浙江省金華十校2024年11月高三模擬考試一模數(shù)學(xué)試卷（含解析）

金華十校2024年11月高三模擬考試

數(shù)學(xué)試題卷

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

考生注意：

1.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫(xiě)在答題卷上.

2.選擇題的答案須用2B鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑，如要改動(dòng)，須將原填涂處用橡

皮擦凈.

3.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫(xiě)在答題卷上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，答案寫(xiě)在本試題

卷上無(wú)效.

選擇題部分（共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合.M={x|-2<x<2},N=[T,0,l,2,3],!,則MnN=（▲）

A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2]C.{-1,0}D.{0,1}

2.在復(fù)平面中，若復(fù)數(shù)z滿足則口=（▲）

A.2B.1C.V3D.V2

3.若a,bGR,則|a|=|b|是2=2$.的（▲）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知點(diǎn)F為拋物線C:y2=2px（p）0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)M（3,m）在拋物線C上,且|MF|=4,則拋物線

C的方程為（▲）

A.y2=B.y2=2xC.y2=4xD.y2=6x

5.已知tan(a+習(xí)=百,貝！Isina,cosa=(▲)

6.已知函數(shù)=/+。產(chǎn)+於+6；的部分圖像如圖所示，則以下可

能成立的是（▲）

A.a=2,b=lB.a=-l,b=2

C.a=-2,b=lD.a=2,b=~l

十校高三數(shù)學(xué)試題卷一一1（共4頁(yè)）

7.某高中高三（15）班打算下周開(kāi)展辯論賽活動(dòng)，現(xiàn)有辯題A、B可供選擇，每位學(xué)生都需根據(jù)自己

的興趣選取其中一個(gè)作為自己的辯題進(jìn)行資料準(zhǔn)備，已知該班的女生人數(shù)多于男生人數(shù)，經(jīng)過(guò)統(tǒng)

計(jì)，選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的人數(shù)，則（▲）

A.選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)

B.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)

C.選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題A的男生人數(shù)

D.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的女生人數(shù)

8.已知正方體ABCD-AjBiCQi的棱長(zhǎng)為4魚(yú),，P為正方體內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，球O為正方體內(nèi)切球，過(guò)

點(diǎn)P作直線與球0交于M,N兩點(diǎn)，若AOMN的面積最大值為4,則滿足條件的P點(diǎn)形成的幾

何體體積為（▲）

327rD64/ry

AA.———

33

C.128位一nD128口一料

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知向量a=(3,4),b=(4,m),則(▲)

A.a|=5B.|a—b\a=1

C.若a〃b,貝ijm=3D.若a±b,則m=3

sin5x

10.設(shè)函數(shù)f(x)=------------，則(▲)

sinx-cosx

A.f(x)的圖像有對(duì)稱(chēng)軸B.f(x)是周期函數(shù)

C.f（x）在區(qū)間（0,兀/2）上單調(diào)遞增D.f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（兀/2,0）中心對(duì)稱(chēng)

11.從棱長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正四面體的一頂點(diǎn)A出發(fā)，每次均隨機(jī)沿一條棱行走1個(gè)單位長(zhǎng)度,

設(shè)行走n次時(shí)恰好為第一次回到A點(diǎn)的概率為P團(tuán)（九GN+）,,恰好為第二次回到A點(diǎn)的概率為

0.（!1冰,），則（▲）

21

力了3=3B.Q4=石

C.n22時(shí)，殳掃為定值D.數(shù)列｛Qn｝的最大項(xiàng)為-

P7J27

非選擇題部分（共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，ai=l,a2+a3=8?則ad▲?

13.從1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)中任選三個(gè)數(shù)，至少有兩個(gè)數(shù)為相鄰整數(shù)的選法有▲種.

14.已知雙曲線。好一必=1"F為右焦點(diǎn)，斜率為&的直線1與C交于M,N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Mix,

丫1）2a“〉其中：%1>%2>0?過(guò)M且斜率為-1的直線與過(guò)N且斜率為1的直線交于點(diǎn)T,

直線TF交C于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)T為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)T的坐標(biāo)為▲.

