高中數(shù)學(xué)《平面向量的運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)

《平面向量的運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識.主要知識點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律.教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)課程目標(biāo)1．了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2．體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算；3．體會類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)量積相關(guān)概念的理解；2.邏輯推理：有關(guān)數(shù)量積的運(yùn)算；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求數(shù)量積或投影；4.數(shù)學(xué)建模：從物理問題抽象出數(shù)學(xué)模型，數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用數(shù)量積解決實(shí)際問題.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的含義與物理意義；難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念.課前準(zhǔn)備教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。教學(xué)過程情景導(dǎo)入問題1：請同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？問題2：兩個(gè)向量之間能進(jìn)行乘法運(yùn)算嗎？物理學(xué)中有沒有兩個(gè)向量之間的有關(guān)乘法運(yùn)算？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本17-21頁，思考并完成以下問題1、怎樣定義向量的數(shù)量積？向量的數(shù)量積與向量數(shù)乘相同嗎？2、向量b在a方向上的投影怎么計(jì)算？數(shù)量積的幾何意義是什么？3、向量數(shù)量積的性質(zhì)有哪些？4、向量數(shù)量積的運(yùn)算律有哪些？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1、向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a與b，作=a，=b，∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a與b的夾角。當(dāng)θ=0°時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ=180°時(shí)，a與b反向；當(dāng)θ=90°時(shí)，a與b垂直，記作a⊥b。規(guī)定：零向量可與任一向量垂直。2、射影的概念叫作向量b在a方向上的射影。注意：射影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量。3、數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量︱a︱·︱b︱叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：a·b，即：a·b=︱a︱·︱b︱注意a?b不能寫成a×b或ab的形式數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度︱a︱與b在a方向上投影的乘積，或b的長度b與a在b方向上投影的乘積。數(shù)量積的物理意義：力F與其作用下物體位移s的數(shù)量積4、向量數(shù)量積的性質(zhì)123特別地：a?a=45|a?b|≤a5、運(yùn)算定律：已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)λ，則：(1).交換律：a·b=b·a(2).數(shù)乘結(jié)合律：（）·b=λ（a·b)=a·（）(3).分配律：（a+b）·c=a·c+b·c四、典例分析、舉一反三題型一數(shù)量積的基本運(yùn)算例1已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a與b的夾角為30°，分別求a·b.【答案】①a·b=－10.②a·b＝0.③a·b＝5eq\r(3).【解析】①當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角為0°.∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10.若a與b反向，則它們的夾角為180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②當(dāng)a⊥b時(shí)，它們的夾角為90°.∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.③當(dāng)a與b的夾角為30°時(shí)，a·b＝|a||b|cos30°＝2×5×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3).解題技巧（向量數(shù)量積的運(yùn)算方法）(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)注意共線時(shí)θ＝0°或180°，垂直時(shí)θ＝90°，三種特殊情況．

跟蹤訓(xùn)練一1、已知點(diǎn)A，B，C滿足|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up16(→))|＝5，則eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))的值是________．【答案】－25．【解析】如圖，根據(jù)題意可得△ABC為直角三角形，且B＝eq\f(π,2)，cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(4,5)，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×eq\f(4,5)－15×eq\f(3,5)＝－25.題型二數(shù)量積的幾何意義例2已知|a|＝6，e為單位向量，當(dāng)它們之間的夾角θ分別等于45°，90°，135°時(shí)，求出a在e方向上的投影，并畫圖說明．【答案】見解析【解析】如下圖所示，當(dāng)θ＝45°時(shí)，a在e方向上的正投影的數(shù)量為3eq\r(2)；當(dāng)θ＝90°時(shí)，a在e方向上的投影的數(shù)量為0；當(dāng)θ＝135°時(shí)，a在e方向上的投影的數(shù)量為－3eq\r(2).∴|a|·cos45°＝3eq\r(2)，|a|·cos90°＝0，|a|·cos135°＝－3eq\r(2).解題技巧：(向量投影的注意事項(xiàng))(1)b在a方向上的投影為|b|cosθ(θ是a與b的夾角)，也可以寫成eq\f(a·b,|a|).(2)投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可為零．跟蹤訓(xùn)練二1、已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6.(1)向量a在向量b方向上的投影為________．(1)向量b在向量a方向上的投影為________．2、在邊長為2的正三角形ABC中，eq\o(AB,\s\up16(→))在eq\o(BC,\s\up16(→))方向上的投影為______．【答案】1、(1)－322、－1.【解析】1、（1）a?bb=-32a?b2、AB題型三向量的混合運(yùn)算例3(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，求(a＋2b)·(a-3b)=_____________．(2)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝________．【答案】（1）-72.（2）2.【解析】(1)(a＋2b)·(a-3b)＝a·a-a·b-6b·b＝|a|2-a·b-6|b|2＝|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2＝62-6×4×cos60°-6×42＝-72.（2）eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))))·(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\o(AD,\s\up16(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))2＝22－eq\f(1,2)×22＝2.解題技巧（向量混合運(yùn)算注意事項(xiàng)）(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積，首先確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．跟蹤訓(xùn)練三1.已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為eq\f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝________．2．已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，則t＝________.【答案】1、-6.2、2．【解析】1、由題設(shè)知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝eq\f(1,2)，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3eeq\o\al(2,1)－2e1·e2－8eeq\o\al(2,2)＝3－2×eq\f(1,2)－8＝－6.2、因?yàn)閎·c＝0，所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)·b2＝0，又因?yàn)閨a|＝|b|＝1，a，b的夾角為60°，所以eq\f(1,2)t＋1－t＝0，所以t＝2.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)6.2.46.2.4向量的加法運(yùn)算第一課時(shí)向量的數(shù)量積