2025年不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型歸納

不等式的基本知識(shí)一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：設(shè)對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的多種狀況如下表：二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無實(shí)根R2、簡樸的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其環(huán)節(jié)是：1）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一種因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；2）將每一種一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集。3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思緒是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一種因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最終用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。4、不等式的恒成立問題：常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上二、線性規(guī)劃1、用二元一次不等式（組）表達(dá)平面區(qū)域二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表達(dá)直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域.（虛線表達(dá)區(qū)域不包括邊界直線）2、二元一次不等式表達(dá)哪個(gè)平面區(qū)域的判斷措施由于對(duì)在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)()，把它的坐標(biāo)（)代入Ax+By+C，所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相似，因此只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C＞0表達(dá)直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）3、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：①線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是有關(guān)x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件．②線性目的函數(shù)：有關(guān)x、y的一次式z=ax+by是欲到達(dá)最大值或最小值所波及的變量x、y的解析式，叫線性目的函數(shù)．③線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目的函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．④可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解構(gòu)成的集合叫做可行域．使目的函數(shù)獲得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解．4、求線性目的函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的環(huán)節(jié)：1）尋找線性約束條件，列出線性目的函數(shù)；2）由二元一次不等式表達(dá)的平面區(qū)域做出可行域；3）根據(jù)線性目的函數(shù)作參照直線ax+by＝0，在可行域內(nèi)平移參照直線求目的函數(shù)的最優(yōu)解.三、基本不等式1、若a,b∈R,則a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).2、假如a,b是正數(shù)，那么變形：有:a+b≥；ab≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).3、假如a,b∈R+,a·b=P(定值),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),a+b有最小值;假如a,b∈R+,且a+b=S(定值),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),ab有最大值.注：1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，可以求它們和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．2）求最值的重要條件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：1）(根據(jù)目的不等式左右的運(yùn)算構(gòu)造選用)；2）a、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）；3）若，則（糖水的濃度問題）。不等式重要題型講解一、不等式與不等關(guān)系題型一：不等式的性質(zhì)1、對(duì)于實(shí)數(shù)中，給出下列命題：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，則。其中對(duì)的的命題是______題型二：比較大小（作差法、函數(shù)單調(diào)性、中間量比較，基本不等式）2、設(shè)，，，試比較的大小3、比較1+與的大小4、若，則的大小關(guān)系是.二、解不等式題型三：解不等式5、解不等式：6、解不等式。7、解不等式8、不等式的解集為{x|-1＜x＜2}，則=_____,b=_______9、有關(guān)的不等式的解集為，則有關(guān)的不等式的解集為10、解有關(guān)x的不等式題型四：恒成立問題11、有關(guān)x的不等式ax2+ax+1＞0恒成立，則a的取值范圍是_____________12、若不等式對(duì)的所有實(shí)數(shù)都成立，求的取值范圍.13、已知且，求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍。三、基本不等式題型五：求最值14、（直接用）求下列函數(shù)的值域1）y＝3x2＋eq\f(1,2x2)2）y＝x＋eq\f(1,x)15、（配湊項(xiàng)與系數(shù)）1）已知，求函數(shù)的最大值。2）當(dāng)時(shí)，求的最大值。16、（耐克函數(shù)型）求的值域。注意：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的狀況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。17、（用耐克函數(shù)單調(diào)性）求函數(shù)的值域。18、（條件不等式）1）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是.2）已知，且，求的最小值。3）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值.4）已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝eq\f(1,ab)的最小值.