中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想在壓軸題中的應(yīng)用（解析版）

專題18轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想在壓軸題中的應(yīng)用

羈型概述

轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)壓軸題中應(yīng)用比較廣泛，例如在幾何壓軸題中，多應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，具體表現(xiàn)為利用平移、

旋轉(zhuǎn)、翻折、全等等圖形變換或者等量變換將未知的問題轉(zhuǎn)化為己知問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問

題。

真題精析

例孽1

(2022?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題)

C

圖1圖2圖3

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1,△/48C和八4?！甓际堑冗吶切危B接8。，CE.求證：BD=CE.

(2)【類比探究】如圖2,和都是等腰直角三角形，UBC=AADE=90°.連接3D,CE.請直接

寫出總的值.

AD3

(3)【拓展提升】如圖3,A42C和AIDE都是直角三角形，AABC=AADE=90°,且石;“連接2

BCDE

，CE.

①求黑的值;

②延長CE交AD于點(diǎn)尸,交42于點(diǎn)G.求sin/AFC的值.

(1)證明△B4D三△C4E,從而得出結(jié)論;

(2)證明進(jìn)而得出結(jié)果；

(3)①先證明A43CsAA?E,再證得△C4Es2\34D,進(jìn)而得出結(jié)果；

②在①的基礎(chǔ)上得出進(jìn)而乙BFC=Z5NC,進(jìn)一步得出結(jié)果.

［答案與解析1

【答案】(1)見解析

⑵字

⑶①|(zhì)；@|

【詳解】(1)證明：???A/15C和A4OE都是等邊三角形,

..AD=AE,AB=AC,ZJ)AE=ABAC=60°,

??ZJ)AE-￡BAE=￡BAC-乙BAE,

:ABADdCAE(S4S),

???BD=CE；

(2)解：???A46C和A4OE都是等腰直角三角形,

??Z-DAE-乙BAE=4AC-Z-BAE,

??ABAD=ACAE,

:ABADFCAE,

,BDAB16

"cF-^c-72-V；

/、&力尸x45AD3

(3)解：?—=—=-,ZABC=AADE=9O°,

ACDE4

：?AABC?AADE,

ABAD3

??Z-BAC—Z-DAE9==-f

ACAE5

:?乙CAE=1Z~BAD,

:ACAE?ABAD,

.BD_4D_3

②由①得：ACAEFBAD,

??Z^/L(JE=Z^4LBDf

,?乙4GC=LBGF,

??Z-BFC=Z-BAC9

BC4

.,.smZ.BFC=-----=—.

AC5

皿與他

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的

關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形.

（2022?山東濰坊?中考真題）【情境再現(xiàn)】

甲、乙兩個含45。角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足。處，將甲繞點(diǎn)。順

時針旋轉(zhuǎn)一個銳角到圖②位置.小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接/G,88,如圖③所

示，AB交HO于E,/C交OG于尸,通過證明4OBE咨4OAF,可得OE=O尸.

請你證明:

圖⑥

【遷移應(yīng)用】

延長G/分別交所在直線于點(diǎn)尸，D,如圖④，猜想并證明。G與的位置關(guān)系.

【拓展延伸】

小亮將圖②中的甲、乙換成含30。角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接如圖⑥

所示，其他條件不變，請你猜想并證明/G與8H的數(shù)量關(guān)系.

證明VBO〃=V/OG,即可得出結(jié)論；通過/8〃0=//G0,可以求出/DG〃+/B〃O+/O〃G=90。，得

出結(jié)論/G_L5H；證明VBOT/SV/OG,得出些=0=且，得出結(jié)論；

BHOB3

［答案與解析】

【答案】證明見解析；垂直；BH=^3AG

【詳解】證明：.??/5=/C,/0,3C,

OA=OB,ZAOB=90°,

???/BOH+ZAOH=90°,ZAOG+ZAOH=90°,

丁./BOH=ZAOG,

OH=OG9

AMBOH2JAOG,

AG—BH；

遷移應(yīng)用：DG±BH9

證明：???VBOHNV/OG,

??.ZBHO=ZAGO,

ZDGH+ZAGO=45°9

???/DGH+/BHO=45。,

??,NO〃G=45。，

/.ZDGH+ZBHO+ZOHG=90°,

ZHDG=90°,

「?DGLBH；

拓展延伸：BHMAG,

證明：在此△408中，tan30°=—,

OB3

在RMHOG中,tan3(F=^=立，

OH3

,OAOG

''OB~~OH9

由上一問題可知，ZBOH=ZAOG,

X/BOHsV/OG,

.AGOA

BH=6AG.

