP5C周長(zhǎng)取得最小值時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,OE_Lx軸于點(diǎn)￡,在了軸上是否存在點(diǎn)M使得是直角三角形？若存

在，請(qǐng)求出點(diǎn)少的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

【答案】(1)y=x+2x-3；(2)P(-l,-2)；(3)存在，M/0,-1),M2(0,-3),%(0,-g1,

也3-3

【解題思路分析】(1)待定系數(shù)法求拋物線解析式：已知點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式設(shè)二次函數(shù)不等式，再

把剩余的點(diǎn)代入整理即可得出拋物線解析式；

(2)這是一個(gè)最短距離問(wèn)題，利用點(diǎn)A、3關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)性，即可得出本題答案；

(3)分三種情況進(jìn)行討論，利用勾股定理代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【解析】解：(1),??拋物線》="2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)，(-3,0),5(1,0)

???可設(shè)拋物線的解析式為：>=4x+3)(x-1),

將C(0,-3)代入得：

-3=<0+3)(0-1)

解得：a=l,

貝ljy=(x+3)(x-1)=x2+2x-3,

???拋物線的解析式為y=x2+2x-3；

(2)如下圖，連接4C交對(duì)稱(chēng)軸于P,

0

???PA=PB,

，PB+PC=PA+PC,

???此時(shí)PB+PC最短,AP5C周長(zhǎng)取得最小值，

設(shè)直線ZC的解析式為y=Ax+b,則

a=-3

\-3k+b=0"

[k=-l

解得

???直線/C的解析式為y=-x-3

2

???拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1=-1,

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,-2)；

(3)在y軸上存在點(diǎn)M使得是直角三角形，理由如下:

=x2+2x-3=(x+1)2-4

二頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,-4),

?.?/(一3,0)

AD2=(-1+3)2+(-4-0)2=20,

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,/),分三種情況進(jìn)行討論

①當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，如下圖

由勾股定理，得//

即(0-3)2+?-Op=(0+2『+(/+4>,

解得得，

3

所以點(diǎn)”的坐標(biāo)為(0,0)；

②當(dāng)。為直角頂點(diǎn)時(shí)，如下圖

由勾股定理，得:/加+刀”

即(0+1)2+?+4)2+20=(0+3)2+(/-0)2,

7

解得

7

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,--)；

③當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，如下圖

由勾股定理，AM2+DM2=AD2,

即(0+3)2+。-0)2+(0+1『+?+4)2=20,

解得f=-1或-3,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,-1)或(0,-3)；

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(。,-1),MQ-3),3(O,彳］

8.(2021?湖北矯口?九年級(jí)月考)拋物線C：丁=G2+法-3與x軸交于/(一1,0),2(3,0)兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)。在第四象限的拋物線。上，將絨段D3繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段DE,當(dāng)點(diǎn)￡恰好落

在了軸上時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,已知點(diǎn)尸(0,-2),將拋物線C向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線。

.直線/=h+2(左＞0)交拋物線Ci于M,N兩點(diǎn)(〃在N的左邊)，直線NP交拋物線G于另一點(diǎn)。，求證

:點(diǎn)M與點(diǎn)。關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

【答案】⑴產(chǎn)N—2x—3；(2)。］寫(xiě)工力普J(rèn)；(3)見(jiàn)解析

【解題思路分析】(1)把拋物線解析式設(shè)成頂點(diǎn)式V=a(x+l)(x-3),然后根據(jù)拋物線解析式為

y=ax2+6%—3進(jìn)行求解即可；

(2)過(guò)點(diǎn)。作。Glx軸于G,/ly軸于“，證明得到。G=Z)〃，設(shè)。(加，加？加-3),則

DG=-\nr一2加一3),DH=m,則加=-\m-2m-3jgp-m-3=0,由此進(jìn)行求解即可；

(3)平移后的拋物線G的解析式為y=-(x-l+l)2-4+4=/,設(shè)N(?〃，，,Q(q,q2),聯(lián)

fv—kx+2［y=tx-2

立整理得-履-2=0,則皿=-2設(shè)直線PN的解析式為廣出-2,聯(lián)立廣2整理得

[y=x2［歹二X

x2-tx+2.=0,則q〃=2,則可以得至1]加"+"(加+。=2+(_2)=0,再由及工0,即可得至11洸+q=0即

m=_q,由此求解即可.