題型六：運(yùn)用基本不等式證明不等式19、已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：20、正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc21、已知a、b、c，且。求證：題型七：均值定理實(shí)際應(yīng)用問題：22、某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m2的三級(jí)污水處理池（平面圖如圖），假如池外圈周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建筑單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元，池壁的厚度忽視不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)。四、線性規(guī)劃題型八：目的函數(shù)求最值23、滿足不等式組，求目的函數(shù)的最大值24、已知實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根為、,并且,．則的取值范圍是25、已知滿足約束條件：,則的最小值是26、已知變量（其中a>0）僅在點(diǎn)（3，0）處獲得最大值，則a的取值范圍為。27、已知實(shí)數(shù)滿足假如目的函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)等于題型九：實(shí)際問題28、某餅店制作的豆沙月餅每個(gè)成本35元，售價(jià)50元；鳳梨月餅每個(gè)成本20元，售價(jià)30元。目前要將這兩種月餅裝成一盒，個(gè)數(shù)不超過10個(gè)，售價(jià)不超過350元，問豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾種，可使利潤最大？又利潤最大為多少？不等式的基本知識(shí)參照答案高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容練習(xí)---不等式1、②③⑥⑦⑧；2、；3、當(dāng)或時(shí)，1+＞；當(dāng)時(shí)，1+＜；當(dāng)時(shí)，1+＝4、∵∴（∴R>Q>P。5、6、或；7、）；8、不等式的解集為{x|-1＜x＜2}，則=___-6____,b=__6_____9、）.10、解：當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為； 2分當(dāng)a≠0時(shí)，a(x－)(x－1)＜0；當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式等價(jià)于(x－)(x－1)＞0不等式的解集為； 6分當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1＜，不等式的解集為； 8分當(dāng)a＞1時(shí)，＜1，不等式的解集為； 10分當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解為φ． 12分11、0≤x＜412、）13、14、解：1）y＝3x2＋eq\f(1,2x2)≥2eq\r(3x2·eq\f(1,2x2))＝eq\r(6)∴值域?yàn)閇eq\r(6)，+∞）2）當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·eq\f(1,x))＝2；當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋eq\f(1,x)=－（－x－eq\f(1,x)）≤－2eq\r(x·eq\f(1,x))=－2∴值域?yàn)椋ǎ?，?]∪[2，+∞）15、1）解，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，。2）當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，的最大值為8。16、解析一：當(dāng),即時(shí),（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。解析二：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。當(dāng),即t=時(shí),（當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。17、解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。由于在區(qū)間單調(diào)遞增，因此在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。因此，所求函數(shù)的值域?yàn)椤?8、（條件不等式）1）解：都是正數(shù)，≥當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由及得即當(dāng)時(shí)，的最小值是6．2）解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，又，可得時(shí)，3）解：xeq\r(1＋y2)＝xeq\r(2·eq\f(1＋y2,2))＝eq\r(2)x·eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))下面將x，eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))分別當(dāng)作兩個(gè)因式：x·eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))≤eq\f(x2＋(eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2)))2,2)＝eq\f(x2＋eq\f(y2,2)＋eq\f(1,2),2)＝eq\f(3,4)即xeq\r(1＋y2)＝eq\r(2)·xeq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))≤eq\f(3,4)eq\r(2)4）解：法一：a＝eq\f(30－2b,b＋1)，ab＝eq\f(30－2b,b＋1)·b＝eq\f(－2b2＋30b,b＋1)由a＞0得，0＜b＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝eq\f(－2t2＋34t－31,t)＝－2（t＋eq\f(16,t)）＋34∵t＋eq\f(16,t)≥2eq\r(t·eq\f(16,t))＝8∴ab≤18∴y≥eq\f(1,18)當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號(hào)成立。法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2eq\r(2ab)∴30－ab≥2eq\r(2ab)令u＝eq\r(ab)則u2＋2eq\r(2)u－30≤0，－5eq\r(2)≤u≤3eq\r(2)∴eq\r(ab)≤3eq\r(2)，ab≤18，∴y≥eq\f(1,18)19、已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：20、正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc21、已知a、b、c，且。求證：證明：a、b、c，。。同理，。上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。22、解：若設(shè)污水池長為x米，則寬為（米）

水池外圈周壁長：（米）

中間隔墻長：（