十校高三數(shù)學(xué)試題卷一2（共4頁(yè)）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(本題滿分13分)記AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知((2c-ga)cosB=V5bcosA

⑴求B;

(2)若△4BC為等腰三角形且腰長(zhǎng)為2,求△4BC的底邊長(zhǎng).

16.(本題滿分15分)如圖,三梭錐A-BCD中,ADL平面BCD,AD=DB=DC=BC,E為AB中點(diǎn),M為

DE中點(diǎn),N為DC中點(diǎn).

⑴求證：MNZ平面ABC;4

(2)求直線DE與平面ABC所成角的正弦值.

(第1600)

(本題滿分15分)已知函數(shù)f(x)=-x2—dnx+(1-d)x;(a)0).

(1)若(a=l,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(%)>一那，求a的取值范圍.

十校高三數(shù)學(xué)試題卷一3(共4頁(yè))

18.（本題滿分17分）已知A（2,0）和B（1，苧）為橢圓C:《+'=l（a）b>0）上兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的離心率；

（2）過(guò)點(diǎn)（-1，0））的直線1與橢圓C交于D,E兩點(diǎn)（D,E不在x軸上）.

⑴若△力DE的面積為y,，求直線1的方程；

（ii）直線AD和AE分別與y軸交于M,N兩點(diǎn)，求證：以MN為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為定

值.

19.（本題滿分17分）已知正n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)上有一個(gè)數(shù).定義一個(gè)變換T,其將正n邊形每個(gè)頂點(diǎn)上

的數(shù)變換成相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的平均數(shù)，比如：

1232

4323

記n個(gè)頂點(diǎn)上的n個(gè)數(shù)順時(shí)針排列依次為由口,…,冊(cè),則T(&)=如*,i為整數(shù)，2WiW九—1,

7(%)=①詈,7(a/=叱+皿設(shè)7(%)=T(7(…7(%)))(共n個(gè)T,表示n次變換)

2a22

⑴若n=4,a=i,1<i<4,求T(ai),T(a2),T(a3),T(ai);

(2)對(duì)于正n邊形，若T(cii)=alfl<i<幾,證明：a1=a2==an-r—an;

ffn

(3)設(shè)n=4/c+2,/cEN*,{af@2。九]=[V2-t?n],9證明：存在m￡N',使得T(a1)(i=L2，???，?i)不

全為整數(shù).

浙江省金華市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期一模考試

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合M={川一2V%V2},N={-1,04,2,3},則已n集=(A)

A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0}D.{0,l}

【解析】?；M={x\-2<x<2],N={-1,0,1,2,3},???MHN=(-1,0,1}.故選A.

2.在復(fù)平面中，若復(fù)數(shù)z滿足二則|z|=(D)

z-1

A.2B.lC.V3D.V2

【解析】^7=6Az=1+i=1-i,\z\=^124.(-1)2=故選D.

3.若a,beR,則⑷=|b|是2a=2、的(B)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】,?*2。=2"<=>Q=b,且|a|=|b|a=b或a=—b.故選B.

4.已知點(diǎn)尸為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M(3,m)在拋物線C上，且

\MF\=4,則拋物線C的方程為(C)

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4%D.y2=6x

【解析】依題意知m2=6p,且用尸|二9+3=4,二2=2,故選C.

5.已知tan(a+2)=次，貝ijsina-cosa=(B)

A.-B.-C.--D.-

4422

【解析】???+4二。+￡=弓+人乃，即。=￡+&加，kEZ,

\6/o3o

二sina,cosa--sin2a--sin(-+2/CTT)=立.故選B.

22\3/4

6.已知函數(shù)/(%)=x3+ax2+bx+c的部分圖像如圖所示，則以下可能成立的是

(C)

B.a=-1,b—2

C.a=-2,b=1D.a=2,b=-1

【解析】v/(x)=x3+ax2+bx+c,

x21n,Ln(△=4a2—12b>0

???f(x)=o3/+2ax+b=0=>)__,

(%1>0,x2>0

2

Aa>3b,且一半=工1+義2>0，g>0?故選C.

