中考數(shù)學(xué)函數(shù)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)中線段、角的問題（含答案及解析）

專題14反比例函數(shù)中線段、角的問題

一?知識(shí)對(duì)接

考點(diǎn)一、反比例函數(shù)中線段、角的問題

1、反比例函數(shù)丁=幺（k為常數(shù)，k/0）的圖像是雙曲線，當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第一、

x

三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，在

每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

2、反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性，都是由常數(shù)k的符號(hào)決定的，反過來，由雙曲線所在位置和函

數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號(hào).

Hi專項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,2）,軸于點(diǎn)3,點(diǎn)C是線段03上的點(diǎn)，連接AC?點(diǎn)

尸在線段AC上，且AP=PC,函數(shù)y=2（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)尸.當(dāng)點(diǎn)C在線段02上運(yùn)動(dòng)時(shí)，左的取值范

X

圍是（）

Q

A.0<k<2B.\<k<3C.2<k<4D.-<k<4

3

2.如圖，菱形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC、8。交于原點(diǎn)。，于E點(diǎn)，交BD于

M點(diǎn),反比例函數(shù)y=￥（尤>0）的圖象經(jīng)過線段。C的中點(diǎn)N,若33=4,則ME的長為（）

4

A.ME=-B.ME=-

33

C.ME=1D.ME=-

3

3

3.如圖，直線4與反比例函數(shù)y=—（%>0）的圖象相交于A、6兩點(diǎn)，線段A3的中點(diǎn)為點(diǎn)C,過點(diǎn)。作工軸

x

的垂線，垂足為點(diǎn)。.直線6過原點(diǎn)。和點(diǎn)C.若直線4上存在點(diǎn)尸（相，〃），滿足NAPS=,則根+〃的

值為（）

A.3-75

4.如圖，已知尸。0）,。（0,〃）（根>0,〃>0）,反比例函數(shù)y的圖象與線段PQ交于C,D兩點(diǎn)，若

SAPOC=SACOD=S^DOQ，貝!J幾二（）

93

A.-B.4C.3D.-

22

5.下列圖形：①國旗上的五角星，②有一個(gè)角為60。的等腰三角形，③一個(gè)半徑為兀的圓，④兩條對(duì)角線

互相垂直平分的四邊形，⑤函數(shù)y=L的圖象，其中既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱的圖形有（）

X

A.有1個(gè)B.有2個(gè)C.有3個(gè)D.有4個(gè)

6.面積為2的直角三角形一直角邊長為X,另一直角邊長為y,則y與x的變化規(guī)律用圖象大致表示為（）

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△BCD的邊3c在x軸上，邊5c的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，線段OC與V

軸的交點(diǎn)記為尸，CF=2DF,=4,則左的值為（

A.-6B.-3

8.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，軸于點(diǎn)A,反比例函數(shù)丫='（x>0）的圖象經(jīng)過線

x

段AB的中點(diǎn)C,點(diǎn)C關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,"）,若△OAB的面積為3,則〃的值為（）

A-1B.1C.2D.3

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)3在第一象限，軸于點(diǎn)A,反比例函數(shù)y=（的圖像與線段A3相

X

交于點(diǎn)C,且點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（3,〃），AOAB的面積為3,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

A.（3,2）B.34C.（3,1）D.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,2）,%軸于點(diǎn)3,點(diǎn)C是線段05上的點(diǎn)，連結(jié)AC.點(diǎn)

P在線段AC上，且AP=2PC.函數(shù)y=?x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P.當(dāng)點(diǎn)C在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，上的取值范

圍是（）

Q

A.0<k<2B.-<k<3D.-<k<4

33

二、填空題

11.有一邊是另一邊的百倍的三角形叫做幸運(yùn)三角形，這兩邊中較長邊稱為幸運(yùn)邊，這兩邊的夾角叫做幸

運(yùn)角.如圖，AABC是幸運(yùn)三角形，3C為幸運(yùn)邊，為幸運(yùn)角，4（3,0）,點(diǎn)8,C在反比例函數(shù)產(chǎn)提。>0）

