名師伴你行高考一輪總復(fù)習(xí)新高考版數(shù)學(xué) 第2章

第二章函數(shù)

第一節(jié)函數(shù)及其表示

［復(fù)習(xí)要點(diǎn)］1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.

2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的帶要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).

3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).

-----------------理清教材,鞏固基礎(chǔ)》》?---------------------

1基礎(chǔ)普查

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的概念

定義：建立在兩個(gè)A到8的一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,使對(duì)于集合A中的_______數(shù)x,在集合B中都

有的數(shù)孔丫)和它對(duì)應(yīng)，記作；y=J(x)fxEA.

答案：非空數(shù)集任意一個(gè)唯一確定

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的三要素

函數(shù)由定義域、利值域三個(gè)要素構(gòu)成，對(duì)函數(shù)y可⑴，二￡4,其中

⑴定義域：的取值構(gòu)成的集合：

(2)值域；函數(shù)值的集合,值域由定義域和對(duì)應(yīng)法則確定.

答案；對(duì)應(yīng)關(guān)系⑴自變量x⑵伏.1州■EA}

知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有：、、.

答案：解析法列表法圖象法

知識(shí)點(diǎn)四分段函數(shù)

若函數(shù)在定義域的不同子集上，因不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).

答案：對(duì)應(yīng)關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)的定義域

1.求定義域的步驟

⑴寫出使函數(shù)式有意義的不等式(組)：

⑵解不等式(組卜

⑶寫出函數(shù)的定義域,(注意用區(qū)間或集合的形式寫出)

2.基本初等函數(shù)的定義域

(1)整式函數(shù)的定義域?yàn)镽.

⑵分式函數(shù)中分母.

(3)(禺次根式函數(shù)被開方式為.

(4)1次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為.

(5)函數(shù)負(fù)回二山的定義域?yàn)?

(6)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?

⑺對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?

答案；2,⑵不為0(3誹負(fù)數(shù)(4)R(5)恤#0)

(6)R(7)(0,+8)

知識(shí)點(diǎn)六函數(shù)的值域

基本初等函數(shù)的值域

(l)y=k+M〃￥0)的值域是.

⑵了=加+防+。(〃士0)的值域是；當(dāng)“。時(shí)，值域?yàn)?當(dāng)“0時(shí)，值域?yàn)?

(3?=$(壯0)的值域是，

(4?="(〃>0,且QWI)的值域是.

(5)y=log?￥(a>0,且斤1)的值域是.

小士「4nc-力2,)(4如一〃

答案；⑴R(2>^-,+~|1—8,-^―j(3)]緲力0}(4)(0,+8)(5)R

2考點(diǎn)排查

鉤接/教/材

I.[必修1?P25-B組T2改編]若函數(shù))，=,心)的定義域?yàn)镸=W|-2&x&2),值域?yàn)镹={)，|0W)W2),則函數(shù)/

/沁的圖象可能是()

答案:B

2,[必修1P25-B組T1改編]函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，那么，危)的定義域是;值域是

其中只有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)的y值的范圍是.

答案；[-3,0]U[2,3][1,5][1,2)U(4,51

易/錯(cuò)/問何

I.函數(shù)概念里的兩個(gè)“允許”和兩個(gè)“不允許”的理解.

如圖表示的是從集合A到集合8的對(duì)應(yīng)，是函數(shù),

答案：①②

2.函數(shù)解析式的求法：配湊法、換元法的運(yùn)用不熟練.

已知火x+l)=f-L則)W=,

答案：

3.換元法求解析式，反解忽視自變量的范圉，

已知，3=丁+5玄則/W=.

答案：3+［(#0)

JiA

-------------------題型研究?重點(diǎn)突破協(xié)0-----------------------

題型口函數(shù)的概念

角度I.函數(shù)關(guān)系的判斷

%/題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

I,［多選］［2021山東淄博模擬］設(shè)集合M={/|0W^W2},N={y|0W)，W2},那么下面的4個(gè)圖形中，能表示從集

合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有()

D

I答案1BC［解析］A不滿足函數(shù)的定義域，不正確;BC滿足函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域，iE確;D不滿足

函數(shù)的定義.故選BC.

2.已知4=卜卜=〃2,〃EN),給出下列關(guān)系式：

①/W=x；②/U)=f：⑥/㈤=/：@/(xi=x4:⑨(x)=/+l,其中能夠表示函數(shù)/：A~*A的是.

I答案］①②③④I解析I對(duì)于⑤，當(dāng)x=l時(shí)，f+偉人故⑤錯(cuò)誤，由函數(shù)定義可知①②③④均正確.