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題考查旋轉(zhuǎn)變換，涉及知識點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、

等角的余角相等，解題關(guān)鍵結(jié)合圖形靈活應(yīng)用相關(guān)的判定與性質(zhì).

(2022?廣西貴港?中考真題)已知：點(diǎn)C,力均在直線/的上方，/C與2。都是直線/的垂線段，且2。在

NC的右側(cè)，BD=2AC,4D與8C相交于點(diǎn)。

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若連接C。，則△BCD的形狀為，F(xiàn)的值為；

AD

(2)若將BD沿直線/平移，并以4D為一邊在直線/的上方作等邊V4DE.

①如圖2,當(dāng)/E與NC重合時，連接OE,若4c=萬,求的長；

②如圖3,當(dāng)乙408=60。時，連接EC并延長交直線/于點(diǎn)尸，連接。尸.求證：OFLAB.

型輻

(1)過點(diǎn)C作。Z15。于//,可得四邊形N5HC是矩形，即可求得進(jìn)而可判斷四。)的形狀，AC

、5。都垂直于/,可得A40csABO。，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求解.

(2)①過點(diǎn)E作斯工于點(diǎn)H,AC,5。均是直線/的垂線段，可得4C//BD,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)

可得ABAD=30°,再利用勾股定理即可求解.

②連接C。，根據(jù)/C//AD,得/C8D=4C3=60。，即是等邊三角形，把△48。旋轉(zhuǎn)得

AJ7AC)1

/ECD=/ABD=9G0,根據(jù)30。角所對的直角邊等于斜邊的一般得到二7二不二彳，則可得

ABAD3

△AOFSAADB,根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求證結(jié)論.

［答案與解析】

【答案】(1)等腰三角形，I

(2)①。E=2近；②見解析

【詳解】(1)解：過點(diǎn)C作。7130于〃，如圖所示:

"AC1.1,DBLl,CH1.BD,

.'.ACAB=AABD=/.CHB=90°,

???四邊形N5HC是矩形，

..AC=BH,

義:BD=2AC,

..AC=BH=DH,S.CHLBD,

ABCD的形狀為等腰三角形,

-AC,5。都垂直于/,

.-.AC//BD,

..AAOC^ABOD,

AOACACI，即。0=2/0,

DO~DB~2AC

.AO_40_AO_

\4D~AO+DO-7AO-3

故答案為：等腰三角形，

(2)①過點(diǎn)E作跖工于點(diǎn)"，如圖所示:

E

圖2

?AC,均是直線/的垂線段，

.-.AC//BD,

???V4Z)E是等邊三角形，且/￡與4。重合，

：.Z-EAD=60°f

^.ZADB=ZEAD=60°9

???Z.BAD=30°,

:?在Rt^ADB中,AD=2BD,AB=6BD,

3

又???8。=2力C,AC=2f

??AD=6,AB=3A/3，

???AH=DH=—AD=3,AE=6

2

在Rt-4EH中,EH=>jAE2-AH2=762-32=373，

又由(1)知

AD3

.-.AO=-AD=2,貝!]OH=1,

3

:.在Rt/XEOH中,由勾股定理得：OE=JEH?+OH°=2行?

②連接C。，如圖3所示：

B

圖3

?:ACIIBD,

.-.ZCBD=ZACB=60°,

???由（1）知△BCZ）是等腰三角形，

??.△BQ）是等邊三角形，

又???V4DE是等邊三角形，

:6ABD繞點(diǎn)刀順時針旋轉(zhuǎn)60°后與&ECD重合，

:?/ECD=/ABD=9。。,

又???/BCD=ZACB=60°,

???ZACF=/FCB=ZFBC=30°,

:.FC=FB=2AF,

AFAO

??茄一萬一

又/OAF=/DAB,

???△AOFSAADB,

："AFO=/ABD=9。。,

:.OFLAB.

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用,

熟練掌握三角形相似的判定及性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，巧妙借助輔助線是解題的關(guān)鍵.

精啕融K題

1.（2022?山東濟(jì)寧??？级＃┤鐖D1,正方形48CD對角線NC、BD交于點(diǎn)、O,E、尸分別為正方形

ABCD邊AB、4D上的點(diǎn)，EFJ.AC交于點(diǎn)M,且=N為BF中點(diǎn)、.