的圖象上，點(diǎn)C在點(diǎn)2的上方，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為百.當(dāng)是直角三角形且/8=90。時(shí)，則左的值為

k

12.如圖，定義：若雙曲線y=—(左>0)與它的其中一條對(duì)稱軸y=x相交于A、8兩點(diǎn)，則線段AB的長度

x

為雙曲線y=3%>0)的對(duì)徑.若雙曲線y=?左>0)的對(duì)徑是8,則仁.

V

k

13.如圖，雙曲線y=-(x<0)經(jīng)過RdABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、C,NA3C=90。，AB//x軸，連接OA,將RdABC

x

沿AC翻折后得到△AQC,點(diǎn)夕剛好落在線段OA上，連接OC,OC恰好平分04與x軸負(fù)半軸的夾角，若

RfAABC的面積為3,則上的值為.

14.如圖，已知點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=-?(x<0)的圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接。4,若將線段。4繞點(diǎn)。順

x

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段OB,則點(diǎn)B所在反比例圖像的函數(shù)關(guān)系式是—.

15.如圖，直線AB與反比例函數(shù)y=8(%>0)的圖象交于點(diǎn)A、B,與x軸交于點(diǎn)尸，AC，x軸于點(diǎn)C,

X

軸于點(diǎn)。，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，連結(jié)CE、DE,已知AAEC的面積是AAED面積的2倍，且

S&DEF=；，則%的值是.

k

三、解答題

16.如圖1,點(diǎn)P為NMON的平分線上一點(diǎn)，以尸為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線。時(shí)，ON交于A,3兩點(diǎn),

如果NAPB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足OAOB^OP2,我們就把ZAPB叫做ZMON的智慧角.

(1)如圖2,已知ZMON=90。，點(diǎn)P為ZMON的平分線上一點(diǎn)，以點(diǎn)尸為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM,

ON交于A,8兩點(diǎn),且NAP3=135。.求證：NAP3是NA/ON的智慧角；

(2)如圖1,已知/WON=a,若/4PB是4/CW的智慧角，求NAPB的度數(shù)(用含a的式子表示)；

(3)如圖3,C是反比例函數(shù)y=5(x>0)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線CO分別交x軸和y軸于點(diǎn)A,

8兩點(diǎn)，且滿足3c=2C4,請(qǐng)求出NAO2的智慧角N4P3的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).

/.AACH^AABO(A4S).

17.有一邊是另一邊的0倍的三角形叫做智慧三角形，這兩邊中較長邊稱為智慧邊，這兩邊的夾角叫做智

慧角.

(1)已知RhABC為智慧三角形，且R/AABC的一邊長為，則該智慧三角形的面積為；

(2)如圖①，在AABC中，ZC=105°,ZB=30°,求證：AABC是智慧三角形；

k

(3)如圖②，AABC是智慧三角形，BC為智慧邊，切?為智慧角，43,0),點(diǎn)3、C在函數(shù)y=—(%>0)

x

的圖象上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的上方，且點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為正，當(dāng)AABC是直角三角形時(shí)，求左的值.

18.如圖，正比例函數(shù)>=履與反比例函數(shù)y=9的圖象有一個(gè)交點(diǎn)4(2,〃。,45，》軸于點(diǎn)8,平移直線〉=區(qū),

X

使其經(jīng)過點(diǎn)8,得到直線/.

（1）求直線/的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如果直線/與反比例函數(shù)>相交于點(diǎn)C,作CDLx軸于點(diǎn)D求證：點(diǎn)B是線段。。的黃金分割

X

點(diǎn).

19.如圖，已知反比例函數(shù)％=5與一次函數(shù)%6交于點(diǎn)A（-4,1）和點(diǎn)3（八7）.

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;

（2）求線段43的長；

（3）直接寫出當(dāng)%%時(shí)》的取值范圍.