3.|2018上海卷］設(shè)。是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，兒1)是定義在。上的函數(shù)，若7W的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋琮后

與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，黃I）的可能取值只能是（）

A.小B.田

C.坐D,0

?7

I答案］B［解析］A選項(xiàng)，若人1）=#,將點(diǎn)（1,而）依次旋目樣后可得到的數(shù)圖象上的一些點(diǎn)，由圖可知,

當(dāng)\=±1,±<3,0時(shí)，對(duì)應(yīng)了兩個(gè)y值，不符合函數(shù)定義，

，川）#小.同理，結(jié)合圖象分析B,C,D選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)符合函數(shù)定義，故選B.

角度II.同一函數(shù)的判斷

%/題/調(diào)/研（題題精選，每題都代表?個(gè)方向）

4.［2021湖北武漢模擬］下列五組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是.（填序號(hào)）

￥—1

頌耳=1一］與g（x）=H：

②/2二心9與g（x）=2lgx；

@/（x）=x+2?xER與g（x）=x+2,x￡Z；

3"尸拜^與購(gòu)尸拜I

⑤尸危）與丫=段+1）,

［答案I④［解析］①中定義域不同；②中兩所數(shù)定義域不同；③中兩舀數(shù)定義城不同；⑤中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)

法則不同，故表示同一函數(shù)的只有④.

0?/題/感/悟（小提示，大智慧）

⑴兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的條件為，定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同：不要誤認(rèn)為函數(shù)解析式相同就是同一函

數(shù).

⑵函數(shù)的自變量習(xí)慣上用x表示，但也可以用其他字母表示,如?=3x+2,以M）=3川+2是同一函數(shù).

題型目函數(shù)的定義城

角度?,求已知函數(shù)的定義域

%/題/調(diào)/研（題題精選，每題都代表一個(gè)方向）

1.［2021山東荷澤模擬］已知函數(shù)人工尸愧次的值域是［1,2］,則函數(shù)夕（工）=貝囿+兒1）的定義城為（）

A.[啦，2]B.[2,4]

C.[4,8]D.[1,2]

［答案］A［解析］-x）的值域?yàn)椋?,2］,

；.lWlog、W2,；.2WxW4,

的定義域?yàn)椋?,4］,

???阿=/（4+標(biāo)）

（2WZW4,「

滿足［vfvq解得啦WxW2.

，夕⑺的定義城為［小，2］,故選A.

2.12021福建永定模擬］函數(shù)丫=獷？+1。82（的114—1）的定義域?yàn)?

［答案］修1懈析］要使函數(shù)y=\丁P+log2（tanLl）有意義，則1一/？0,1anI>0,且讓阮+品

￡孫；.一1&於1且:+HV〈E+宗kEZf可得扣El,則函數(shù)的定義域?yàn)樽?.

0?/題感悟（小提示，大智慧）

常見函數(shù)定義域的類型

⑴分式型《要滿足ywwo：

（2）偶次根式型2標(biāo)（〃EN）要滿足?r）》O；

（3）麻）］°要滿足?W0;

⑷對(duì)數(shù)型log次i）m>o,且“w1）要滿足心）》0；

（5）正切型tan（/U）］要滿足"EZ.

角度II.求抽象函數(shù)的定義域

%/題/調(diào)/研（題題精選，每題都代表?個(gè)方向）

3.已知函數(shù)7W的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）,則函數(shù)1〃+1）的定義城為（）

A.（-1,1）B?（—1,一

C.（-1,0）D.&1）

［答案］B|解析|由題意知一l<2i+l<0,則一14〈一；.

4.［2021名師原創(chuàng)］已知A(cosa,sina),B(cossin",C(cosy,sin?)是ZUBC的三個(gè)頂點(diǎn)，記p:“△ABC

是等邊三角形"，中"sin〃+sin￡+siny=0,cosa+cosj8+cosy=0w,則"是《的()

A,充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

［答案］C［解析］因?yàn)閟i/a+codaG,sin2/9+cos2^=l,sin)+co§2y=l,所以A,B,C都在圓/+尸=1

上，即0(0,0)是△A8C的外心，又由已知條件可得

sina+sin/?+f；inycosa+cos/?+cosy

3=°,3=Ot

所以ZUBC的重心是0(0,0),即△A5C外心、空心重合，從而aABC是等邊三角杉，故必要性成立.

因?yàn)閆^BC是等邊三角彩，

所以△ABC的外心也是重心.

又因?yàn)锳(cos%sina)fB(cossin砌C(cosyfsinp)在單位E)9+)。=1上，且圓心是0(0,0),

,sina+sin/+$inyco§a+cos/+co§y

所以3=0,3=0,

從而sina+sin/?+siny=0,cosa+cos/?+cosy=0.

故充分性成立.所以p是4的充要條件.故選C.