ME

FM

圖1圖2備用圖

(1)請直接寫出ON與。M的數(shù)量關(guān)系

(2)若將△/￡尸繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時，(1)中的結(jié)論是否成立，若成立請證明；若不成立，請說

明理由；

(3)若48=8,E為4B中點(diǎn)、,△/環(huán)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出點(diǎn)〃■與點(diǎn)C的最大距離.

【答案】⑴。初=收。可

(2)成立，證明見解析

(3)472

【思路分析】⑴如圖1,連接ACV,由正方形的性質(zhì)可知，。是3。的中點(diǎn)，AB=AD,NBAD=90。,

由=可知M為E尸的中點(diǎn)，△，昉是等腰直角三角形，則尸，由N為3尸中點(diǎn)，可知ACV■和

ON分別為△AEF和V3Z)廠的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得/MNO=90。，MN=ON,在放AMON中，

由勾股定理可求得OM=42ON;

(2)如圖2,連接連接BE、DF交于點(diǎn)、H,

證明△可尸之△A4E(SAS),貝!],DF=BEZADF=ZABE,在△BDH中,由三角形內(nèi)角和求得

ZBHD=90°,則8E_LDF,MV和CW分別為△8￡萬和VaD尸的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得

NMNO=90°,MN=ON,在R〃MCW中，由勾股定理可求得(W=0ON;

(3)由題意知，AE=^AB=4,/〃=/Esin45。=2收，可知初在以A為圓心，2a為半徑的圓上運(yùn)動

,如圖3,由題意知，當(dāng)C、A、”三點(diǎn)共線時，CN取最大與最小值，根據(jù)二者的差為。N的直徑計算

求解即可.

【詳解】(1)解：OM=41ON.

如圖1,連接MN,

圖1

由正方形的性質(zhì)得，。是8。的中點(diǎn)，AB=AD,ABAD=90°,

?:ME=MF,

.??初為E尸的中點(diǎn)，且跖1/C,

/\AEF是等腰直角三角形,

AE=AF,BE=DF,

?：N為BF中點(diǎn)、,

MN和ON分別為4BEF和7BDF的中位線，

.-.MN//AB,ON//AD,MN=-BE,CN-CF,

22

:.NMNO=90°,MN=ON,

在Rt^MON中，由勾股定理得(W=y/MN2+ON2=42ON，

OM=>f2ON-

(2)解：成立.

證明如下：如圖2,連接MN,連接BE、DF交于點(diǎn)H,

由（1）知4E=4F,ZEAF=90°,

由正方形的性質(zhì)得N3=4D,ZBAD=9Q°,ZABD=ZADB=45°,

vZDAF=ZDAE+NEAF,NBAE=ABAD+NDAE,

???ZDAF=NBAE,

在△￡>/尸和中

AF=AE

■；<NDAF=NBAE,

AD=AB

/\DAF^Z\BAE(SAS),

.■■DF=BE,ZADF=AABE,

/BHD=180°-(ZABD-ZABE)-(ZADB+ZADF)=90°,

■.BEIDF,

???川為E尸的中點(diǎn)，N為3尸中點(diǎn)，

???MN和ON分別為ABEF和YBDF的中位線,

：.MN//BE,CN//CF.MN=-BE,CN=-CF,

22

:"MNO=90°,MN=ON,

在Rt4MoN中，由勾股定理得OM=y/MN2+ON2=41ON，

OM=y/2ON.

(3)解：由題意知，AE=；AB=4,/〃=/Esin45°=2亞,

???M在以A為圓心，2近為半徑的圓上運(yùn)動，如圖3,

圖3

由題意知，當(dāng)C、A、”三點(diǎn)共線時，CN取最大與最小值，且最大與最小的差為。/的直徑4行,

.??點(diǎn)〃與點(diǎn)C的最大距離和最小距離的差為4行.

故答案為：4A/2

2.(2022?湖北省直轄縣級單位??？家荒?如圖1,在RtZ\4BC中，ZACB=90°,過點(diǎn)/作直線血W,使

ZCAB=ZCAM,過點(diǎn)B作BNLMN千點(diǎn)、N,過點(diǎn)C作CM于點(diǎn)

(1)猜想44cM與/8/N的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)求證：AB=AN+2AM；

3

(3)如圖2,連接NC交于點(diǎn)G,若CG=NG,CM=6,求4。的長.