-k

20.如圖①，直線y=x（尤>0）上有一點(diǎn),反比例函數(shù)y=—（左為常數(shù)左HO,x>0）的圖象經(jīng)過

x

點(diǎn)M,作〃WB=90。，且角兩邊分別與x軸，y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn).

圖②

圖①

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求四邊形的面積;

(3)如圖②，點(diǎn)尸(3,〃)是反比例函數(shù)y=§x>0)圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸在直線y=x(x>?)上，點(diǎn)E在x軸

上，且/￡7*=90。,尸石=/￥\請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

21.有一邊是另一邊的虛倍的三角形叫做智慧三角形，這兩邊中較長邊稱為智慧邊，這兩邊的夾角叫做

智慧角.

(1)在RtAABC中，ZACB=90°,若/A為智慧角，則的度數(shù)為；

(2)如圖①，在AA8C中，NA=45。，NB=30。，求證：△ABC是智慧三角形；

(3)如圖②，△ABC是智慧三角形，BC為智慧邊，ZB為智慧角，A(3,0),點(diǎn)B,C在函數(shù)y=-(尤

>0)的圖像上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的上方，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為0.當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，求k的值.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系元0y中，直線y=x+3與函數(shù)y=￡(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(1,機(jī))，與無軸

交于點(diǎn)B.

(1)求。的值;

k

(2)過動(dòng)點(diǎn)尸(0,〃)(n>0)作平行于x軸的直線，交函數(shù)y=—(x>0)的圖象于點(diǎn)C,交直線y=x+3

x

于點(diǎn)D.

①當(dāng)〃=2時(shí)，求線段CD的長；

②若CDNOb結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出〃的取值范圍.

23.如圖，正方形AOCB的邊長為4,反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)E(3,4).

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點(diǎn)D,直線y=-g尤+6過點(diǎn)與線段A3相交于點(diǎn)E求點(diǎn)產(chǎn)的

坐標(biāo)；

(3)連OFQE,探究NAO9與/EOC的數(shù)量關(guān)系并證明(提示：(^辰+/).

專題14反比例函數(shù)中線段、角的問題

一?知識(shí)對(duì)接

考點(diǎn)一、反比例函數(shù)中線段、角的問題

3、反比例函數(shù)丁=幺（k為常數(shù)，k/0）的圖像是雙曲線，當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第一、

x

三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，在

每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

4、反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性，都是由常數(shù)k的符號(hào)決定的，反過來，由雙曲線所在位置和函

數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號(hào).

Hi專項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,2）,軸于點(diǎn)3,點(diǎn)C是線段03上的點(diǎn)，連接AC?點(diǎn)

尸在線段AC上，且AP=PC,函數(shù)y=2（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)尸.當(dāng)點(diǎn)C在線段02上運(yùn)動(dòng)時(shí)，左的取值范

X

圍是（）

Q

A.0<k<2B.\<k<3-<k<4

3

【答案】C

【分析】

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c,0）,根據(jù)已知寫出尸的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式，根據(jù)。的取值范圍即可求解.

【詳解】

解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c,0）

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,2）,軸于點(diǎn)5,AP=PC

:函數(shù)y=*>o）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P

c=2k-4

V0<c<4

.?.0<2M<4

：.2<k<4

故選：c

【點(diǎn)睛】

考核知識(shí)點(diǎn)：反比例函數(shù).理解反比例函數(shù)的意義是關(guān)鍵.

2.如圖，菱形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC、8。交于原點(diǎn)O,AEJ.BC于E點(diǎn)，交8。于

M點(diǎn)、,反比例函數(shù)y=E（x>0）的圖象經(jīng)過線段。C的中點(diǎn)N,若BD=4,則ME的長為（）

3x

54

A.ME=—B.ME=—

33

C.ME=1D.ME=-

3

【答案】D

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)得出。點(diǎn)的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)y=（尤>0）的圖象經(jīng)過線段。C的中點(diǎn)N,求出C點(diǎn)

的坐標(biāo)，進(jìn)而得出NODC=30。；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得NABC=ZADC=2/ODC=60。，AB^BC,可判定

△ABC是等邊三角形；最后找到ME、AM,AE,。8之間的數(shù)量關(guān)系求解.

