中考數(shù)學(xué)難點突破與訓(xùn)練：三角形的存在性綜合問題（原卷版）

專題50三角形的存在性綜合問題

【題型演練】

一、解答題

1.如圖，在RtZXABC中，ZACB=9Q°,AC=3C,點。為A3邊上一點，連結(jié)CO,過點

8作BE_LCD交。的延長線于點E.

⑵如圖2,延長EB到點尸使EF=CE,分別連結(jié)CP,AF,AF交EC于點G.求證：BF=2EG.

⑶如圖3,若AC=AD,點M是直線AC上的一個動點，連結(jié)將線段MD繞點。順時

針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段點P是AC邊上一點，AP=3PC,。是線段CO上的一個動

點，連結(jié)P。，。河'.當(dāng)PQ+QM'的值最小時，請直接寫出/尸加'的度數(shù).

2.已知正方形ABCD,點尸為直線AC上的一點，連接尸3,過點尸作射線交直

線C。于點E,連接3E,取8E的中點/，連接PRCF.

⑴如圖1,點尸在線段AC的中點時，直接寫出網(wǎng)與CF的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,

①點尸在線段AC上時，試判斷(1)中的結(jié)論是否成立，并說明理由；

②若點P在直線AC上，AB=4,AP=^-AC,直接寫出C尸的長；

4

⑶設(shè)AB=4,若點尸運動到某一位置時使△3CF為等邊三角形，請直接寫出針的長.

3.在AABC中，。為直線AC上一動點，連接3D,將8。繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到BE,

連接DE與AB相交于點足

E

(1)如圖1,若。為AC的中點，ZBAC^90°,AC=4,89=回，連接AE,求線段AE的

長；

(2汝口圖2,G是線段54延長線上一點，。在線段AC上，連接OG,EC,若NR4C<90。，

ECYBG,ZADE=ZDBC,ZDBC+ZG=ZEBF,證明0BC=2AD+OC;

(3)如圖3,若AABC為等邊三角形，AB=6立,點M為線段AC上一點，且2CM=4W,點

P是直線3C上的動點，連接EP,MP,請直接寫出當(dāng)印+MP最小時的面積.

4.在RtaABC中，ZABC=90°,AD平分/BAC,E為AC上一點.

圖1

圖3

(1)如圖1,過D作A尸〃A8交AC于點/，若DE=DF=3,AB=4,求8的長；

(2汝口圖2,若CE=CD,過A作AF,4)交OE的延長線于點尸，H為D4延長線上一點，

連接成，過尸作交DH于點G,交HE于點M,且AH=AG,猜想線段用與ED

之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想；

(3)如圖3,將(2)中△?1加沿。R翻折得到《4。尸，N為。尸上一點，連接AN,過N作

PN_L4V交AQ于點尸，AD=10,PD=6,再將A/WF沿AV翻折得到AAN。，AQ交PN、

。產(chǎn)分別于點S、R,請直接寫出箕的值.

RN

5.如圖1,AABC中，AC=5,BC=12,以AB為直徑的。。恰好經(jīng)過點C,延長8c至。，

使得CD=BC,連接AD.

⑴求。。的半徑；

⑵求證：ZB=ZD；

(3)如圖2,在AD上取點尸，連接PC并延長交。。于點Q,連接AQ交3C于點E.

①當(dāng)PQ〃A3時，求AExA。的值；

②設(shè)AP=x,CE=y,求了關(guān)于x的函數(shù)表達式.

6.在44BC中，ABAC^90°,AB=AC.點。是平面內(nèi)一點，連接A。，將AD繞著點A

逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AE,連接CE,DE.

⑴如圖1,若點。為線段的中點，且BC=8,求CE的長；

(2汝口圖2,若點。為AABC內(nèi)部一點，過點A作/3,9交3。的延長線于點F,AF交EC

于點G,求證：EG=CG；

(3)如圖3,在(1)的條件下,點M是射線AD上的一點，點N是線段A3上一點，且AM=BN,

連接CM,CN.當(dāng)CM+CN最小時，直接寫出VC4M與△CBN的面積的和.

7.【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖①，AABC是等邊三角形，點。，E分別是邊上一點，且BD=2,BE=1,

點P在線段AE上運動，以尸￡)為邊向右作等邊△尸DF.

①求證：DEJ.AB

②過點尸作尸G,3c于點G,連接。E,請判斷尸G的長度是否為定值，若是,請求出該定

值，若不是，請說明理由.

【類比探究】

(2)如圖②，長方形A8CD中，AB=4,BC=5,￡為BC上一點，且助=1,P為A2邊上

的一個動點，連接EF,將EF繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)45。到EG的位置，當(dāng)點廠從點B運動到

點A時，請求出點G運動的路程.

圖①圖②

8.如圖，等腰從1BC中，AB=AC,平分N3AC.點E為AD上的動點，連接BE,將

(1)若50=3,試求出3C的長度；

(2)若BE=BC,設(shè)PB與AC相交于點尸.

①請求出NBFC的度數(shù)；

②連接所，過點C作CGLEF交所的延長線于點G.若族=10,EG=6.試求線段CF

的長.

9.在等邊三角形A3C中，點￡＞為AC上一點，連接3￡),將8。繞。逆時針旋轉(zhuǎn)角度a得

至UDE,連接BE,已知AB=4,BG±AC；

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若a=60。，tanZDBG=2-y/3,連接CE,求CE的長；

⑵如圖2,若。=120。，分別取CO的中點H,BE的中點R連接"尸，。尸，求證：HG=HF；

3

(3)如圖3,若AO=],尸為AE上一點，且滿足AP=2尸E,連接BP,將SP沿著8G所在

直線翻折得到3P',連接GP,當(dāng)GP最大時，直接寫出ABPE的面積.