【解析】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為V=a(x+l)(x-3),

y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a-ax2+bx-3,

J-3a=-3

\b=-2a，

[a=1

解得八

[b=-2

，拋物線的解析式為了=/-2x-3；

(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作。Glx軸于G,。//ly軸于“，

(DHO=3GB=3GO=(GOH=9。。,

???四邊形是矩形，

；/GDH=90。,

乙GDE=90。

?:乙EDB=(EDG+乙BDG=9。。,

HDE=(GDB,

，:DE=DB,

^AHDE=AGDB(AAS),

：.DG=DH,

設(shè)一2加一3),

DG=—(冽之一2加—3),DH=tn,

?**m=—(m1—2m—3)BPm2-m-3=0,

解得加=i+或加二’-(舍去)

22

圖1

（3）由題意得：平移后的拋物線G的解析式為＞=-（》-1+1）2-4+4=/,

設(shè)N（〃,叫，M（加，叫，0（%q2）,

\y=kxJt-2,

聯(lián)立2整理得M—而—2=0,

???mn=-2

設(shè)直線尸N的解析式為y=tx-2,

\y=tx-2

聯(lián)立2整理得——a+2=0,

qn=2,

mn+qn=n^m+=2+(—2)=0,

??,〃w0,

.?.加+q=0即加=—q,

27

/.m=q,

,。(-加，加

.??點(diǎn)M■與點(diǎn)0關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

圖2

9.（2021?武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）九年級(jí)月考）已知，如圖，拋物線y=-：x2+6x+c與

x軸正半軸交于/、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線y=x-2經(jīng)過(guò)/、C兩點(diǎn).

（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式；

（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)尸關(guān)于直線NC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。落在y軸上，求尸點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線y=x-t，若平移后的拋物線與直線了=尤-2交于M、N兩點(diǎn).①

求證：的長(zhǎng)度為定值；

②結(jié)合（2）的條件，直接寫(xiě)出△QMN的周長(zhǎng)的最小值

備用圖

i3

【答案】⑴y=--x2+-X-2；(2)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(6,2)；(3)①2&，②4石+2行.

【解題思路分析［(1)求出4。點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)代入尸-$2+&+的即可得解；

(2)先求NOC4=45。，再由對(duì)稱(chēng)性可知尸Cly軸，即可求出點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)，最后利用二次函數(shù)的解析式求出

結(jié)果；

(3)①先求出平移后的拋物線，再利用-機(jī)＞+機(jī)-2=x-

2,得出玉+馬=2機(jī)-4,占-％2=加2-4加+3,最后利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解；

②作K0LW,連接MP,先得出K?0N即求的最小值，即KP的長(zhǎng)，最后根據(jù)△0MN的周長(zhǎng)

的最小值即KQ+KP,得解.

【解析】解：(1)在y=x-2中，令產(chǎn)0,x=2；令x=0,y=-2；

.S(2,0),C(0,-2),

代入尸-;N+bx+c得＜0=--x4+2Z)+c

4

-2=c

b=-

解得2,

c=-1

???拋物線的解析式為：y=--x2+-x-2；

(2)如圖，-OA=OC=2,

??2。。=45。，

??,點(diǎn)尸關(guān)于直線4C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)0在謂由上，

：^OCA=^PCA=45°f

??.尸C_Ly軸，

???尸的縱坐標(biāo)為-2,

由-2=-工―+—x-2；

42

解得再=6,x2=°(舍去),

??.尸點(diǎn)坐標(biāo)為(6,2)；

(3)①設(shè)頂點(diǎn)為(加，m-j),平移后拋物線解析式為了=(x-ap+M-：,

則一工(x-m)2+m--=x-2,

44

x2+(4—2m)x+m2-4m+3=0,

設(shè)M(X]，M),N(X2，%),

2

貝！]Xj+x2=2m-4,Xj-x2=m-4m+3,

:.MN=J(X]-x,)—+(%-％￥=J(X]-%+(X]-2-X]+2)2=d2(X]+%>-=2^/2，

???MV的長(zhǎng)度為定值2&;