法/指/導(dǎo)(來自課堂的最有用的方法)

對(duì)于抽象函數(shù)定義域的求法

⑴若已知函數(shù)/W的定義域?yàn)橹荡藙t復(fù)合函數(shù)次式⑼的定義域由不等式aWgCOWb求出.

⑵若已知函數(shù)慮⑴)的定義域?yàn)椋踑,句，則的定義域?yàn)間(x)在XE［Q,句上的值域.

角度此已知函數(shù)定義域求參數(shù)

%/題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

5.［2021江蘇揚(yáng)州祁江蔣王中學(xué)月考］已知函數(shù)的定義域是R，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

UJ\IcutJ

A.rz>|B.—12<q爸0

C.-12<fl<0D.

［答案IB［解析］由題愈可知加+ai—3W0對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立，當(dāng)。二0時(shí),一3工0,不等式成立；當(dāng)QWO

時(shí)，要忠加+砒一3±0對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立，只需力二〃2-4〃乂(-3):0,解得一12w<0.

綜上，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是一12<dW0,故選B.

6.已知函數(shù)兒)1=1082(加+工+1)的定義域?yàn)镽,則4的取值范圍為.

［答案］&+8)［解析1由次元)=10灰(加+工+1)的定義域?yàn)镽.得ar2+x+l>0對(duì)于x￡R恒成立，當(dāng)a

=0時(shí)，x+l〉O不恒成立；當(dāng)。>0時(shí)，［=1-4〃<0,?,?〃>；.

題型3函數(shù)值與解析式的求法

%/題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

1.［2021名師原創(chuàng)］己知函數(shù)危尸的實(shí)數(shù)/>0,下列與亍碎等的函數(shù)值是1)

A.fl\nt)

B./［2(r-in/)］

C.加式L21nf)

D,［/(/-In/)］2

2,2,

［答案］A［解析］由-力二夕得-2(廣1113=由2廣211)，)=62廠2［，=西=%,貝2廣21!)。=用)貿(mào)廣2111。=貿(mào)/

?力e2f

-In/)］2,故B,C,D中的函數(shù)值均與尸相等；而川皿一。?巾一31nf)=/(-21n/)=12,與了不相等.故選A.

2.求下列函數(shù)的解析式：

(1)已知川一sin7=83%求負(fù)工)的解析式;

(2)已知g+，)=f+%,求火r)的解析式;

⑶已知7W是一次函數(shù)且MV+D-2/(A-1)=2A-+17,求7U)的解析式；

(4)定義在(-1,1)內(nèi)的函數(shù)火力滿足于力一八一月=iga+i),求yw的解析式.

［解］⑴(換元法)設(shè)1-sin尸【，隹［0,2］,

8'1sinx=l—r,

V/l-sinx)=cos2,v=1-sinM,

??次)=l-(Lf)2=2f，W［0,2］,

即Qr)=2x-f,問0,2］,

(2)［配湊法)

,W=r-2,^€[2,+8),

(3)i符定系數(shù)法)因?yàn)榛馃羰且淮魏瘮?shù)，

可設(shè),")=奴+6(。彳0),

3[a(x+1)+/>]—2[a(x—1)+/>]=2r+17.

即m+(5。+歷=2rH7,

a=2tja=2f

,解得

5a+力=17,[b=l.

.\/W的解析式是/）=2x+7.

（4乂消去法）當(dāng)xW（-lJ）時(shí),

有？/wn一幻=ig（x+"?

以一X代替工得,次一%）—，"）=lg（—x+l）.②

由①②消去A一工）得，

y（.v）=|lg（x+l）+|lg（l-x）,xE（-]fI）.

法/指/導(dǎo)（來自課堂的最有用的方法）

求函數(shù)解析式的四種常用方法

1.待定系數(shù)法

若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)），則可用待定系數(shù)法.

2.配湊法

由已知條件火g（M=Fa）,可將Ri）改寫成關(guān)于g（?的式子，然后用X替代式必便得到火》的解析式.

3.換元法

已知復(fù)合函數(shù)人?（功的解析式，求的解析式時(shí)可用換元法，即令8（?=，，從電解出無，代入已知解析式進(jìn)

行換元，此時(shí)要注意新元的取值范圍，

4.解方程組法

已知關(guān)于危）與或貝一打的等式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出人?.

題型4分段函數(shù)及應(yīng)用

角度I.已知分段函數(shù)解析式求值

Ba，題/調(diào)/研（題題精選，每題都代表一個(gè)方向）

14-log2(2-v),x<l,

I.[2021廣東梅州質(zhì)檢]設(shè)函數(shù)“r）h

2rl,x^l.

則人-2)+貝og212)=.

【答案］9［解析］V=2<1,log212>l,

.\A-2)=l+log2|2-(-2)］=3,

川Cg212尸2期122-1=2期％=6.

,鵬_2)+川og212)=9.

