湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：2024年12月12日15：00-17：00試卷滿分：150分考試用時(shí)：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，則，又，則.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由可得，，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D3.已知變量x和變量y一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為，其中，其回歸直線方程為，當(dāng)增加兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)和后，重新得到的回歸直線方程斜率為3，則在新的回歸直線方程的估計(jì)下，樣本數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的殘差為（）A. B.-2 C. D.【答案】B【解析】∵，∴增加兩個(gè)樣本點(diǎn)后的平均數(shù)為；∵，∴，∴增加兩個(gè)樣本點(diǎn)后y的平均數(shù)為，∴，解得，∴新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，，∴樣本點(diǎn)的殘差為故選：B.4.若正整數(shù)a，b滿足等式，且，則（）A.1 B.2 C.2022 D.2023【答案】D【解析】∵，∴.故選：D5.已知，均為非零向量，其夾角為，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】∵，則，∴，同向，但當(dāng)時(shí)不滿足，因此充分性不成立.∵，∴，即，即，從而，同向，，由此可知必要性成立.故“”是“”的必要不充分條件，故選：C.6.已知等比數(shù)列滿足，，記為其前項(xiàng)和，則（）A. B. C. D.7【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，依題意，，，即，∴，，解得或，∴，，或，，，∴.故選：A7.已知直線經(jīng)過拋物線：的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若使得成立的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知F1,0，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，Ax1,y1聯(lián)立整理得，則，.∴.∵，∴四邊形為平行四邊形.∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，∴，解得.∴點(diǎn)到直線的距離為，∴平行四邊形的面積為.故選：A.8.如圖，在三棱錐中，，，E，F(xiàn)，G分別為，，上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，若此時(shí)恰好存在一個(gè)小球與三棱錐的四個(gè)面均相切，且小球同時(shí)還與平面相切，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，.因?yàn)椋裕?∵，平面，平面，∴平面.作，垂足為H.∵平面，∴.又，平面，平面，∴平面.過點(diǎn)H作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫?，所以，又是平面?nèi)的兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫妫?易知平面平面，設(shè)小球半徑為，∴，∴.根據(jù)題意，，∵，，∴，∴.由，得，∴，∴.∴.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，，則C.若且，則 D.若，則【答案】AD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，.∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，∴，故A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，∵且，由糖水原理可知，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，即，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.圖象的一條對(duì)稱軸方程為C.圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)D.在區(qū)間上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BC【解析】由圖可知，，，又，解得，，，∴.對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，故正確；對(duì)于選項(xiàng)B，為其最小值，∴為圖象的一條對(duì)稱軸，故正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，∴點(diǎn)為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，，即在區(qū)間上的值域?yàn)?，故錯(cuò)誤.故選：ABC．11.甲同學(xué)想用一支鉛筆從如下的直三棱柱的頂點(diǎn)出發(fā)沿三棱柱的棱逐步完成“一筆畫”，即每一步均沿著某一條棱從一個(gè)端點(diǎn)到達(dá)另一個(gè)端點(diǎn)，緊接著從上一步的終點(diǎn)出發(fā)隨機(jī)選擇下一條棱再次畫出，進(jìn)而達(dá)到該棱的另一端點(diǎn)，按此規(guī)律一直進(jìn)行，其中每經(jīng)過一條棱稱為一次移動(dòng)，并隨機(jī)選擇某個(gè)頂點(diǎn)處停止得到一條“一筆畫”路徑，比如“一筆畫”路徑.若某“一筆畫”路徑中沒有重復(fù)經(jīng)過任何一條棱，則稱該路徑為完美路徑，否則為不完美路徑.下列說法正確的有（）A.若“一筆畫”路徑為完美路徑，則甲不可能6次移動(dòng)后回到點(diǎn)B.經(jīng)過4次移動(dòng)后仍在點(diǎn)的概率為C.若“一筆畫”路徑為完美路徑，則5次移動(dòng)后回到點(diǎn)有5條不同筆跡D.經(jīng)過3次移動(dòng)后，到達(dá)點(diǎn)的條件下經(jīng)過點(diǎn)C的概率為【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，沿等路線即可，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，若存在重復(fù)路線，兩次移動(dòng)回到點(diǎn)可以第一次移動(dòng)到達(dá)點(diǎn)，，C，第三次移動(dòng)再?gòu)倪@些移動(dòng)方式中選，共有9種走法，另外可以先移動(dòng)兩次再原路返回，第一次移動(dòng)可能到達(dá)點(diǎn)，，C，每個(gè)點(diǎn)在第二次移動(dòng)時(shí)都有兩種移動(dòng)方式，故有6種方式；若不存在重復(fù)路線，經(jīng)過點(diǎn)C由四條棱組成的閉合回路只有和兩種，每條路都有兩種經(jīng)過方式，共有4種方式；所以概率為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，列舉法：，，，，，故共有5條不同筆記，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，先考慮重復(fù)路線：前兩條路線重復(fù)，第一次移動(dòng)到達(dá)點(diǎn)，，C共３條路徑；后兩條路徑重復(fù)（即第一次移動(dòng)到點(diǎn)）同理有３條路徑，其中重復(fù)，故共只有5條路徑；再考慮不重復(fù)路徑：只有，1條路徑，∴三次移動(dòng)后到達(dá)點(diǎn)A有6條路徑.