7.某高中高三(15)班打算下周開(kāi)展辯論賽活動(dòng)，現(xiàn)有辯題4、B可供選擇，每位

學(xué)生都需根據(jù)自己的興趣選取其中一個(gè)作為自己的辯題進(jìn)行資料準(zhǔn)備，已知該班

的女生人數(shù)多于男生人數(shù)，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，選辯題力的人數(shù)多于選辯題8的人數(shù)，則

(A)

A.選辯題4的女生人數(shù)多于選辯題8的男生人數(shù)

B.選辯題/的男生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)

C.選辯題4的女生人數(shù)多于選辯題4的男生人數(shù)

D.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題8的女生人數(shù)

【解析】根據(jù)已知條件設(shè)女生選擇辯題力有與人，男生選擇辯題力有力人，女生選

擇辯題8有犯人，男生選擇辯題8有力人；

根據(jù)題意可知％1+義2>%+力，孫+V+%，

根據(jù)異向不等式可減的性質(zhì)有(%i+3)一(無(wú)2+力)>(yi+力)-(xi+y。，

即有M>丫2,所以選擇辯題4的女生多于選擇辯題B的男生.故選A.

8.已知正方體4BCD-/1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4魚(yú)，P為正方體內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，球。為正

方體內(nèi)切球，過(guò)點(diǎn)P作直線與球。交于M,N兩點(diǎn)，若AOMN的面積最大值為4,則

滿足條件的P點(diǎn)形成的幾何體體積為(D)

A.—B.-V27T

33

C.128V2--7TD.128V2-—TT

33

【解析】由題意可得：正方體的棱長(zhǎng)為4VL可得內(nèi)切球半徑r=2注,

不妨設(shè)MN=2d,E是MN的中點(diǎn)，

由球的性質(zhì)可知，OE_LME,0E=y/OM2-ME2=V8-d2?

所以SAOMN=|OE-M/V=|-2d-

易知當(dāng)d2=8-d2,即d2=4時(shí)，SMMN最大值是明

所以d=2時(shí)，可知0E=2,所以點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是半徑為2的球，

此時(shí)點(diǎn)P只要在這個(gè)半徑為2的球的外面，在正方體內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)P的直線就像如圖

2所示，滿足題意.

y7T,故選D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知向量,=(3,4),b=(4,m),則(AB)

A.|a|=5B.la—bl.=1

111'min

C.若五〃則TH=3D.若21b,則TH=3

【解析】對(duì)于A,???2=(3,4),.?.向=>32+42=5,故A正確；

對(duì)于B,d=(3,4),b-(4,ni)>????同=+(4_7n)?N1,

當(dāng)且僅當(dāng)m=4取等號(hào)，故B正確；

對(duì)于C,d〃另，???3m-4x4=0,即m=5，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,?.?五_L石，.?.五?3=12+4m=0,即m=-3,故D錯(cuò)誤.故選AB.

10.設(shè)函數(shù)/(%)=「Esx,貝(ABD)

sinxcosx

A/Q)的圖像有對(duì)稱(chēng)軸B/(%)是周期函數(shù)

Cf(%)在區(qū)間(03)上單調(diào)遞增D./(%)的圖像關(guān)于點(diǎn)弓,0)中心對(duì)稱(chēng)

Azjxr-r/、sinSx2sin5x2sin4xcosx+2cos4xsinx.cos4x

【r解析】?:f{x)=----------=-=--------：---------=44cos2xcosxd------

,sinxcosxsin2xsin2xcosx

2

=4(2cos2x—1)COSX+2cos2Al=QcOS3X—4COSX+2(2cos----------

COSXcosxcosx

a1

=16cos3％—12cosxd----,

cosx

???/0)的定義域是卜區(qū)裝?/€2},易知函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，且其周期為2兀，

故A、B正確；

另外：/(%)+/(7r一”)=淅了二)——幽二=0,

sinxcosxsin(n-x)cos(n-x)sinxcosxsinxcosx

故D正確；

而/(?)=0>故C錯(cuò)誤?故選ABD.

備注：顯然f(x)=16cos3%-12cosx+之在(0,》的單調(diào)性不確定.