XV八

cosy,—

2.[2018江蘇卷]函數(shù)Ar）滿足兒t+4）=?。╥ER）,且在區(qū)間（-2,2]上，_/W=1

x+1,-2<xW0,

則領(lǐng)15））的值為

I答案]苧[解析]由函數(shù)7W滿足g44)三心)(i￡R),可知函數(shù)yw的周期是4,所以川5)=黃-1)=

-1+]=；,所以歡5))=g卜竭邛

角度II.求解分段函數(shù)不等式

BiM題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

InA-2,x>Of

3.侈選][2021河北棗強(qiáng)中學(xué)期中]己知小尸L11存在實(shí)數(shù)〃僦足物間)+1=2阿3則()

2"一1,%￡0,

A.B,負(fù)〃澗能大于0

C./?￡(-?,1]D.小￡(一8,-l]U(0,e2J

[答案IAD【解析|本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用.若4〃)>(),由如麗))+1=2刎”，

可得炳))=2加

則ln[/(w)]-2=2-/ln,)-1.

VinxWx-1齡>x,

.*.lnx—2^x—3,x—1<2A，—1<2A，—I，

?*.lnx—2^x—3<v—1<2J—I，

方程無解.

芳貝m)W0,

，:物刈)+1=2僅間-：)+1=2^)+|,

故只需解人加W0即可，

當(dāng)濟(jì)W0時(shí)，由川〃)二2小一;W0,解得川W-1;

當(dāng)例>0時(shí)，由綱)=ln/n—2S0,解得0<〃忘邑

綜上所述，當(dāng)川《(-8,-l]U(0,的時(shí)，為〃區(qū)0,滿足以Am))+1=2則叫故選AD,

得-7E0

4.[2021湖北“荊、荊、囊、宜四地七?？荚嚶?lián)黑"聯(lián)考]已知函數(shù)加0=儼!'?‘若貝〃)<1,則

忱2。+1),眾0,

實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.(-8,-3)U[0,l)B.(-3,0)u(0J)

C.(-3,1)D.(-8,-3)U(1,+8)

圖案］C［解析］解法一：當(dāng)。<0時(shí)，陟一7<1,解得〃>一3,?,?一3<“<Q;當(dāng)侖。時(shí)，Iog2（a+l）<1,

即0Q+1<2,，0Wa<l.

綜上，可得一3QV1,故選C.

解去二：畫出函數(shù)y=/（x）的圖象以及直歧y=1,如圖所示：

干

直戰(zhàn)產(chǎn)1與產(chǎn)ZW的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（—3,1）,8（1,1）,結(jié)合圖象知，/）<1的解集為（一3,1）,

即止（一3,1）.

%題/感/悟（小提示，大智慧）

有關(guān)分段不等式問題，關(guān)鍵是由定義寫出函數(shù)表達(dá)式，此過程常對(duì)自變量的取值范圍加以分段討論，

角度此應(yīng)用分段函數(shù)的性質(zhì)，求解參數(shù)問題

%/題/調(diào)/研（題題精選，每題都代表一個(gè)方向）

log2（2-X）,OWxQ,

5.［多選］［2021山東頂級(jí)名校模擬］已知函數(shù)人）=a.,n，一「若存在實(shí)數(shù)K使得函數(shù)兒I）的值

.爐一3K+3,kSxSa,

域?yàn)椋?1,1］,則實(shí)數(shù)〃可取的值為（）

3

A.2B.2

C.1+#D.3

3

時(shí)

［答案］BC［解析］y=log2（2一冷在［0：k）上是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)，y=l;2一

3

所以04W,

令g（x）=f-3f+3,則g'（x）=3『-6.x,

令屋（1）=0,解得1=0或1=2,

當(dāng)1=2葉，函數(shù)取得極小值一1,

當(dāng)/-3/+3=1時(shí)，解得xi=1,

刀=1+小,用=1一巾<0（舍）,

所以2￡“￡1+小，故選BC

(1—2a)x+3fl>A<L

6.［2021廣東珠海質(zhì)檢］已知函數(shù)/）=

lnx?x^\

的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（-8,-1］B.（一1，3

c-i,；）D.卜,

［答案］C［解析］由題意知），=山乩￥21）的值域?yàn)椋?,+8）,

故要使/W的值域?yàn)镽,則必有y=（l-2〃）x+3n為增的數(shù)，且1-加+3〃》0,

所以1一2公。且后一1,

解將一故選C.

5題/感/悟（小提示，大智慧）

⑴已知分段函數(shù)解析式求參數(shù)，需為參數(shù)的范圍屬于哪段分類討論，當(dāng)出現(xiàn)歐G）的形式時(shí)，由內(nèi)向外依次求

值且進(jìn)行討論.

⑵若已知函數(shù)的值域和定義域求參數(shù)，最好應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法.