【詳解】

:菱形A8CD,BD=4

：.OD=OB=2

二。點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（毛,0）

:線段DC的中點(diǎn)N

，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（手，1）

2

又.??反比例函數(shù)y=^（x>0）的圖象經(jīng)過線段。C的中點(diǎn)N

3%

----二1冷刀,曰2、^

oX,，解侍兒=丁

3,萬3

即。點(diǎn)坐標(biāo)為（38,0）,

33

2^3

OC'_6

一OD

：.ZODC=30°

??,菱形A5CD

???ZABC=ZADC=2ZODC=60°,AB=BC,ZOBC=ZODC=30°

.，?△A6C是等邊三角形

又???AE_L3C于￡點(diǎn)，3O_LOC于。點(diǎn)

；?AE=OB=2,AO=BE

VAO=BE,ZAOB=ZAEB=90°,ZAMO=ZBME

：.^AOM^BEM(AAS)

：.AM=BM

MF

又?：在R/ABME中,—=sin30°

BM

:.坐=sin30?！?/p>

AM2

ME=-AE=1x2=2

333

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和特殊角30。的三角函數(shù).菱形的性質(zhì)，四邊相等，對(duì)角相等，對(duì)

角線互相垂直且平分一組對(duì)角.等邊三角形的判定，有一個(gè)角為60。角的等腰三角形是等邊三角形.特殊角

30。的三角函數(shù)，sin30°=-,cos30°=—,tan30°=—.

223

3

3.如圖，直線《與反比例函數(shù)>=—(x>0)的圖象相交于A、8兩點(diǎn)，線段A3的中點(diǎn)為點(diǎn)C,過點(diǎn)C作了軸

x

的垂線，垂足為點(diǎn)。.直線4過原點(diǎn)。和點(diǎn)c.若直線〃上存在點(diǎn)尸O,"),滿足NAPB=NAD3,則m+〃的

值為()

3

A.3-75B.3或］C.3+君或3-近D.3

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意，得A(L3),5(3,1)，直線4：丁=x；根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)，得m=n,根據(jù)勾股定理,得尸C=回吁；

連接B4,PB,FB,根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，得C(2,2),OC1AB-,根據(jù)勾股定理逆定理，得

ZABD=90°；結(jié)合圓的性質(zhì)，得點(diǎn)A、B、D、尸共圓，直線4和交于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸為圓心；根據(jù)圓周角、

圓心角、等腰三角形的性質(zhì)，得FC=也;分尸。=小+bC或尸C=?-AT兩種情況，根據(jù)圓周角、二次

2

根式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意,得4,，3)，?闖,即4(1,3),5(3,1)

:直線4過原點(diǎn)。和點(diǎn)C

直線4：尸了

PO,〃）在直線，2上

m=n

PC="(ML2)2

連接出，PB,FB

PA=PB,線段A3的中點(diǎn)為點(diǎn)C

/.C(2,2),OC1AB

過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)。

/.0(2,0)

AD=^(2-l)2+(O-3)2=M,AB=^(l-3)2+(3-l)2=2&,BD=J(3-2『+l=0

AD2=AB2+BD2

：.ZABD^90°

...點(diǎn)A、B、D、P共圓，直線4和A8交于點(diǎn)R點(diǎn)尸為圓心

;.c=翳條

VAC=BC,FB=FA=-AD

2

ZBFC=-ZAFB

2

?:ZAPB=ZADB,且必

2

ZAPB=ZADB=NBFC

PCFC

.cosNAPB=cosZ.BFC=-1=―0

■-FBMM

2

PC=PF+FC或PC=PF—FC

當(dāng)PC=P尸-<FC時(shí)，N4PB和NADB位于直線AB兩側(cè)，即NAP3+Z4Z汨=180。

二PC=P尸一尸C不符合題意

APC=PF+FC=—+—,且加<2

22

PC=^2（m-2）2=>/2（2-777）,

:?歷（2一m）=呼+與

?.?m=—3

22

m+n-2m=3->/5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓、等腰三角形、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)、勾股定理、二次根式的知識(shí)；解題的關(guān)