11.從棱長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正四面體的一頂點(diǎn)4出發(fā)，每次均隨機(jī)沿一條棱行走1

個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)行走幾次時(shí)恰好為第一次回到4點(diǎn)的概率為七(ne/V+),恰好為

第二次回到4點(diǎn)的概率為(nG/V+),則(ACD)

21

APB〃4=-

.53=-9《27

c.九二2時(shí)，乎為定值D.數(shù)列{Qn}的最大項(xiàng)為三

pn27

【解析】如右圖所示，根據(jù)題意可知，圖中四個(gè)頂點(diǎn)任一點(diǎn)到其他三點(diǎn)的概率均

端曾

A

設(shè)事件4n表示經(jīng)過(guò)第n步回到頂點(diǎn)4事件公表示經(jīng)過(guò)第n步未回到頂點(diǎn)4

①當(dāng)恰好在點(diǎn)4上時(shí)下一步回到點(diǎn)＞1的概率p(4n)=。，

下一步離開(kāi)點(diǎn)A的概率為「師)=1;

②當(dāng)恰好位于點(diǎn)8、C、D上任意一點(diǎn)時(shí)，下一步回到點(diǎn)4的概率p(4n)=(

下一步不回到點(diǎn)4的概率為=泉

綜述：(1)由此可得行走第n次恰好為第一次回到點(diǎn)力的概率：

f0,n=1

(2)行走第71次(n24)恰好為第二次回到4的概率為：

4

Qn=lX^_3xixlX(1r-xi

其中冊(cè)中：1表示第一步離開(kāi)力的概率為1；盤(pán)一3X^X1表示第2步到第71-3步中

任選相鄰兩步(前一步回到點(diǎn)力概率為右后一步離開(kāi)點(diǎn)4概率為1)；(飄-4表示

剩余n-4步均為點(diǎn)BCD內(nèi)部循環(huán)移動(dòng)，始終未回到點(diǎn)4的概率：(表示第九步回到

點(diǎn)4的概率.

3-2

對(duì)于A,P3=|(1)=^故A正確；

44

對(duì)于B,(24=1xC^-3x|x1x(1)-x1i故B錯(cuò)誤；

r0,n=1

n9

對(duì)于C,根據(jù)&='《尸-2n22可知22時(shí)，數(shù)列數(shù)歹此匕｝是公比為|的等比

數(shù)列，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)nN4時(shí)方可回到點(diǎn)4兩次，此時(shí)Qn+i-Qn=()nTx鬻，

所以?xún)?cè)先增后減，在九=5和九二6時(shí)取得最大項(xiàng)，計(jì)算可知Q5=Q6=/，

故D正確.故選ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線

上.

12.已知數(shù)列｛每｝為等差數(shù)列,%=1,a2+a3=8,則=」1_.

【解析】。2+。3=8,二1+d+1+2d=8,即d=2,

:.。6=1+5d=11.故填11.

13.從1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)中任選三個(gè)數(shù)，至少有兩個(gè)數(shù)為相鄰整數(shù)的選

法有」6—種.

【解析】這六個(gè)數(shù)中三個(gè)數(shù)不相鄰有1,3,5；1,3,6；1,4,6；2,4,6四

種情況，可得牖-4=16,即至少兩個(gè)數(shù)相鄰的選法有16種.故填16.

14.已知雙曲線C：x2-y2=1,F為右焦點(diǎn)，斜率為企的直線/與C交于M,N兩

點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)/V(x2,y2),其中％過(guò)M且斜率為一1的直線與過(guò)

N且斜率為1的直線交于點(diǎn)7,直線TF交C于4,B兩點(diǎn),且點(diǎn)T為線段AB的中點(diǎn)，

則點(diǎn)T的坐標(biāo)為_(kāi)(2&,2)_.

【解析】設(shè)7(通,%)，則由點(diǎn)差法得：資=當(dāng)，①

yo人oV，

由直線TM：、一、0=-％+/與雙曲線。聯(lián)立得必=嗤膂，②

由直線TN：y-yo=%-%與雙曲線C聯(lián)立得外=當(dāng)"平，③

所以MN斜率為：合=出三等=魚(yú)，將②③代入得無(wú)。=歷0,④

所以由①和④聯(lián)立得X0=2戊，yo=2.故填(27^,2).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

15.記A4BC內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知(2c-Wa)cosB=

y/3bcosA.

(1)求8；

(2)若A4BC為等腰三角形且腰長(zhǎng)為2,求A4BC的底邊長(zhǎng).