提醒完成限時(shí)跟蹤檢測(cè)（三）

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

［復(fù)習(xí)要點(diǎn)］L理解函數(shù)的單調(diào)性,最大（?。┲导捌鋷缀我饬x.

2,會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的單調(diào)性，

-------------------公理清教材?鞏固基礎(chǔ)》》?---------------------

1基礎(chǔ)普查

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性

I.單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)員工）的定義域?yàn)?；如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)

自變量的值曾，X2

定義

當(dāng)TC2時(shí)，都有_______，那么就說函當(dāng)KU2時(shí)，都有_______，那么就說函

數(shù)段）在區(qū)間D上是增函數(shù)數(shù)yw在區(qū)間。上是減函數(shù)

F片?

圖象阿以對(duì)

描述

。卜1~~X

自左向右看圖象是________自左向右看圖象是________

2,單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)），=;㈤在區(qū)間D上是或,則稱函數(shù)y=/㈤在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D

叫做y=Ax）的單調(diào)區(qū)間.

答案；1乩⑴勺①）Ax\）>jlxi）上升的下降的

2.增函數(shù)減函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在實(shí)數(shù)M滿足

①對(duì)于任意的都有________；①對(duì)于任意的XG/,都有_______；

條件

②存在和三/,使得________②存在疑￡/,使得________

結(jié)論則M是/=41）的最大值則M是丁=/）的最小值

答案：?WMM=M/層MM=M

知識(shí)點(diǎn)三利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

I.取值；2,作差；3.化簡(jiǎn)判斷；4,下結(jié)論.

2考點(diǎn)排查

鉤接/教/材

1.［必修1山44小組19］己知函數(shù)7（1）三北2一去-8在［5,20］上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

答案：｛很W40或23160｝解析：的數(shù)Rr）的圖象的對(duì)稱軸是直線工二*

當(dāng)卜5或於20,即依40或后160時(shí)！/）在［5,20］上具有單調(diào)性.

所以,實(shí)數(shù)女的取值范圍為｛知:W40或A2160｝.

2.［必修IP39-B組T1改編］函數(shù);（x）=ln（f-2M—8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.（一%-2）B,（—8,1）

C.（1,+叼D.（4,+8）

答案：D解析：由x2—2x-8>0，得工>4或x<—2.

設(shè)尸—8,則y=hn為增畫教，

要求函數(shù)人x）的單調(diào)遞增區(qū)間，即求囪數(shù)/=.「一口一8在人#定義城上的單調(diào)遞增區(qū)間.

???函數(shù)r=V-Zt-8在區(qū)間（4,+8）上單調(diào)遞增，

在區(qū)間（-8,一2）上單調(diào)遞減.

?,?函數(shù)貝力的單調(diào)遞增區(qū)間為（4,+8）.故選D.

3.［必修1,P39，A組T1改編］函數(shù)y=f-5］一6在區(qū)間［2,4］上是（）

A.遞減函數(shù)B.遞增函數(shù)

C.先遞減再遞增函數(shù)D.先遞增再遞減函數(shù)

答案；C

4.［必修IP31?例4改編］函數(shù)由2,3］上的最小值為（）

A.2B.1

C.§D.-2

答案;B

易/錯(cuò)/問/題

1.單調(diào)性易錯(cuò)點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間首先應(yīng)注意定義域.

函數(shù)y=log?—?+1+6）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

C.（-2,3）D.&+8）

答案：A解析：由-f+x+6>0,得一2<x<3,故函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄒ?,3）,

令f=-f+x+6,則y=]og）,易知其為減函教，

由復(fù)合函藪的單調(diào)性法則可知本題等價(jià)于求函數(shù)片一9+/+6在（-2,3）上的單調(diào)遞減區(qū)間.

利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得/=-f+支+6在定義城（一2,3）上的減區(qū)間為（；，3）.故選A.

2.抽象函數(shù)單調(diào)性問題，不可忽視定義域，

已知函數(shù)次或是定義在區(qū)間[0,+8）上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足火法—1）勺g）的x的取值范闈

是（）

答案：D解析：不等式可轉(zhuǎn)化為

白一傳0,

12

,_1解得殍xq.故選D.

通/性/通/法

1.常見函數(shù)的單調(diào)性：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，

函數(shù)段）=—的單調(diào)遞增區(qū)間是；函數(shù)y=：的單調(diào)遞減區(qū)間是.

答案：（-?,I]（—8,0）,（0,+8）解析：根據(jù)二次的效、反比例函數(shù)的單調(diào)性可得.

2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，

函數(shù)火x)=log,『-1)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

答案：(—8,-))解析：函數(shù)火工)的定義域?yàn)?-8,-1)U(1,+皿)，所求區(qū)間即為內(nèi)層函數(shù)在定義域上

的單調(diào)遞減區(qū)間，即(一8,-1).