②如圖，作KQLMN,連接〃K,MP,由題知P(6,2),0(0,4),KQ=MN=242，則只需求的最小

值即可，

■,■KQ//MN,KQ=MN,

.?&0=QN即求及陽(yáng)的最小值，即KP的長(zhǎng)，

???0(0,4),KQ=2y[2>

■.K(-2,2),

:.KP=&2+4。=4下，

??.△QAW的周長(zhǎng)的最小值為4石+2&.

10.（2021?重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線歹=辦2+區(qū)+3交%軸于

/（_6，0）,2（36，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接2C,點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)尸作PMLBC,垂足為點(diǎn)

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)尸〃最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和尸川的最大值；

（3）在（2）的條件下，將拋物線夕=如2+云+3沿著射線OP的方向平移，使得新拋物線了過(guò)原點(diǎn)，點(diǎn)￡為原

拋物線y與新拋物線y的交點(diǎn)，若點(diǎn)G為原拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)〃為新拋物線了上一動(dòng)點(diǎn)，直接寫(xiě)出

所有使得以點(diǎn)HE,G,8為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)的的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)的過(guò)程

寫(xiě)出來(lái).

番用用

【答案】⑴拋物線的函數(shù)表達(dá)式廣干+手心⑵當(dāng)L孚用”理，點(diǎn)P（半印

（3）所有使得以點(diǎn)4E,G,X為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（一38,以），（

1173143、573145

416

【解題思路分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，將/（-若，0）,8（3g,0）兩點(diǎn)代入解析

式得

（2）過(guò)尸作尸區(qū)加軸，交5。于心可證△500△尸可得二一二丁，利用勾股定理求出BC,可得

PWPM

PM=^-PW,利用待定系數(shù)法求8c解析式為y=-，x+3,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為私點(diǎn)尸（m,

-"?+3）點(diǎn)HGn,-也~m+3）求出尸兒/==一'^加一孑叵+即可;

333612J8

（3）先求OP解析式為y=原拋物線的頂點(diǎn)為。（V3,4）,再求過(guò)點(diǎn)。與OP平行的直線解析式為

6

y=^HX+l,設(shè)點(diǎn)新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（小速〃+3）根據(jù)頂點(diǎn)式可得新拋物線的解析式為

6262

y=_；（x-｝利用新拋物線過(guò)原點(diǎn)得新拋物線為"T（x-3石丫+9,點(diǎn)￡為兩拋物線的交

（3歷63、

點(diǎn)，點(diǎn)E平，77，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分兩類(lèi)當(dāng)力￡為平行四邊形的邊，

416

NE為平行四邊形的對(duì)角線求解即可.

【解析】解：⑴???拋物線廣辦2+加+3交X軸于/（-V3,0）,B（3月，0）兩點(diǎn),

3cl--\/3b+3=0

-27Q+3回+3=0'

f1

a=——

解得］235

b-------

I3

2

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=~x+^-x+3；

（2）過(guò)P作尸叼ly軸,交BC于跖

二.乙OCB=^PWM,

??,PMIBC,

：.Z-PMW=^BOC=^Q,

???△BOCFPMW,

BC_OB

''PW~PM，

當(dāng)％=0時(shí)，＞=3,點(diǎn)C（0,3）,

???OC=3,05=3百，

在放△刃。中，BC=yj0C2+OB2=^32+（3A/3）2=6,

；?PM=——PW=-^PW-=—PW.