鍵是熟練掌握?qǐng)A心角、圓周角、等腰三角形三線合一、三角函數(shù)、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解.

4.如圖，已知尸(肛0),2(0,n)(m>0,n>0),反比例函數(shù)>=:的圖象與線段尸。交于C,D兩點(diǎn)，若

S△尸oc=S^COD=S^DOQ，貝!]〃=（）

9

A.B.4

2

【答案】A

【分析】

過點(diǎn)。作?！阓L九軸于點(diǎn)石，過點(diǎn)。作。尸，了軸于點(diǎn)尸，由S"OC~S&COD~S^DOQ，可得出PC=CD=DQ,

12

即OE=￡F=EP,再根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出"OE=§"z,OF=-m'\設(shè)直線PQ的解析式為y=，

由點(diǎn)尸（州0）結(jié)合待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可得出直線PQ的解析式，將反比例函數(shù)解析式代入直線解析式

17

中，由根與系數(shù)的關(guān)系可表示出玉?馬,結(jié)合=§根、OF=-m,即可求出〃的值.

【詳解】

過點(diǎn)。作DELx軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E

如圖所示：

??V=QQ

?"APOC~-"ADOQ，

：.PC=CD=DQ,^OE=EF=FP,

?；OP=3OE=m,

OE=—m,OF=-m,

33

設(shè)直線PQ的解析式為y="+〃，

?.?點(diǎn)尸（北o）在直線PQ上，

Q=km+n,角軍得：k=--------,

m

ri

即直線PQ的解析式為_v=--------x+n,

m

幾m

令--------x+n=—,§Pnx2—mnx+m2=0,

mn

2

wi?

則%?9=OE-OF=——=—mx—m,

n33

9

解得：n=2f

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找出關(guān)于〃的一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

5.下列圖形：①國旗上的五角星，②有一個(gè)角為60。的等腰三角形，③一個(gè)半徑為兀的圓，④兩條對(duì)角線

互相垂直平分的四邊形，⑤函數(shù)y=L的圖象，其中既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱的圖形有（）

x

A.有1個(gè)B.有2個(gè)C.有3個(gè)D.有4個(gè)

【答案】C

【分析】

根據(jù)中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義可得答案.

【詳解】

解：①國旗上的五角星，是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；

②有一個(gè)角為60。的等腰三角形，是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形；

③一個(gè)半徑為n的圓，是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形；

④兩條對(duì)角線互相垂直平分的四邊形，是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形；

⑤函數(shù)y=_L的圖象，不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形；

X

既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱的圖形有3個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，以及反比例函數(shù)圖象和線段垂直平分線，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱

圖形和中心對(duì)稱圖形定義.

6.面積為2的直角三角形一直角邊長為x,另一直角邊長為y,則y與x的變化規(guī)律用圖象大致表示為（）

【詳解】

解：V|xy=2,

/.xy=4,

4

y=—(x>0,y>0),

x

當(dāng)x=l時(shí)，y=4,當(dāng)x=4時(shí)，y=l,

故選：C.

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△BCD的邊BC在x軸上，邊BC的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，線段。C與丁

軸的交點(diǎn)記為尸，CF=2DF,反比例函數(shù)>左<0）經(jīng)過點(diǎn)。，若5段加=4,則%的值為（

X

A.-6B.-3C.-8D.-4

【答案】A

【分析】

k

本題設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（。二），利用同高不同底的三角形面積的比值為底邊長的比值求出△比心的面積，利

a

用將DH和BC的長用含有4的代數(shù)式進(jìn)行表示，最后得到△班心的面積與〃的關(guān)系式，求

解即可得出左的值.