----------------------------------------o小題型研究.重點(diǎn)突破》》》-----------------

題型EJ函數(shù)的單調(diào)性

角度?,單調(diào)區(qū)間的判斷

Bi出題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

1.y=—V+2W+1的單調(diào)遞憎區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

［答案］(一8,T)和(0,1)利1,+8)

—f+2i+l,眾0,

［蹣］x<0,

-(X-1)2+2,眾0,

即y=、

(r+l)2+2,J<0.

畫出函數(shù)圖象如國(guó)所示.

則片單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,-］)和(01)，單調(diào)遞減區(qū)間為［-1則和［1,+8).

2.函數(shù)了二聲也的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為

［答案］［2,+8)(-OO,-3］

角度II.含參函數(shù)單調(diào)性的討論

%/題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

3.已知函數(shù)yw=。/+(。一2片一心討論火彳)的單調(diào)性.

［解］_/W的定義域?yàn)?-8,+oo),

f㈤=2訛%+(4—2把J1=(〃eJ1乂2/+1).

①若QWO,則/(x)<0,

所以火工)在(一°°，+—)上單調(diào)遞減.

②若〃>0,則由/(x)=(),

得x=—lna.

當(dāng)xW（-8,—m〃）時(shí)，/（“）<（）;

當(dāng)?shù)辏═na,+8）時(shí),f（#>0.

所以火x）在（一8,—）n°）上單調(diào)遞減，在（一In%+8）上單調(diào)遞增.

KU'題喃悟（小提示，大智慧）

用導(dǎo)致討論函數(shù)的單調(diào)性，需觀察參數(shù)出現(xiàn)的位置，導(dǎo)數(shù)因式分解后，常要討論兩根大小關(guān)系，含參零點(diǎn)與定

義域的關(guān)系等.

角度III.已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

Bi*題/調(diào)/研（題題精選，每題都代表一個(gè)方向）

V+（4〃-3*+3a,x<0,

4,修選H2021山東濰坊模擬］已知函數(shù)的）=?,、八（〃>0,且a*l）,則滿足函數(shù)為:）在R

llOgri（.t+l）+l?1孑0

上單調(diào)遞減的〃的取值為（）

11

--

3B.2

3D.

AC.1

4-

［答案］ABC［解析］由分段函數(shù)次劃在R上單調(diào)遞減，可得根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，可得一丁"

31131

旦），解得〃W*,又由%冽og〃（0+l）+l得％劃，解得a》］,"的取值范圍是不彳，故選ABC

（〃—3）x+5,冗Wl,

5.［2021四川南充月考］己知函數(shù)加）=2〃是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

",x>\

A.（0,3）B.（0,3］

C.（0,2）D.（0,2］

I答案ID［解析］本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用.因?yàn)楫嫿蹋︰）為R上的減函數(shù),

'〃一3<0,

所以《“丸解得0<芯2,故選D.

（a—3）X1+5^-r,

H易錯(cuò)警示

忽視分段函數(shù)定義域的分界點(diǎn)而致錯(cuò)

對(duì)于分段函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)遞增（減）的問題，除了保證在定義域的每一個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同之外，還要

考慮在分界點(diǎn)處的函數(shù)值的大小關(guān)系，著函數(shù)是增函數(shù)，則左邊小于或等于右邊（若函數(shù)是減函數(shù)，則右邊小于或

等于左邊)，這樣才能滿足在R上單調(diào)遞增，否則求出的參數(shù)的范圍會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤,

角度IV,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

Bi必題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

6.12021河北武邑期末］若函數(shù)y=log；*—德十3。)在區(qū)間(2,十8)上是減函數(shù)，則。的取值范圍為(

A.(-8,-4)U[2,+8)

B.(-4,4]

C.[-4,4)

D.[-4,4]

0

［答案］D［解析］令ur2-or+3〃，則y=logU,易知片.3—or+3”在2一上單調(diào)遞減,

?.?y=lo與(f-以+3〃)在區(qū)間(2,+8)上是減函數(shù),

—or+3〃在(2,+8)上是增函數(shù)，

且在Q,+8)上/>0,

且4-2〃+3心0,

AdG［-4,4］.故選D.

法/指/導(dǎo)(來自課堂的最有用的方法)

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

⑴將復(fù)合函數(shù)y=Wg。))分解為兩個(gè)函數(shù)與”=g(x).

⑵確定復(fù)合函數(shù)的定義域.

(3)判斷函數(shù))，=/(〃)與〃=g(x)的單調(diào)性.

(4)確定結(jié)論，

(5)若兩函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同，則函數(shù)y=?g(x))在該區(qū)間上為增函數(shù)；若兩函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上

的單調(diào)性相反，則函數(shù))，=Ag(x))在該區(qū)間上為減函數(shù).