【答案】"BAN=2/ACM,理由見解析

(2)證明見解析

...6^/30

⑶丁

【思路分析】(1)根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到/C/M=90。-//CM,再由平角的定義得到

2ZCAM+ZBAN=18O°,由此即可推出結(jié)論；

(2)如圖所示，過點(diǎn)C作于。，證明會△◎￡>,AD=AM,CM=CD,再證明

4C、B、N四點(diǎn)共圓，得到/48C=N/NC,進(jìn)而證明△CWV四△CDB,得到=由此即可證

明結(jié)論；

(3)如圖所示，過點(diǎn)N作于E,過點(diǎn)C作C7/18N于〃，則四邊形CM出是矩形，得到

NH=CM=6,再由全等三角形的性質(zhì)和三線合一定理得到，BN=2NH=12,證明△CDGs^NEG,推

出NE=8,利用勾股定理求出3E=4石，證明求出力5=迎叵,4"二竺如，進(jìn)而求出

55

AM=莊,貝必。=北廬石"=氈。

55

【詳解】(1)解：ZBAN=2ZACM,理由如下；

-CMLMN,即//=90。，

.-.ZACM+ZCAM=90°,

.-.ZCAM=90°-ZACM

???/CAB=ZCAM,/CAB+ZCAM+ZBAN=180。，

.??2ZCAM+ZBAN=180°,

??.180°-2ZACM+ZBAN=180。，

??.ZBAN=2ZACM；

(2)證明：如圖所示，過點(diǎn)。作8,4B于Z),

???NM=NCDA=90。,

又/CAD=/CAM,CA=CA,

ACAM^△CAD(AAS),

/.AD=AM,CM=CD,

-BNIMN,

:?NBNA=NACB=90。,

???4C,B、N四點(diǎn)共圓，

???/ABC=/ANC,

又?:/CMN=Z.CDB=90°,CM=CD,

??.△CW之△CQB(AAS),

：.BD=MN,

：.AB=AD+BD=AM+MN=AM+AM+AN=2AM+AN；

(3)解：如圖所示，過點(diǎn)、N作NELAB于E,過點(diǎn)。作SJ_3N于X,則四邊形是矩形,

:.NH=CM=6,

???ACMN烏ACDB,

:,CN=CB,

：.BN=2NH=\2,

vCDLAB,NELAB,

/.CD//NE,

：?ACDGs&NEG,

,NE_NG

,~CD~~CG，

3

???CG=—NG,

4

.NE_4

??一j

CD3

又?：CD=CM=6,

.'.NE=8,

???BE=^BN2-NE2=475，

vZNEB=ZANB,/NBE=/ABN,

???AABNsANBE,

ABANBNABAN12

?==RnJ==-

"NBNEBE'1284遙

36石24也

55

AB-AN6#>

25

AC=NAM、CM?=.

N

3.（2021?北京?一模）在正方形N8CD中，點(diǎn)￡在射線上（不與點(diǎn)8、C重合）,連接08,DE,將

DE繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF,連接BF.

⑴如圖1,點(diǎn)E在2C邊上.

①依題意補(bǔ)全圖1;

②若48=6,EC-2,求B/7的長；

(2)如圖2,點(diǎn)E在8C邊的延長線上，用等式表示線段AD,BE,B尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴①見解析；②BF=2?

⑵BF+BD=,證明見解析

【思路分析】(1)①根據(jù)題意作圖即可；

②過點(diǎn)尸作交CB的延長線于〃，證明△DEC/得到EC=FH=2,CD=BC=EH=6

,則〃S=EC=2,在中，利用勾股定理即可求解；

(2)過點(diǎn)尸作萬H_LC5,交C5的延長線于“，證明ADEC2AEPH得到EC=FH,CD=BC=EH,則

HB=EC=HF,△OCS和都是等腰直角三角形，由此利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)①如圖所示，即為所求；