【解析】(1)vy/3bcosA=(2c—\[3a)cosB,

:.y/3sinBcosA=(2sinC-y/SsinA'jcosB,

???y/3{sinBcosA+cosBsinA)=2sinCcosB,

:.V3sin(B+A)=yj3sinC=2sinCcosB,

???cosB=—,AB

26

(2)當(dāng)8為頂角，則底邊AC?=4+4-2x2xcos2=8-4g,

6

???AC=V6—V2,

當(dāng)8為底角，則該三角形內(nèi)角分別為gp寸,則底邊為28.

663

16.如圖，三棱錐4一BCD中，4。_L平面BCD,AD=DB=DC=BC,E為48中

點(diǎn)，M為DE中點(diǎn)，N為DC中點(diǎn)、.

(1)求證：MN〃平面ABC；

(2)求直線DE與平面4BC所成角的正弦值.

【解析】(1)連EC,為0E中點(diǎn)，N為。C中點(diǎn),

AMN//EC,XvECc^ABC,MNC面ABC,

MN〃面ABC.

(2)設(shè)40=DB=DC=BC=a,

-：ADLDB,DE=-AB=—a,

22

取8c中點(diǎn)F,則。FJ.BC,

X-.MD1BC,.'.BCL^ADF,^ADFL^ABC,

Xv?71DFn^ABC=AF,作DH1力戶，DHl^ABC.

連EH,則乙DEH為所求線面角.

在R￡2L4O尸中，AD=a,DF=—a,.'.AF=—a,DH=-a,

227

??.sin^DEH=器=手即為所求線面角的正弦值.

17.已知函數(shù)f(%)=1%2—alnx4-(1—a)x,(a>0).

(1)若a=l,求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若求。的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)a=l時(shí)，r(x)=x--=—=(y~1)(^1),

，XXX

??.X6(0,1)時(shí)，/(幻<0,%E(l,+8)時(shí)，^(x)>0；

???/(義)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+8),減區(qū)間為(0,1),

(2)r(x)=(…產(chǎn)+】),

％W(0,a)時(shí),/'(X)<0,xE(a,+8)時(shí)，/z(x)>0,

a2

???fWmin=/(a)=---alna+a,

/(x)>--e2,???--——alna+a>--e2,

7222

2

令h(a)=~a~~a^na+a，

則h'3)=-a-bia,顯然”(a)遞減，且"G)>0,h'(l)<0,

二必然存在唯一即6(1,1)使得h(a())=。，

當(dāng)a6(0,a0),h'(a)>0,h(a)單調(diào)遞增，

當(dāng)QW(a(),+8),/iz(a)<0,h(a)單調(diào)遞減，

由于a€(0,1］時(shí)，h(a)=aj—^na+1)>0>—y,成立，

“2

當(dāng)Q€(1,+8)時(shí)，/i(a)遞減，且/1(6)=-三，因此a€(l,e］成立，

綜上，Q成立的范圍為(0,e］.

18.已知4(2,0)和8(1,多為橢圓C：2+卷=1(a>b>0)上兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的離心率；

（2）過(guò)點(diǎn)（一1,0）的直線1與橢圓C交于0,E兩點(diǎn)（D,E不在不軸上）.

（i）若A4DE的面積為石，求直線［的方程；

（ii）直線/。和AE分別與y軸交于M,N兩點(diǎn)，求證：以MN為直徑的圓被不軸截

得的弦長(zhǎng)為定值.

【解析】（1）由以2,0）可知。2=4,代入8（1,日），得力2=1,

可知橢圓C的離心率為

（2）由（1）可知橢圓。的方程為-+y2=i,

4

（i）設(shè)。（%"1），E（》2，y2），過(guò)點(diǎn)（一1,0）的直線，為戈=my—1,

與?+y?=1聯(lián)立得：（m?+4）y2-2my-3=0,

所以％+丫〃2=m￥2+4,八%，%=m丁2+4，

SAADE=1-3-lyi-y2l=1-3-+丫2,-4y,2=6-=瓜

得Tn?=2,所以m=±企，直線的方程，為：x±y/2y4-1=0.

