浙教版八年級數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：等腰三角形的性質(zhì)和判定（原卷版）

第09講等腰三角形的性質(zhì)和判定

看知識點梳理

一、等腰三角形的定義

有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角

叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

如圖所示，在AABC中，AB=AC,則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,NA是頂角，/B、

NC是底角.

要點：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或

直角），但頂角可為鈍角（或直角）.

]QQO_NA

ZA=180°-2ZB,NB=/C=---------.

2

二、等腰三角形的性質(zhì)

1.等腰三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角“）.

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）.

2.等腰三角形的性質(zhì)的作用

性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù).

性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等.

3.等腰三角形是軸對稱圖形

等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對

稱軸.

三、等腰三角形的判定

如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.

要點：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的

相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.

四?尺規(guī)作圖：已知底邊和底邊上的高

已知線段a,h（如圖）用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使底邊BC=a,BC邊上的高線為h.

作法：1.作線段BC=a.

2.作線段BC的垂直平分線1,交BC與點D.

3.在直線1上截取DA=h,連接AB,AC.AABC就是所求作的等腰三角形.

h

］例1.在AMC中，AB=AC,NB=7Q°,則44=()

A.40°B.70°C.50°D.60°

.如圖，在“BC中，AB=AD=DC,ZC=35°,則的度數(shù)為（)

A.50°B.60°C.70°D.80°

3.已知：AABC是等腰三角形，AB^AC,AO是底邊BC上的高，下面結(jié)論不一定成立的是（

A.BD=CDB.BD=ADC.AD平分NR4CD.NB=NC

4.如圖，在“3C中，AB=ACAD1BC,則下列結(jié)論中錯誤的是（).

A.ZBAC=NCB.BD=CDC.ABAD=ACADD.ZB=ZC

.下列能斷定AABC為等腰三角形的是（)

A.ZA=30°,ZB=60°B.ZA+ZB=ZC

C.ZA=55°,ZB=70°D.ZA：NB=1：2

6.如圖，在△ABC中，ZA=36°,AB^AC,平分/ABC,則圖中等腰三角形的個數(shù)是（）

2個D.3個

△ABC中，43=47,4。_1_3(7于點。，DEJ.AB于點E,3P1AC于點尸，BF=8,

則DE的長為（）

C.4D.5

AB^AC,點D是邊BC的中點，若NC=70。，則NBAD的度數(shù)為

9.如圖，AABC中，AB=BC,。是BC邊上一點，點A在線段以）的垂直平分線上，連接AZ）,

若ZB=50。，則44￡>=度.

△4BC中，AB=AC,AD=AE,BD=3cm,DE=4cm,貝UCZ)=cm.

NB=NC.求證：AABC是等腰三角形.

.如圖,在AABC中，3D平分/ABC,。平分/ACB,過點。作EF〃臺C,與A3,AC分

別相交于點E，F(xiàn),若AS=9,AC=7,求△AEF的周長.

,例

13.如圖，E為AABC的外角NC4D平分線上的一點，AE//BC,BF=AE.

（1）求證："RC是等腰三角形;

（2）若瓶=4,求CE的長.

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一、單選題

1.如圖，AABC中，AB=AC,ZB=80°,則/A的度數(shù)是（）

B

A

A.80°B.70°C.20°D.50°

2.如圖，在AA8C中，AB=AD=DC,ZC=35°,則的度數(shù)為（）

C.70°D.80°

3.下列說法錯誤的是（）

A.等腰三角形兩腰上的高相等B.等腰三角形兩腰上的中線相等

C.等腰三角形兩底角的平分線相等D.等腰三角形高、中線和角平分線重合

4.如圖，在AABC中，ABAC=90°,AB=AC,點。在上，且即=班，則/。LD的度數(shù)為（

BDC

5.如圖，在NECF的邊CE上有兩點A、13,邊CF上有一點D,其中8c且/EC/=27。，則乙4。尸

的度數(shù)為（）

一

cDF

A.54°B.91°C.81°D.101°

6.等腰三角形的“三線合一”指的是（）

A.中線，高線，角平分線互相重合B.頂角的平分線，中線，高線三線互相重合

C.腰上的中線，腰上的高線，底角的平分線互相重合D.頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高線三

線互相重合

7.如圖，在AABC中，AB=AC,。是BC邊上的中點，/（5=54。，則等于（）

A

BZDKC

A.36°B.45°C.54°D.72°

8.如圖，在△ABC中，ZB=NC,平分NB4C,AB=5,BC=6,貝?。ǎ?/p>

A

BDC

A.3B.4C.5D.6

9.如圖，在AABC中，BD平分/ABC,ZC=2ZCDBAB=12,CD=3,則的周長為（）

A.2B.24C.27D.3

10.如圖，已知N1=N2,ZB=ZC,不正確的等式是（）

A

BADEC

A.AB=ACB.ZBAE=ZCADC.BE=DCD.BD=DE

11.如圖，/△O￡F,點E在AC上，B,F,C,。四點在同一條直線上.若4=40。，/?；ィ?35。,

則下列結(jié)論正確的是（）

C.EF=EC,AE^FCD.EFWEC,AEKFC

12.如圖，在AABC中，AB=AC,AD是BC邊的中線，于點E,。尸1AC于點R下列結(jié)論:

