湖南省衡陽市衡陽縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省衡陽市衡陽縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號.回答非選擇題時，將寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.在等比數(shù)列中，若，則（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】設(shè)的公比為，則，所以，所以故選：D.2.已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，故的取值范圍是.故選：C3.已知曲線的焦距為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，該曲線的半焦距為，若該曲線為橢圓，則或，可得(舍去)或，若該曲線為雙曲線，則，可得(舍去)，綜上，故選：B4.若拋物線的焦點到直線的距離為，則的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意知的焦點坐標(biāo)為()，則，解得（負(fù)值舍），所以的準(zhǔn)線方程為，即.故選：D5.已知向量，且，則（）A. B. C.3 D.6【答案】C【解析】，因為，設(shè)，則，解得，所以故選：C6.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將有三條棱互相平行且只有一個面為平行四邊形的五面體稱為芻甍.如圖，今有一芻甍，四邊形為平行四邊形，平面，且，點在棱上，且.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得.又因為，所以.故選：A7.已知實數(shù)滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】可化為，表示圓心為，半徑為的圓，的幾何意義是圓上一點與點連線的斜率，設(shè)，則，當(dāng)此直線與圓相切時，斜率最大或最小，由，整理得，解得或，故的最小值為.故選：B.8.已知斜率為2的直線與橢圓交于兩點，為線段的中點，為坐標(biāo)原點，若的斜率為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，兩式作差可得，因為，又，所以，所以的離心率為.故選：D二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知點與到直線的距離相等，則的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由題知，過的中點，或的斜率與的斜率相等，又的中點為，則過點的直線為AD選項；又的斜率為，則B選項符合條件.故選：ABD10.已知均是公差不為0的等差數(shù)列，且，記的前項和分別為，則（）A. B.C.為遞增數(shù)列 D.【答案】AD【解析】對于A，由，得，故A正確；對于B，設(shè)的公差分別為，均不為0，所以，即，所以，所以，所以無法確定的通項公式，故B錯誤；對于C，由B，不妨取，因此，則為遞減數(shù)列，故C錯誤；對于D，因為，所以，故D正確.故選：AD11.已知為拋物線的焦點，直線過點且與交于兩點，為坐標(biāo)原點，則（）A.的最小值為B.以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相離C.的面積為定值D.【答案】BD【解析】設(shè).對于A，若，則與坐標(biāo)原點重合，直線為軸，與不可能有兩個交點，故A錯誤；對于B，如圖，設(shè)的中點為，過分別向準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，則，因此以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相離，故B正確；對于C，的面積為為定值，顯然不是定值，故C錯誤；對于D，由題意，直線斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立與，得，從而根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得此時，因此，故D正確.故選：BD.12.已知四棱臺的底面為正方形,棱底面,且，則下列說法正確的是（）A.直線與平面相交B.若直線與平面交于點，則為線段的中點C.平面將該四棱臺分成的大?小兩部分體積之比為D.若點分別在直線上運動，則線段長度的最小值為【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.對于A，由，可知為平面的一個法向量，又，所以，因此與不垂直，即直線與平面相交，故A正確；對于B，連接、、,設(shè)正方形的中心為，正方形的中心為，則為中點，為中點，連接，可得平面，、平面，故與的交點即為點，由，故，且，故與相似，故，故是的一個三等分點，故B錯誤；對于C，如圖，延長至，使得，則，又，所以，從而平面分四棱臺所成的大?小兩部分的體積之比為：，故C正確；對于D，設(shè)，其中，因此，則，因此，當(dāng)時取等號，所以長度的最小值為，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.雙曲線的一條漸近線方程為__________.【答案】（或，答案不唯一）【解析】由得，，焦點在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：（或答案不唯一）14.直線所過定點的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】由得，聯(lián)立方程得解得即定點坐標(biāo)為.故答案為：15.已知公比的等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列，設(shè)的前項和為，則__________.【答案】【解析】解析由成等差數(shù)列得，即，因為，所以，解得（舍去）或，易知成等比，所以，所以.故答案為：16.如圖，已知是圓的弦，為的中點，且在弦上的射影為，則，該定理稱為阿基米德折弦定理.在上述定理中，若已知，，點在直線下方，，則過點的圓的方程為__________.【答案】【解析】因為，所以，因為，所以為直徑，且.設(shè)，則，解得（舍去）或，設(shè)，由，得，解得，過點的圓，是以為直徑的圓，所以其圓心為，半徑為故答案為：.四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（1）已知等差數(shù)列滿足，求的通項公式；（2）已知等比數(shù)列的公比，且，求的前項和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，解得，所以；（2）因為等比數(shù)列的公比，且，所以，所以，所以.18.已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與交于兩點，求的周長.解：（1）由題意知的半焦距，因為離心率，所以，，所以的方程為.（2）聯(lián)立方程得解得所以.由對稱性可知，所以的周長為.19.已知圓經(jīng)過和兩點，且與軸的正半軸相切.（1）求圓的方程；（2）若圓與圓關(guān)于直線對稱，求圓的方程.解：（1）根據(jù)題意設(shè)圓方程為，其中.將兩點的坐標(biāo)代入方程得，解得.因此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因為圓與圓關(guān)于對稱，所以兩個圓的圓心關(guān)于對稱，半徑相等.由（1）知圓的圓心為，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，則，解得：，，即所以圓的方程為.20.如圖，在四棱錐中,平面,且，.（1）證明：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）因為平面，平面，所以，，又，故兩兩垂直，根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.因此，所以又因為，平面，所以直線平面.（2）根據(jù)（1）知，為平面的一個法向量.因為，設(shè)為平面的法向量，則，令，則，則.因為.所以平面與平面夾角的余弦值為.21.已知在數(shù)列中，的前項和.（1）證明：為等差數(shù)列；（2）已知，求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以，兩式相減得，整理得，所以，兩式相減整理得，即為等差數(shù)列.（2）由條件及（1）知是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以的通項公式為.所以，則，兩式相減得，整理得.22.已知曲線上的動點滿足，且.（1）求的方程；（2）已知直線與交于兩點，過分別作的切線，