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可概括為“同增異減”.

題型2單調(diào)性的應(yīng)用

角度I.比較函數(shù)值的大小

%/題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

I.［2019全國(guó)卷HI］設(shè)加?)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減,則(

A./(log3y)>/(2^)>/(2^)

_

B./(log3y)>/(2h>/(2-h

-

c./(2-b>/(2b>/(iog3Y)

D./(2-h>/(2^)>/(log31j

【答案］CI解析］因?yàn)?是定義城為R的偶函數(shù)，所以，詞=/(一Iogs4)=加)g34).

又因?yàn)?%4〉1〉2一1〉2+〉0,

且函數(shù)f(i)在(0,+8)單調(diào)遞減,

所以/(I嗎4)<f(2V)</(2號(hào)).故選C.

3

2

2.【2021湖南長(zhǎng)沙明德中學(xué)月考］己知函數(shù)人)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)工20時(shí)，_/W=V+3x,則〃=/(2),

3=彳1岬/c=/M)的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>b

C.h>a>cD.b>c>a

I答案IC|解析1根據(jù)函數(shù)?是定義在R上的偶函數(shù)，得同卜忌卜一3)=?又由0<譙<2|=2誼

3

<3,當(dāng)眾0時(shí)，/)=9+3工在［0,+叼上單調(diào)遞增，有，og3分雙22)達(dá)例，即板〃“，故選C.

Big/題感悟(小提示,大智慧)

利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小的求解思路

比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只

常比較自變量的大小，再根據(jù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小.

角度II,解函數(shù)不等式

Bi出題/調(diào)/研(題題精選，卷題都代表一個(gè)方向)

3.已知函數(shù)yW=kix+2%若|9—4)<2,則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

［答案1(一小，-2)U(2,小)［解析］因?yàn)楹瘮?shù)危)=lnx+2r在定義戰(zhàn)(0,+8)上單調(diào)遞增，且川)=mi

+2=2,所以由汽3—4)<2得，氏所以0<~—4<1,解得一小<*一2或20〈書.

4.定義在［-2,2］上的函數(shù)g）滿足（加一處）［/（用）-^2）］＞0,為±如且非次為-2）,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

為.

［答案］［0,1）

Bw題/感/悟（小提示，大智慧）

利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)不等式

解函數(shù)不等式的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性脫去函數(shù)符號(hào)’7,變函數(shù)不等式為一般不等式.去搟了'時(shí)，要注意

函數(shù)的定義域的限制.

題型3求函數(shù)的最值（值域）

角度?.常見函數(shù)的值域

%/題/調(diào)/研（題題精選，每題都代表一個(gè)方向）

1.求下列函數(shù)的值域：

（5=^7^，xE［-3,-1］；

（2）y=2x+、l—2t；

（3）y=j+4+^9-A2；

2A-+4X-7

⑷y、+2x+3；

（5）y=log3x+logy3-1.

【解】⑴由尸可將）'q一4（2：+1），

：一304一1,

，獷一萬而均

東yW3,即昨1,3.

⑵（代數(shù)換元法）令71-2*0）,

,1-?

則x=-2-?

?'?）0一/+f+1=

二當(dāng)/=；,即時(shí)，y取最大值，切血=今但y無最小值,

???函數(shù)的值域?yàn)椋ㄒ?,1.

（3乂三角換元法）今3cos/夕E［0,O

TOSJSit,

???為嗚?

，一乎Wsin@+￡)WL

/+4,

二國(guó)教的值域?yàn)閇1,3啦+4].

⑷(判別式法)觀察的數(shù)式，將已知的函教式變形為)必+2明+”=2?+以一7,

整理得6-24+26—2)X+3丁+7=0.顯然>聲2(運(yùn)用判別式去之前，應(yīng)先討論f的系數(shù)).

將■上式看作關(guān)于/的一元二次方程.

易知原函數(shù)的定義域?yàn)镽,則上述關(guān)于上的一元二次方程有實(shí)根，所以[=[2()，-2正一4&-2)(3｝，+7)>0.

解不等式得■一日SyS2.又)讀2,

???原良數(shù)的值域?yàn)橐籢2).

(5)y=bg優(yōu)+10加3—1變形得>'=logu+j^-l.

①當(dāng)log優(yōu)>0,即笛>1時(shí)，

產(chǎn)bg”+點(diǎn)一口2-1=1,

當(dāng)且僅當(dāng)log耕=1,即x=3時(shí)等號(hào)成立,

②當(dāng)logu<0,即0<r<l時(shí)，產(chǎn)―2—1=—3,

當(dāng)且僅當(dāng)k)giv=-l,即時(shí)等號(hào)成立.