BC62

設(shè)5C解析式為y=kx+bx,代入5、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得：

b［=3

,3瘋+4=0，

\b.=3

解得:

［左=一1

???5C解析式為y=~~^~x+3

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為也

）點(diǎn)、H（冽，-^-m+3），

點(diǎn)尸（m,--m2+m+3

333

2

122^/3J-^-m+3=-—m+V3m,

；，PW=——mH------m+3-

33I3J3

.-.PM=-PW=~\--m2,I百2.3

+\5m=----mH-—m,

22L3J62

9拒

--PM==------m—H-------,

618

3A/3?_L.,_9-*/3

當(dāng)加二=一時(shí)，尸DM最大,

2o

（3）設(shè)。尸解析式為v=匕無(wú)，過(guò)點(diǎn)尸，將2點(diǎn)坐標(biāo)代入得”=述勺,

421

??QP解析式為昨平X,

???原拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)尸與3百一百卜百，縱坐標(biāo)尸°+至x百+3=4,

3

???原拋物線的頂點(diǎn)為。（V3,4）,

過(guò)點(diǎn)。與OP平行的直線解析式為尸亞x+仇，將點(diǎn)。坐標(biāo)代入得:

4=—xV3+Z）,,

6

3

解得％=5,

過(guò)點(diǎn)。與OP平行的直線解析式為了=學(xué)》+|,

設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（"，逆〃+』），

62

新拋物線的解析式為了=-!（》-〃）2+乎〃+3,

???拋物線過(guò)原點(diǎn),

lz?V5733

?n?0=——(0—〃)+—〃+一,

362

解得〃=36或"-亭(舍去)，

???新拋物線為V=-g1-+9,

???點(diǎn)E為兩拋物線的交點(diǎn),

-"亞x+3—2+工+3

y=

33即《33

￡X-3A/3)2+91

歹=一V=——X2+2限

33

3出

x=-----

解得：,4

63

y=-

16

,f37363、

???點(diǎn)￡1—4—16J，

當(dāng)ZE為平行四邊形的邊時(shí)，

???四邊形4HGE為平行四邊形，

■.AEWGH,且AE=GH,

??,點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為百，

點(diǎn)〃分兩種情況，

當(dāng)點(diǎn)〃在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)如圖，

點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為6-（邁+百）=-空,

44

點(diǎn)八一竽白,

當(dāng)點(diǎn)〃在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)如圖，

點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為6+（―+V3）=生3,

44

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當(dāng)NE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)如下圖，

二四邊形/HEG為平行四邊形，AGHHE,且4G=HE,

點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為右，

.??點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為乎—（百十6）=一乎，

"孚周’

所有使得以點(diǎn)4E,G,〃為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(一逋，四1),(M,史)

416416

573145、

11.(2021?哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校九年級(jí)月考)如圖1,拋物線y=Lx?+6x+c交x軸于點(diǎn)/和點(diǎn)

-4

B(點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)/的直線了=依T與拋物線y=-^x2+bx+c交于點(diǎn)。(4

,-3).

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖2,P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接尸/,PB,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為AP/B的面積為S,請(qǐng)求出S

與珀勺函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍)；

11?

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)△尸48的面積為-鼠時(shí)，在/尸上方取一點(diǎn)E,連接E4,ED,EP,若乙4

ED=45°,乙APE=2乙PAE,求線段尸￡的長(zhǎng).

AOB<.4S*4OIT?

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ffil圖2K3

【答案】（1）y=^x2-x-3；（2）S=t2-4t-U；（3）|V10

【解題思路分析】（1）根據(jù)題意，將。（4-3）代入直線解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合。（4,-3）代入

拋物線解析式，待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；

1010

（2）過(guò)點(diǎn)P作尸產(chǎn)_Lx軸于點(diǎn)尸，根據(jù)題意可得尸（。了?-/3）,進(jìn)而可得尸尸=了』一—3,根據(jù)拋物線的

解析式可得43的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論結(jié)合已知條件求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線/尸的解析式，設(shè)直線AP與7軸交于

點(diǎn)G,直線與了軸交于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)“，通過(guò)等面積法求得GH,進(jìn)而證明

ZPAD=45°,過(guò)點(diǎn)。作尸于點(diǎn)