?DE=DF;?BE=CF③ZBDE=NCDF；④ZBDE=ZDAF.其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

13.如圖，等腰“LBC中AB=AC,AD1BC,E尸垂直平分A2,交A3于點E,交BC于點尸，點G是線

段上的一動點，若AABC的面積是6cmLBC=6cm,則△ADG的周長最小值是（）

A.4.5cmB.5cmC.5.5cmD.6cm

14.如圖，"CB和△OCE均為等腰直角三角形，且NACB=NOC￡=90。，點A、D、E在同一條線上,

CM平分/DCE,連接BE,下列結(jié)論：①AD=CE；②CM〃BE；?AE=BE+2CM；@S^COE=S^BOE,

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

15.如圖所示，在AABC中，NA=30。，NACB=800),DE垂直平分AC交A2于E,垂足為。，則ZBCE=_____.

C

AE"

16.如圖，在△ABC中，高A。、BE交于H點、,若BH=AC,求/ABC等于—度.

bDC

17.如圖，ZkABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD是BC邊上的中線，且BD=BE,則/ADE是_____

度.

A

BDC

18.如圖，在44BC中，點。在邊8C上，AB^AD=CD.若4AL>=40。,則/C的大小為____度.

BD,

19.如圖，直角三角形ABC中，ZABC=90°,AB=U,BC=5,。是邊AC上一點，且BD=BC,過點。

作DE_L3￡>,交邊AB于點E,那么的周長是____

B

ADC

20.如圖，在AABC中，NC鉆=65。,.將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)能與△AED重合，若CD〃AB,則

ZCAD=_______.

,

AB

21.如圖，在AABC中，ED//BC,/ABC和—ACS的平分線分別交即于點G、F,若BE=3,CD=4,

ED=5,則FG的長為

22.如圖，在△ABC中，ZBAC=BCA=44°,M為△ABC內(nèi)一點；且/A/C4=30。，ZMAC=16°,則/BMC

的度數(shù)為一.

三、解答題

23.已知：如圖，在AABC中，點。在C4邊的延長線上，AE平分/DAB,AE//BC.求證：AABC為等

腰三角形.

24.如圖，點。，E分別在54,AC的延長線上，S.AB=AC,AD=AE.求證：DELBC.

E

25.如圖，△ABC和AAOE中，AB=AC,AD=AE,點。在3C上，ZBAC=ZDAE.

A

(1)求證△ABD^AACE；

(2)當(dāng)/B等于多少度時，AB//EC?證明你的結(jié)論.

26.如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=40°,是BC邊上的高.線段AC的垂直平分線交AD于點E,

交AC于點孔連接3E.

(1)試問：線段AE與班的長相等嗎？請說明理由；

⑵求的度數(shù).

27.如圖，在中，AB=AC,AD/BC于點。.

⑴若/3=37。，求/C4D的度數(shù)；

⑵若點E在邊AC上，印〃鉆交AD的延長線于點尸.求證：AE=FE.

28.如圖，在AABC中，AB=AC,點。在3c邊上，點E在AC邊上，連接AZ),DE.已知Z1=N2,AD=DE.

(1)求證：AABDgADCE；

(2)若3D=3,CD=5,求AE的長.

29.如圖，AABC是等腰直角三角形，AC=BC,NACB=90。，。是斜邊上AB上任一點，AELCD于E,

BFLCD交CD的延長線于尸，8，48于打點，交AE于G.

c

⑴求證：AH=BH；

(2)請問AE與所、3尸之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

(3)求證：BD=CG.

30.小明在完成一道幾何證明問題時，往往會思考看是否會有不同的證明方法.例如:在如圖1所示的△48C

中，/ACB=90。，點。在A8上，且BD=BC,求證：他發(fā)現(xiàn)，除了方法1直接用

角度計算的方法外，還可以用下面兩種方法：

方法2：如圖2,作BELCD,垂足為點E.

方法3：如圖3,作CFLAB,垂足為點F.

根據(jù)閱讀材料，請你從三種方法中任選一種方法，證明并寫出其證明過程.

（圖1）（圖2）（圖3）

31.如圖①，已知點。在線段上，在AABC和VADE中，AD=DE,AB=BC,ZEAD=ZAED=45°,

ZBAC=ZBCA=45°,且M為召C的中點.

圖①圖②

(1)連接DM并延長交8C于N,寫出線段CN與AO的數(shù)量關(guān)系：_；

(2)寫出直線與DM的位置關(guān)系：_；

(3)將VADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點E在線段C4的延長線上(如圖②所示位置)，(2)中結(jié)論是否仍成

立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

32.如圖，四邊形Q4CB中，OALOB,聯(lián)結(jié)。C,且OA=OB=OC,分別作OE/AC于點E,OF,3c于

點、F,垂足分別為E、F.

DD

AAA

（D如圖1,當(dāng)0c為—493的平分線時，試說明：OCLEF；

（2）如圖2,延長所、0E交于點D,

①直接寫出線段CD、OF,3尸之間的數(shù)量關(guān)系；

②聯(lián)結(jié)AO,若。尸=8