記事件：從點(diǎn)出發(fā)，三次移動(dòng)后到達(dá)點(diǎn)；事件C：從點(diǎn)出發(fā)，三次移動(dòng)時(shí)經(jīng)過點(diǎn)C，故，，故，故D確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)F為雙曲線C：的左焦點(diǎn)，，分別為雙曲線C的兩條漸近線的傾斜角，已知點(diǎn)F到其中一條漸近線的距離為2，且滿足，則雙曲線C的焦距為_______.【答案】8【解析】根據(jù)點(diǎn)F到其中一條漸近線的距離為2，可得，且滿足.又，∴，∴，故，∴，∴焦距為.故答案為：.13.某流水線上生產(chǎn)的一批零件，其規(guī)格指標(biāo)X可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，且，對(duì)于的零件即為不合格，不合格零件出現(xiàn)的概率為0.05，現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取500個(gè)，用Y表示這500個(gè)零件的規(guī)格指標(biāo)X位于區(qū)間的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量Y的方差是________.【答案】【解析】由正態(tài)分布的性質(zhì)得質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間的概率為，即1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間的概率為，∴，故故答案為：14.已知函數(shù)（其中，且）為其定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.【答案】【解析】，記，在定義域上單調(diào)，可得hx必為單調(diào)函數(shù).若hx單調(diào)遞增，則恒成立，即，∴.又函數(shù)在時(shí)值趨近于0，不滿足.若hx單調(diào)遞減，則恒成立，即，即，∴，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，即，∴，即，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）判斷的形狀；（2）設(shè)，且D是邊的中點(diǎn)，求當(dāng)最大時(shí)的面積.解:（1）由二倍角公式得，∴，整理得，即.∵，∴，即，即為等腰三角形.（2）由（1）及題設(shè)，有，∴，而為三角形內(nèi)角，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.即的最大值為，此時(shí)由，而，故，故，可得為直角三角形且，又由（1）可得為正三角形，∴的面積.16.在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，.（1）求證：平面平面；（2）平面于點(diǎn)，求二面角的余弦值.解:（1）證明：在和中，，，與互余，所以，即.又平面，平面，.又平面中，，平面，又平面，平面平面.（2），，兩兩互相垂直，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則A0,0,0，，，，，.點(diǎn)在平面內(nèi)，設(shè)，則，平面，，，，解得，，即，點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)到棱的距離，設(shè)二面角大小為，則，，即二面角的余弦值為.17.設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：（1），且.當(dāng)時(shí)，，，從而，即此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，從而，即此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.∴綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2），又，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，記，從而，且此時(shí)，，∴，在區(qū)間上單調(diào)遞增.，，∴存在，使得且時(shí)，，即此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減；時(shí)，，即此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增.∴由，得，即函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)；而由，，即函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn).∴函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn).18.已知過，兩點(diǎn)的動(dòng)拋物線的準(zhǔn)線始終與圓相切，該拋物線焦點(diǎn)的軌跡是某圓錐曲線E的一部分.（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，，過點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)的外心為為坐標(biāo)原點(diǎn)，問：直線與直線的斜率之積是否為定值，如果是定值，求出該定值；如果不是定值，說明理由.解：（1）由題意知拋物線的焦點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和等于點(diǎn)A，B到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和，等于的中點(diǎn)O到準(zhǔn)線的距離的2倍，即等于圓的半徑的2倍，∴，∴點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)的橢圓E上，設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，∴，，∴，∴曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線：，由∴.設(shè)，，則，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，的垂直平分線的斜率為.∴的垂直平分線方程為，即，由得，∴的垂直平分線方程為.同理的垂直平分線方程為.設(shè)點(diǎn)，則，是方程，即的兩根，∴兩式相除得，∴.∴，即直線與的斜率之積為定值.19.n為不小于3的正整數(shù)，對(duì)整數(shù)數(shù)列：，可以做以下三種變換：①將中的減1，加1，其余項(xiàng)不變，稱此變換為對(duì)做變換；②取，將中的減2，，均加1，其余項(xiàng)不變，稱此變換為對(duì)做變換；③將中的減1，加1，其余項(xiàng)不變，稱此變換為對(duì)做變換.將數(shù)列做一次變換得到，將數(shù)列做一次變換得到……例如：時(shí)，對(duì)數(shù)列：0，-1，1，0依次做，變換，意義如下：先對(duì)做變換得到數(shù)列：0，0，-1，1，再對(duì)做變換得到數(shù)列：0，0，0，0.（1）時(shí)，給定數(shù)列：0，-1，1，0，0，求證：可以對(duì)做若干次變換得到數(shù)列0，0，0，0，0；（2）時(shí)，求證：對(duì)任意整數(shù)數(shù)列：，，，，，若，則可以對(duì)做若干次變換得到數(shù)列0，0，0，0，0；（3）若將變換①中的改為，將變換③中的改為，在時(shí)，求證：對(duì)任意整數(shù)數(shù)列：，若，且和均為偶數(shù)，則可以對(duì)整數(shù)數(shù)列做若干次變換得到數(shù)列.證明：（1）首先對(duì)給定數(shù)列，做變換，減，和均加，得到數(shù)列.再對(duì)該數(shù)列做變換，減，和均加，得到數(shù)列.然后對(duì)這個(gè)數(shù)列做變換，就得到了（2）首先，若對(duì)數(shù)列：依次做變換，得到的數(shù)列加1，減1，其余項(xiàng)不變；若對(duì)數(shù)列中：依次做變換，得到的數(shù)列中減1，加1，其余項(xiàng)不變.∴可以通過若干次變換使得相鄰兩數(shù)一個(gè)加1，另一個(gè)減1，∴可以通過若干次變換使得第