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)D作。于點(diǎn)〃，連接OD.

k

D點(diǎn)在反比例函數(shù)上，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（〃,一）；

a

k

：.OH=-a,DH=-；

a

TO為BC中點(diǎn)；

CO=BO；

?Q—Q—J-S

?,°ABFO°ACFO-2BFC；

?「CF=2DF；

?,^ABFD二萬=4；

?q_QQ—io

??0ABDC.JOABDF一工乙；

VDHVBC,FO.LOC；

：.FO//DH；

,?ACDH^ACFO；

FCCOFO2

DC~CH~DH~3

CO2

CO+OH-3；

??CO=—2a；

???。為5c邊中點(diǎn)；

???BC=2CO=-4a；

???="CO"Wx(-4“：卜2；

左=—6.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考察反比例函數(shù)的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)將ABDC的面積用含有點(diǎn)D

的坐標(biāo)的關(guān)系式進(jìn)行表示，即可求出％的值.

8.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8在第一象限，BALx軸于點(diǎn)A,反比例函數(shù)>=勺（尤>0）的圖象經(jīng)過線

X

段A8的中點(diǎn)C,點(diǎn)C關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,w）,若△048的面積為3,則”的值為（）

B.1

【答案】D

【分析】

根據(jù)對(duì)稱性求出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得OA與AB的長度，再根據(jù)已知三角形的面積列出n的方程求得n.

【詳解】

解：??,點(diǎn)C關(guān)于直線y二X的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為（Ln）（n#l）,

???C（n,1）,

OA=n,AC=1,

???AB=2AC=2,

VAOAB的面積為3,

；nx2=3,

解得，n=3,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題是反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)稱性質(zhì)，

關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)稱求得C點(diǎn)坐標(biāo)及由三角形的面積列出方程.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8在第一象限，軸于點(diǎn)A,反比例函數(shù)y的圖像與線段相

X

交于點(diǎn)C,且點(diǎn)C是線段A3的中點(diǎn)，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（3,“），的面積為3,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

A.（3,2）B.[3,|]C.（3,1）D.p，；]

【答案】C

【分析】

利用三角形面積公式得到SAAOC=；SAO4B=],再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到;因=3,然后

利用反比例函數(shù)的性質(zhì)確定左的值，最后把C（3,"）代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得C的坐標(biāo).

【詳解】

解：：胡，》軸于點(diǎn)A,C是線段的中點(diǎn)，

.<?_1c_3

??OAAOC=-OAOAB=~，

22

而SAAOC=g因，

.13

因=7'

乙L

而左>0,

:?k=3,

,3

??y=一,

X

?.?反比例函數(shù)y='的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,點(diǎn)C為坐標(biāo)(3,〃)，

X

「?3”=3,

???幾=1,

：.C(3,1),

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義：在反比例函數(shù)y=上圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向無軸和y軸

X

分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值I乩

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),，X軸于點(diǎn)3,點(diǎn)C是線段OB上的點(diǎn)，連結(jié)AC.點(diǎn)

P在線段AC上，且AP=2PC.函數(shù)y=g(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)p.當(dāng)點(diǎn)C在線段02上運(yùn)動(dòng)時(shí)，上的取值范

圍是()

228

A.0<%(2B.一?上《3C.一《人W2D.—<左(4

333

【答案】C

【分析】

設(shè)C(c,0)(璐上3),過尸作軸于點(diǎn)。，由△PCD^XACB,用。表示P點(diǎn)坐標(biāo)，再求得上關(guān)于。的解

析式，最后由不等式的性質(zhì)求得人的取值范圍.