10.［母體呈現(xiàn)】人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材56頁第10題，如圖的三角形紙片中，AB=8cm,

BC=6cm,AC=5cm.沿過點8的直線折疊這個三角形，使點C落在AB邊上的點E處，折

痕為BD.求的周長.

解：?.,△瓦乃是由折疊而得到

:.ABDEmLBDC:.BC=BE=6cm,DC=DE

,/AB=8cm/.AE=AB-BE=8cm-6cm=2cm

VAC=5cm.?.VADE的周長為：AD+DE+AE=AC+AE^lcm

【知識應(yīng)用】在Rt^ABC中，NC=90。沿過點5的直線折疊這個三角形，使點C落在8邊

上的點E處，折痕為班），過點E作N3ED的平分線交3。于點尸連接AP.

Si圖2

（1）如圖1,若CD=3cm,AB+BC=16cm,求AABC的面積;

(2)如圖2,求證AP平分NC4B；

【拓展應(yīng)用】如圖3,在Rt^ABC中，NC=90。沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落

在A3邊上的點E處，折痕為3D,過點E作/BED的平分線交8D于點連接AP,過點尸作

PHVAB.

圖3

(3)若AB=10cm,BC=6cm,AC=8cm,直接寫出尸//長；

(4)AC2+BC2=AB2,^vEAH-BH^-ACBC.

2

11.(1)已知AABC中，AB=AC,ZBAC=120°.

①如圖1,點、M,N均在邊BC上，ZANB=45°,ZMAN=ZNAD=^)°,AD^AM,連接

ND,CD.請直接寫出BM與CN的數(shù)量關(guān)系

②如圖2,點/在邊3C上，點N在3C的上方，且/MBN=NM4N=60。，求證：

MC=BN+MN-,

(2)如圖3,在四邊形ABCD中，ZCAB=a,瓦)平分/ABC,若/ADC與4BD互余,

則/ZMC的大小為(用含a的式子表示).

12.如圖，在。。中，半徑03,弦AC于點E,連接AB,BC,點。為。。上一點，連接3D、

CD.

(1)如圖1,求證NO+NABE=90。；

⑵如圖2,點尸為。。上一點，連接b,DF,若ZABC=/BCF,求證：DC平分ZBDF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，CG平分/OCF,交DF于點K,連接OK,設(shè)3。與AC交

于點CE:HE=5:3,BH=4,DK=8,求OK的長.

13.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。O,對角線AC、交于點E,連接4。交3D于點孔

AB=BF.

AAA

圖1圖2圖3

（1）如圖（1）求證：ZACD=2ZACB.

(2)如圖(2)若AOHBC,求證：AC=CD.

⑶如圖（3）在（2）的條件下，作EG〃AO交CO于點G,OMLDC于點M,若5CG=6GM,

OM=10,求線段。尸的長.

14.在四邊形ABCD中，AB=BC,ZB=60°；

圖1圖2

（1）如圖1,已知ND=30°,求得ZA+ZC的大小為；

（2）己知AD=3,CD=4,在（1）的條件下，利用圖1,連接3D,并求出3D的長度；

⑶問題解決：如圖2,已知ND=75。，BD=6,現(xiàn)需要截取某種四邊形的材料板，這個材料

板的形狀恰巧符合如圖2所示的四邊形，為了盡可能節(jié)約，你能求出這種四邊形面積的最小

值嗎？如果能，請求出此時四邊形4BCO面積的最小值；如果不能，請說明理由.

15.問題探究：

圖(1)

（1汝口圖（1）,在AABC中，=90°,AB=AC,點。為邊BC上的一動點，以AD為邊

在右側(cè)作VADE,且/ZME=90。，AD=AE,連CE.若CD=2BD=4,求DE的長；

⑵如圖（2）,邊長為4的等邊點。為邊BC上的一動點，以AD為邊在右側(cè)作VADE,

連接CE,貝U①/DCE=；?DC+CE=；③AOCE的周長最小值是

問題解決：

(3)如圖3,四邊形ABCD中，AB=AD,8=1,NA=NC=90。，ZABC=60°,點M,N

分別為邊AO,DC上的動點，且DM+DN=2,是否存在點N,使得四邊形HWDN面

積最大且ADMN的周長最?。咳舸嬖?，求出四邊形3MZW面積最大值和AOMN的周長最小

值；若不存在，請說明理由.

16.如圖1,已知，在Rt^ABC中，NC=90。，AC=4,BC=3,點。在AB上且8。="，

4

點、P,。分別從點8出發(fā)沿線段￡>8,BC向終點8,C勻速移動，P,。兩點同時出發(fā)，

同時到達終點.設(shè)8。=無，AP=y.

⑴求A￡)的值.

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式.

(3)如圖2,過點尸作尸ELAC于點E,連接PQ,EQ.

①當(dāng)APE。為等腰三角形時，求了的值.

②過。作D尸，3c于點尸，作點尸關(guān)于E。的對稱點尸，當(dāng)點F落在△PQB的內(nèi)部(不

包括邊界)時，則無的取值范圍為.

17.問題提出如圖1,點E為等腰從LBC內(nèi)一點，AB=AC,ZBAC=a,將AE繞著點A

逆時針旋轉(zhuǎn)a得到40,求證：^ABE^ACD.

嘗試應(yīng)用如圖2,點。為等腰外一點，AB^AC,BDLCD