（ii）由（i）可知，%1+乃=m（yi+丫2）-2=后七,

%?無(wú)2=巾2力?y2-7n（yi+為）+1=-；；：：，

直線40的方程為y=/、（x—2）,令x=0,得y”=懸，

直線4E的方程為、=含（4一2）,令X=0,得外=表，

記以MN為直徑的圓與無(wú)軸交于P,Q兩點(diǎn)，

由圓的弦長(zhǎng)公式可知，（早）2=（%也1）2_（里嚶）2=一勿

-12-12

=_-2yl.-2為=_____4yly2=__________7^7；=1

“1—2%2-2%丁必―2（必+42）+4-41+4-4—要一3

m2+4m2+4m+4

所以|PQ|=不，為定值.

19.已知正n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)上有一個(gè)數(shù).定義一個(gè)變換T,其將正九邊形每個(gè)頂點(diǎn)上

的數(shù)變換成相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的平均數(shù)，比如：

記九個(gè)頂點(diǎn)上的幾個(gè)數(shù)順時(shí)針排列依次為由,a2，…，M，則7Q)=a1；%】,i

為整數(shù)，九一1,7(%)=手，7①監(jiān)二號(hào)之設(shè)廠^0二

T(T(-7(aD))(共n個(gè)7,表示n次變換)

222

(1)若n=4,a(=i,1<i<4,求T^Q),T(a2)?T(a3)>T(a4)；

(2)對(duì)于正ri邊形，若7(%)=aP1<i<n,證明：ar=a2==

。71；

(3)設(shè)九=4女+2,kEN*,…，％}={1,2,…，九},證明：存在mWN*,

使得7皿(《)(i=l,2,n)不全為整數(shù).

【解析】(1)當(dāng)n=4時(shí)，廠(4)的變換如下:

222=

所以72(%)=2,T(a2)=3,T(a3)=2,T(a4)3.

(2)vT(aj)=ai，:."「字!+」=@,(2<i<n—1),

成等差數(shù)列，令公差為心

又7(。1)=a[=°”詈,貝ij2al=%+(ri—l)d+%+(/,.?.d=0,

則%=a2=…=On-l=?n-

m

(3)反證法，假設(shè)對(duì)任意mWN*,T(ai)(i=1,2,n)均為整數(shù),

由于丁(見(jiàn))=生詈也，7(%)為整數(shù)，故aji與4+1的奇偶性相同，

故％,。3，…，。4火+1同奇偶，。2，。4，…，Q4k+2同奇偶，

而Qg,…,。仙+2}=[1,2,-,4/C+2},

alta2,Q4k+2中有2k+1個(gè)奇數(shù)，2k+1個(gè)偶數(shù)，

故可不妨設(shè)內(nèi),。3，…，。4火+1為奇數(shù)，設(shè)。2，…，。4k+2為偶數(shù)，

.aq+aq

?.?72(%)=7%)+7如)=空+一Qi+2a3+Q5

4

又T233)為整數(shù)，且的=4k+1,或4k4-3(kWN),

%和。5除4的余數(shù)相同,

同理

I?、0^+07￡7±￡9

...T2m7)=T(a6)；T38)=2。5+2。7+。9

。5和。9除4的余數(shù)相同,

4

a4k-3+。仙一11/k-l+Jk+l

v^2(a4k-l)7(a4k-2)+丁(。4。22a4k-3+204女-1+04女+1

224

a4k_3和。軌+1除4的余數(shù)相同.

???%，a5,的，…，。4卜+1除4的余數(shù)相同.

、『/、04k+i+ai,。1+-3

?.?72(%)=.(。47/2)+7(。2)二22。4*+1+2。1+。3

4

???。4卜+1和。3除4的余數(shù)相同,

...72m5)=出)/絢=工；二一=生詈±%，...03和。7除4的余數(shù)相同.

?；產(chǎn)94k.3)=a4k15+2。：-3于二婦],...以-5和。鈦-1除4的余數(shù)相同，

。4卜+1，。3，。11，…,。4火-1除4的余數(shù)相同.

綜上，％,。3,…，。軟+11除以4的余數(shù)都相同，

而{%,。2,…,a4k+2}={1,2,…,4k+2),矛盾!

假設(shè)不成立，所以存在mEN*,使7小(%)(i=l,2,…，n)不全為整數(shù).