【詳解】

解：丫點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),ABJ_x軸于點(diǎn)8,

:.OB=3,AB=2,

設(shè)C(c,0)(藤上3),過尸作尸。，九軸于點(diǎn)

則BC=3-c,PDIIAB,OC=c,

:.APCD^^ACB,

.PDCD_CP

,,~^~~CB~~CA"

\-AP=2PC,

.PDCD

一~Y~3^c~3"

PD=—,CD=l——c

33f

2

/.OD=OC+CD=1H—c,

3

“22

Pl+])’

7ok

把P(i+：c,勺代入函數(shù)尸々%>0)中，得

33x

24

k1=-I—c.

39

?1?O3

2

2,

3

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出％關(guān)于c

的解析式.

二、填空題

11.有一邊是另一邊的百倍的三角形叫做幸運(yùn)三角形，這兩邊中較長邊稱為幸運(yùn)邊，這兩邊的夾角叫做幸

運(yùn)角.如圖，AABC是幸運(yùn)三角形，3C為幸運(yùn)邊，為幸運(yùn)角，4(3,0),點(diǎn)8,C在反比例函數(shù)產(chǎn)提。>0)

的圖象上，點(diǎn)C在點(diǎn)8的上方，且點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為百.當(dāng)AABC是直角三角形且/3=90。時(shí)，則左的值為

【答案】3+3石

【分析】

k

作輔助線構(gòu)造三垂直模型，證得相似三角形，再利用對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系把3、C的坐標(biāo)表示出來，再代入y=—

X

計(jì)算即可.

【詳解】

解：過區(qū)作砥，工軸于￡,過。作CFLEB于尸，過。作CGJ_X軸于G,如圖，

ZAEB=ZF=ZABC=90°f

ZBCF+NCBF=ZABE+/CBF=90。,

:.ZBCF=ZABE,

.BF=CF=BC=-

"AE~BE~AB~'

設(shè)AE=〃，則5/=64石=后，

???A（3,0）,

..OE=OA+AE=3a,

???B的縱坐標(biāo)為君，即J3E=JL

:.CF=6BE=3,CG=EF=BE+BF=6+也a,B（3+a訴,

:.OG=OE-GE=OE-CF=3+a-3=a,

C（Q,6+迅〃）

k

???點(diǎn)3、C在在函數(shù),=一（%＞。）的圖象上，

x

+〃)=+y/3a)=k,

解得：％=—6（舍去），%=+,

k=3+3y/3，

故答案為3+3石.

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義的理解和運(yùn)用，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，表示出8、

C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

k

12.如圖，定義：若雙曲線＞=慢化＞0）與它的其中一條對(duì)稱軸y=x相交于A、8兩點(diǎn)，則線段AB的長度

X

為雙曲線y=—（%＞0）的對(duì)徑.若雙曲線丫=*%＞0）的對(duì)徑是8,則上

x無

【答案】8

【分析】

根據(jù)雙曲線的對(duì)徑的定義得到當(dāng)雙曲線的對(duì)徑為8,即48=8,。4=4,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到點(diǎn)

4坐標(biāo)為（2夜，2夜），把A的坐標(biāo)代入雙曲線＞=§（左＞。）即可得到的左值.

【詳解】

解：?.?雙曲線的對(duì)徑是8,即AB=8,04=4,

OC=AC=^0A=2①,

...點(diǎn)A坐標(biāo)為（2直，20）,

k

把A（20,2.72）代入雙曲線y=,（左>。）得上=20x20=8，

即人的值為8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，雙曲線的對(duì)徑關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得出交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

k

13.如圖，雙曲線y=—（x<0）經(jīng)過RdABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、C,ZABC=9Q°,AB//x^,連接。4,將RdABC

x

沿AC翻折后得到△A8C,點(diǎn)夕剛好落在線段OA上，連接OC,OC恰好平分。4與x軸負(fù)半軸的夾角，若

RdABC的面積為3,則左的值為.