②如圖所示，過點(diǎn)尸作尸HLC8,交CB的延長線于兄

???四邊形/BCD是正方形，

??.CD=AB=6,ZC=90°,

?；/DEF=NC=90。,

/.ZDEC+ZFEH=90°,/DEC+/EDC=90。,

：,NFEH=NEDC,

在△DEC和AEFH中,

ZH=ZC=90°

</FEH=/EDC,

EF=DE

:.△DEgXEFH,

EC=FH=2,CD=BC=EH=6,

；,HB=EC=2,

???在Rt△尸皿中，BF=^FH2+BH2=V22+22=2V2-

(2)結(jié)論：BF+BD=6BE,理由如下：

過點(diǎn)尸作方交的延長線于4，

???四邊形43C。是正方形，

；,CD=AB,/DCE=90。，

???/DEF=ZDCE=90°,

:"DEC+NFEH=90°,ZDEC+ZEDC=90°,

ZFEH=ZEDC,

在AOEC和△EFH中，

ZFHE=ZDCE=90°

<NFEH=乙EDC,

EF=DE

:?△DEgXEFH,

：.EC=FH,CD=BC=EH,

HB=EC=HF,

.-.LDCB和ABHF都是等腰直角三角形，

BD=yjBC2+CD2=4i.BC=41EH，BF=NBH°+HF”=42BH，

-：EH+BH=BE,

■-BF+BD=y/2BE.

4.(2021?安徽?統(tǒng)考三模)已知：在A￡/G中，NEFG=90。，EF=FG,且點(diǎn)E,尸分別在矩形/BCD的

邊48,4D上.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在CD上時，求證：AAEF咨ADFG；

(2)如圖2,若尸是2。的中點(diǎn)，尸G與CD相交于點(diǎn)N,連接EN,求證：EN=AE+DN；

(3)如圖3,若AE=AD,EG,FG分別交CD于點(diǎn)〃，N,求證：MG2=MN-MD

【答案】(1)詳見解析

(2)詳見解析

(3)詳見解析

【思路分析】（1）先用同角的余角相等，判斷出乙4M=廠G,即可得出結(jié)論；

⑵先判斷出名得出48=ON,FH=FN,進(jìn)而判斷出￡〃=￡N,即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出/尸=PG,PF=AE,進(jìn)而判斷出尸G=BD,得出/MDG=45。，進(jìn)而得出/FG￡=/GDI/

,判斷出△MGNs^MDG,即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：二?四邊形/BCD是矩形，

.\ZA=ZD=90°f

ZAEF+ZAFE=90°f

???ZEFG=90°,

:.AAFE+ZDFG=9Q°f

/.ZAEF=ZDFG,

???EF=FG,

在△4EF和△￡>四G中，

AFAE=ZGDF

<ZAEF=ZDFG

EF=FG

?.△4￡尸也△。尸G（AAS）；

（2）證明：如圖2,延長NF,E4相交于”,

圖2

ZAFH=ZDFN,

由⑴知，ZEAF=ZD=90°,

ZHAF=ZD=90°,

,?,點(diǎn)廠是/。的中點(diǎn),

AF=DF,

在A4HF和4DNF中,

ZHFA=ZNFD

<AF=DF

ZHAF=ZNDF

:AAHF知DNF(ASA),

:.AH=DN,FH=FN,

QDEFN=90°,

:.EH=EN,

???EH=AE+AH=AE+DN,

：.EN=AE+DN；

(3)證明：如圖3,過點(diǎn)G作交/。的延長線于尸,

N尸=90°,

同⑴的方法得，△/防絲△。尸G(AAS),

:.AF=PG,PF=AE,

???AE=AD,

/.PF=AD,

AF=PD,

PG=PD,

???ZP=90°,

ZPDG=45°,

ZMDG=45°,

在Rt/\EFG中，EF=FG,

NFGE=45°,

ZFGE=ZGDM,

ZGMN=ZDMG,

“MGNSAMDG,

,MGMN

"DM-MG，

:.MG2=MN-MD.

5.（2022?江蘇揚(yáng)州?校考三模）在矩形ABC。中，AB=6,BC=S,

G

B

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,E為邊DC上的一個點(diǎn)，連接BE,過點(diǎn)C作BE的垂線交/。于點(diǎn)尸，試猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系

并說明理由.

【類比探究】

(2)如圖2,G為邊48上的一個點(diǎn)，￡為邊延長線上的一個點(diǎn)，連接GE交于點(diǎn)〃，過點(diǎn)C作GE的垂

線交/。于點(diǎn)尸，試猜想GE與CF的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

【拓展延伸】

(3)如圖3,點(diǎn)￡從點(diǎn)3出發(fā)沿射線8c運(yùn)動，連接/E,過點(diǎn)3作/E的垂線交射線CD于點(diǎn)尸，過點(diǎn)￡作的

平行線，過點(diǎn)尸作3c的平行線，兩平行線交于點(diǎn)連接。在點(diǎn)E的運(yùn)動的路程中，線段的長度

是否存在最小值？若存在，求出線段。〃長度的最小值；若不存在，請說明理由.

