高一上學期期末數(shù)學新定義壓軸匯編06類周期函數(shù)與應用

高一上期期末新定義壓軸匯編6.類周期函數(shù)與應用一．基本原理1.把定義在上，且滿足（其中常數(shù)滿足）的函數(shù)叫做類周期函數(shù).2.性質(zhì)：（1）當時，類周期函數(shù)在時的解析式為，當時，，則.（2）當時，類周期函數(shù)的形式為，這表明函數(shù)圖像從一個周期到另一個周期時，函數(shù)值也在上下平移.3.滿足該類型的函數(shù)是以為周期的類周期函數(shù).當時,函數(shù)圖像以周期為單位從左至右后一個周期圖像上的點與前一周期對應點的縱坐標伸長或縮短為原的倍.4.類周期不等式：等.二．典例分析例1．已知函數(shù)．若存在非零常數(shù)和非零常數(shù)，對于集合內(nèi)的任意實數(shù)，恒有成立，則稱是上的周期為的級類增周期函數(shù)；若存在非零常數(shù)和非零常數(shù)，對于集合內(nèi)的任意實數(shù)，恒有成立，則稱是上的周期為的級類周期函數(shù)．(1)設，已知是上的周期為1的2級類增周期函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知是上的周期為1的級類周期函數(shù)，且當時，．若函數(shù)在上嚴格增，求實數(shù)的取值范圍；(3)已知，設．試問：是否存在，使是上的周期為的級類周期函數(shù)？若存在，求出和相應的的值；若不存在，說明理由．【詳解】（1）由題意可知：對任意恒成立，即對任意恒成立，整理得：，∴，令，則，∵在上單調(diào)遞增，∴，∴．（2）∵時，，∴當時，，∴當時，，即)時，，∵在上單調(diào)遞增，∴且，即.（3）由已知，有對一切實數(shù)恒成立，即一切實數(shù)恒成立，當時，；當時，∵，∴，，于是，，故要使恒成立，只有，當時，，得到且；當時，，得到，即，綜上可知：當時，；當時，．例2．已知非常值函數(shù)的定義域為，如果存在正實數(shù)，使得，都有恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)？并說明理由；①；②.(2)若函數(shù)具有性質(zhì)，求的最小值；【詳解】（1）不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由如下：①假設具有性質(zhì)，即存在正數(shù)，使得恒成立，則對恒成立，則此時無解，故假設不成立，所以不具有性質(zhì).②取，則，即存在正數(shù)使對恒成立，所以具有性質(zhì)；（2）因為函數(shù)具有性質(zhì)，所以存在正數(shù)，使都有：恒成立，令，則對恒成立.下證若，取，則，矛盾，若，取，則，矛盾，所以.即，又因為當且僅當，時，對恒成立，因為，所以，所以的最小值為.例3．定義：函數(shù)若存在正常數(shù)，使得，為常數(shù)，對任意恒成；則稱函數(shù)為“代階函數(shù)”．(1)判斷下列函數(shù)是否為“代階函數(shù)”？并說明理由．①，②.(2)設函數(shù)為“代階函數(shù)”，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù).若，求的值．【詳解】（1）①是代階函數(shù)，因為，此時，，所以為代階函數(shù)；②不是代階函數(shù)，因為，所以不是代階函數(shù)；（2）由已知存在常數(shù)滿足，即，令，則①，令，則②，因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，，，，①②，整理得，令，則，又因為，且，可得，所以，所以例5．（2019年全國二卷）設函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是A． B．C． D．解析：時，，，，即右移1個單位，圖像變?yōu)樵瓉淼?倍．如圖所示：當時，，令，整理得：，（舍），時，成立，即，，故選B．例6．函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的最大值是（

）A． B． C． D