金華十校2024年11月高三模擬考試

數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

題號(hào)12345678

答案ADBCBCAD

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

題號(hào)91011

答案ABABDACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.11;13.16;14.(2V2,2);

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(1)y/3bcosA—(2c—V3a)cosB.

43sinBosA=(2sinC—V^sin4)cosB…2分

V3sinC=2sinCcosB...........................................................................................4分

.，cosB=^,.-.B=^-5分

(2)當(dāng)B為頂角，則底邊4c2=4+4-2x2xcos-=8-4A/3

6

??.AC=聲-沒(méi)有化簡(jiǎn)也給分)???9分

當(dāng)B為底角，則該三角形內(nèi)角分別為m，則底邊為2舊…13分

663

16.(1)連ECYM為DE中點(diǎn)，N為DC中點(diǎn)

.,.MNIIEC,又：ECu面ABC,MN。面ABC

.".MNUffiABC............................5分

⑵設(shè)AD=DB=DC=BC=a

AD^DB???DE=-AB=—a...........7分

22

取BC中點(diǎn)F,貝UDF，BC

又；AD_LBC,；.：6€：_1面人口日貝!］面ADF_L面ABC

又：面ADFC面ABC=AF,作DHJ_AF,ADHXffiABC...............10分

連EH,則/DEH為所求線面角............12分

在R3ADF中，AD=a,DFa,.-.AF=^-a,DH=^-a

sin^DEH=器=當(dāng)即為所求線面角的正弦值.................15分

DE7

17.(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(%)=%-i=—=…3分

XX-X0

.'.xE(0,1)時(shí),F(x)<o,xe(1,+8)時(shí)，f(x)>0;

；.f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+8),減區(qū)間為(0,1)..........................5分

(2)/(%)="尸).............................................7分

:.x￡(0,a)時(shí),f(x)<0,x￡(a,+8)時(shí),f(x)>0

a2

???/tomin=f(Q)=一萬(wàn)一alna+a

222

又?y(x)>—y,—y—alna+a>—y*e,9分

令h(a)=~~~a仇a+a

則h(a)=-a-lna,顯然h(a)遞減且九(，)>0,九⑴<0

...必然存在唯?a0e1)使得h(a0)=0

當(dāng)ae(O,ao),h(a)>0,h(a)單調(diào)遞增,當(dāng)ae(a0,+oo),h*(a)<0,h(a)單調(diào)遞

減............................................................n分

由于a￡(0,1］時(shí)，h(a)=———lna+1)>0>—■，成

2

當(dāng)ae(l,+8)時(shí)，h(a)遞減，且h(e)=—1,因此ad(l,e］成立

綜上，a成立的范圍為(0,e]................................15分

18.(1)由A⑵0)可知(a?=4,代入B(l，號(hào))，得/=1,可知

橢圓C的離心率為4..............................4分

(2)由(1)可知橢圓C的方程為f+y2=l,

(i)設(shè)D(xi,yi),E(X2,y2)，過(guò)點(diǎn)(T,0)的直線1為x=my-1,與?+

y2=l聯(lián)立得(m2+4)y2—2my—3=0

所以為+為=3聶，當(dāng)?當(dāng)二幸_______________

SADE=”.僅1-=”,瓜+%)2-4%.%==遮

得Hi?=2,所以m=±V2,直線的方程I為：x±V2y+l=0---9分

(ii)由⑴可知，皿+肛=瓶(為+為)-2=^4

%1,外=瓶2yl.y2-m(y1+y2)+l=素丁

直線AD的方程為y=年^(久-2),令x=0,得yM=i^，…11分

直線AE的方程為y=上、(％—2),令x=0,得yN=考，

%2—2,V12乙

記以MN為直徑的圓與x軸交于P,Q兩點(diǎn)，

由圓的弦長(zhǎng)公式可知，(早)2=(%加)2_(%皿)2=—3.外…1分

__一2yl._2y24yl/

-

X1-2X2-2X1-%22(X1+X2)+4

一12

=m2+4__=!

-4rn2+4,16,.Q

-m-z7-+--4---1mz5+4^4

所以IPQI=W，為定值................17分

19.(1)當(dāng)n=4時(shí)，T2(ai)的變換如下：

10