綜上所述，原的數(shù)的值域?yàn)?-8,-3]U[1,+?>).

HA/法/指/導(dǎo)(來自課堂的最有用的方法)

函數(shù)值域的常見求法

⑴分離常數(shù)法;

(2)配方法；

(3)換元法;

(4)判別式法；

(5)有界性法；

(6)數(shù)形結(jié)合法；

⑺基本不等式法；

⑻利用函數(shù)的單調(diào)性；

(9)導(dǎo)數(shù)法.

角度II.函數(shù)的最值

Bi揶題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

2.［2021山西太原模擬］已知定義在R上的函數(shù)1yM滿足yw+_A—?=4『+2.設(shè)ga)=/u)-2?,若g(x)的最大

值和最小值分別為M和孫則M+〃1=()

A.1B.2

C.3D.4

［答案］B［解析］由#)=段)-2?,得

g(一工)=,一》-2?,

兩式相加，可得g(—x)+g(?=2,

故g(x)的圖象關(guān)于(0,1)對(duì)稱,

其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)也關(guān)于(0,1)對(duì)稱，

所以M+執(zhí)=2.故選B.

3.［2021四川成都棠湖中學(xué)期中］如果函數(shù)了=廣+為”-1(心＞0,且aWl)在上的最大值是14,那么a的

值為.

［答案］3或;［解析］本題考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的最值及二次函數(shù)的性質(zhì).設(shè)百仆＞0,則)=尸+為-1,圖

i

象的對(duì)稱軸方程為尸一1.若〃＞1,x￡［-l,L則尸?！怠?，,當(dāng)尸。時(shí)，y取得最大值，ymax=a+2a-\=

14,解得。=3或。=一5(舍去).若則尸“，:，，當(dāng)尸(時(shí)，丁取得最大值，加0尸。)

4-2X1-l=14,解得片;或片一/舍去)，

法/指/導(dǎo)(來自課堂的最有用的方法)

求函數(shù)最值的三種常用方法

1.單調(diào)性法

先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

2.圖象法

先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.

3.換元法

時(shí)比較復(fù)雜的函數(shù)，可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.

抽象函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

Bffi/題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

1.［2021陜西西安模擬］已知定義在R上的函數(shù)7W滿足；

?J［x+y)=jlx)+fiy)+lt

②當(dāng)x>0時(shí)，危)>一1.

⑴求犬0)的值，并證明火父)在R上是單調(diào)增函數(shù)；

⑵若川)=1,解關(guān)于x的不等式火『+匕)+川一工)>4.

［解|⑴令］=y=0,得先))=一1.

在R上任取用>X2,

則xi一契>0,fixi一忍)>一1.

義貝笛)=/l(K-刈+刈=府LX2)+加2)+1次的，

所以，函數(shù)/W在R上是單調(diào)增函數(shù).

⑵由川)=1,得火2)=3,<3)=5.

由"F+2r)+川一?>4,

得版+x+l)*3),

又再數(shù)在R上是增函教，

故#+x+l>3,

解得它一2或Q1,

故原不等式的解集為國(guó)左一2或x>l}.

2.函數(shù)yw的定義域?yàn)?0,+8),且對(duì)一切x>0,)，>0都有￡)=/⑴一大必當(dāng)x>l時(shí)，有"r)>0,

⑴求川)的值：

⑵判斷/W的單調(diào)性并證明：

⑶若<6)=1,解不等式41+5)-/Q<2.

醐(1次1)=陷=危)一府)=0，

⑵jU)在(0,+8)上是增函數(shù).

證明如下：

任取用，1*2€(0,+8)且用<垃，

畤>1,則優(yōu)卜(應(yīng))一/(獷)>0

即/3)磯T2),

從而貝X)在(0,+8)單增.

(3)因?yàn)槠?)=/(篇=A36)-/(6),又貝6)=1,

所以136)=2,原不等式化為兒F+56436),

又目為JU)在(0,+8)上是增函數(shù)，

，+5>0,

所以，50,解得0<rv4.

j?+5x<36,

方/法/指/導(dǎo)（來自課堂的最有用的方法）

常見抽象函數(shù)的運(yùn)算關(guān)系

yw是定義在（0,+°°）上的函數(shù)，

（1M曲）=/仙）+貝協(xié)

①若QI時(shí)，yw<oo/a）單調(diào)遞減.

②若Q1時(shí)，單調(diào)遞增.

（2次i+b）可辦火歷

①若工>0時(shí)，兒1）>1句⑴單調(diào)遞增.

②若旦）時(shí)，0勺⑴<1時(shí)⑴單調(diào)遞減.

提醒完成限時(shí)跟蹤檢測(cè)（四）

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性

［復(fù)習(xí)要點(diǎn)］1.了解函數(shù)奇偶性的含義，

2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的奇偶性.

3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性.