4

【答案】⑴BE二CF,理由見解析

4

(2)GE=-CF,理由見解析

⑶存在，長度的最小值為3.6

【思路分析】(1)證明ABCESACC甲，即可得解；

(2)過點(diǎn)G作。。的垂線交CD于點(diǎn)證明AGMESAQ)尸，即可得解；

(3)過點(diǎn)”作印于點(diǎn)K,連接HC,/C,則四邊形產(chǎn)CKH是矩形，證明4Ms△瓦(，得出

器=密=黑=3,根據(jù)NHKC=NABC=90。,可得AABCSACKH,得出“在HC上運(yùn)動，當(dāng)

HKBCFC4

3

時，DH最小,進(jìn)而求得sin/DC"=',根據(jù)xsin，即可求解.

4

【詳解】(1)解：BE=-CF,理由如下：

???四邊形/3CQ為矩形，

/BCD=ZCDA=90°,CD=AB=S,

ZBCF+ZDCF=90°,

-BELCF,

ZBCF+ZEBC=90°,

??./DCF=/EBC,

/.ABCES￡DF,

BE_BC_8_4

''CF~~CD~~6~3,

4

：.BE=-CF；

3

4

(2)解：GE=-CFf理由如下：

過點(diǎn)G作。。的垂線交CO于點(diǎn)Af,如圖所示：

則四邊形5CGW為矩形,

.?.GM=BC=8,

???GMLCD,

:.ZEGM+ZE=90°,

-CFLGE,

ZE+ZECF=90°,

.?.ZEGM=ZECF,

-ZGME=ZCDF=90°f

,,SGMES￡DF,

GE_GM_8_4

,'CF~~CD~6~3f

4

；.GE=-CF-

3

(3)存在，理由如下，

如圖，過點(diǎn)H作HKLBC于點(diǎn)K,連接〃C,4C,則四邊形尸CK8是矩形,

圖3

-BE//FH,FH//BE

???四邊形BEHF是平行四邊形,

：.FH=BE=CK,

??,/ABE=/FCB=9。。，BF1AE,

ZFBC+ZAEB=ZFBC+ZBFC=90°,

???AAEBs^BFC,

BEAB_3

FC-5C-4

,:FH=BE=CK,

CK_FHBE_3

X^HKC=ZABC=90°,

AABCSKKH,

ZHCK=ZCAB,

???〃在上運(yùn)動，

當(dāng)?！╛L”C時，最小,

???ZHCK=ZCAB,

ZCHK=NACB,

■：FC//HK,

NCHK=NFCH,

?；AB=6、BC=8,

.-.AC=10,

?3

/.sinZ.ACB=sinZ.CHK=sin/DCH=—,

318

工當(dāng)DHLHC時,DH=DCxsinZDCH=6x-=—=3.6,

即。H長度的最小值為3.6.

6.（2022?山東濟(jì)南?模擬）如圖1,己知A8為。。的直徑，點(diǎn)C為蕊的中點(diǎn)，點(diǎn)。在前上，連接8。、

CD、BC、

⑴求證：AC+ZCBD=ZCBA；

（2）如圖2,過點(diǎn)。作。。的垂線，分別與4D,AB,。。相交于點(diǎn)RG、H,求證：AF=BD；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接BF,若BF=BC,ACEF的面積等于3,求尸G的長.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

⑶廠G嶗

【思路分析】（1）連接NC,由7^=前，推出NC2/=NC48=NC4O+NO48,由麗=麗,

BD=BD，推出ZDC8=ZCU3,NCBD=NCAD,推出ZDCB+NC5。=NCAD+ZD/8=NCAB=NC5/

(2)只要證明A/CF之ABCD,即可推出/尸=AD；

(3)由A/CK絲ACEW,推出/K=CM,由空△BCD,推出CP=CD,△4FK是等腰直角三角

形，推出4K=FK=RW=CN,在RS4KC中，tanZCAK=——=3,作EN1CH于N,在RMNCE中，

AK