【答案】-12

【分析】

過點(diǎn)C作COLx軸于點(diǎn)。，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得C￡>=CQ=CB,設(shè)8（x,2y）（x<0）,則C（尤，y）,AB

=a,則A點(diǎn)坐標(biāo)為：（x+a,2y）,帶入到解析式中求解即可；

【詳解】

解：過點(diǎn)C作CD,無軸于點(diǎn)。，

?.?將RdABC沿AC翻折后得到△ABC,點(diǎn)夕剛好落在線段OA上，連接OC,OC恰好平分OA與尤軸負(fù)

半軸的夾角，

.\ZCBrA=90°,CB=CB\

：.CD=CBr=CB,

設(shè)8(x,2y)(x<0),則C(%,y),AB=af則A點(diǎn)坐標(biāo)為：(％+〃，2y),

.*.2y(x+〃)=xy,

整理得出：a=-^x,

.,_1

??x+q——%,

.'.AB=-BC—y,

，gx(-yxy)=3,

-移=12,

：.k=-12.

故答案為：-12.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，結(jié)合折疊的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.

3

14.如圖，已知點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=-±(x<0)的圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OA,若將線段OA繞點(diǎn)。順

x

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段OB,則點(diǎn)B所在反比例圖像的函數(shù)關(guān)系式是

3

【答案】y=-

X

【分析】

如圖，設(shè)A(“z,”)，過A作AC_Lx軸于C,過2作無軸于。，得到AC="，OC=-m,根據(jù)反比例函數(shù)

圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得〃切=-3,根據(jù)平角的定義及角的和差關(guān)系可得/OAC=NB。。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

可得。8=。4,利用44s可證明AACO四△008,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=OD=w,CO=BD=-m,可

得點(diǎn)2坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得答案.

【詳解】

如圖，設(shè)A(m,n),過A作AC_Lx軸于C,過B作BZ)_Lx軸于￡),

3

:點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=-一(x<0)的圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

x

mn=—3,AC=n,0C=-m,

??,將線段OA繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段0B,

：.ZAOB=90°,OA=OB,

：.ZOAC+ZA0C=ZB0D+ZAOC=90°,

:?/OAC=/BOD,

ZACO=BDO

在△ACO和△ODB中，<ZOAC=ZBOD,

OA=OB

：.AACO^AODB,

C.AC=OD=n,CO=BD=-m,

:?B(n,-m),

k

設(shè)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)的解析式為y=人，

X

k=-mn=3,

3

故答案為：

X

【點(diǎn)睛】

本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，反比例函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式,

全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，直線與反比例函數(shù)〉=8(%>0)的圖象交于點(diǎn)A、B,與x軸交于點(diǎn)尸，軸于點(diǎn)C,

X

軸于點(diǎn)點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，連結(jié)CE、DE,己知AAEC的面積是面積的2倍，且

S&DEF=；，則%的值是.

k

【答案】2&

【分析】

設(shè)出直線的解析式，聯(lián)立反比例函數(shù)的解析式，確定一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，則交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

就是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系定理，點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別表示三角形的面積，構(gòu)造求解即可.

【詳解】

設(shè)直線A3的解析式為產(chǎn)mx+m則點(diǎn)尸,0),

m

根據(jù)題意，得整理，得加產(chǎn)+九工一;0,

X

設(shè)A(玉，%),B(%，為)，根據(jù)題意，得再、％2是方程加/+加-仁0的兩個(gè)根，

nk

+%2-,Xj%2-,

mm

:點(diǎn)E是線段A3的中點(diǎn)，

...點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為中=-二，

22m

rin

???點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為根x(--—)+n=—,

2m2

>?q-7V

?°AAEC—乙0AAED，

?Q=s

,?OAEC一口AABD，

A

,?0AA￡C-QABDE，

過點(diǎn)。作CMJ_AE,垂足為過點(diǎn)。作。NLAE,垂足為N,

則MC=2DN,

'：BD//\C

：.ZDBN=ZCAM,

：.AC：BD=MC：DN,

???=-2