遼寧省八校2025屆高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省八校2025屆高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)為虛數(shù)單位，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故．故選：D．2.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，且，所?故選：A3.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2024項(xiàng)中有（）個(gè)奇數(shù)A.1012 B.1348 C.1350 D.1352【答案】C【解析】對(duì)數(shù)列中的數(shù)歸納發(fā)現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)中前2個(gè)都是奇數(shù)，后一個(gè)是偶數(shù)，又，故該數(shù)列前2024項(xiàng)有個(gè)奇數(shù).故選：C4.如圖，在中，為線段上異于，的任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】中，不共線，點(diǎn)D在BC上，則，存在唯一實(shí)數(shù)t使，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，而，所以，所以.故選：B5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，比較和的大小，其中，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵?,+∞單調(diào)遞增，所以，即；比較和的大小，其中，即，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞增，所以，即；比較，的大小，因?yàn)?，，所以，即，故選：.6.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時(shí)他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時(shí)他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時(shí)下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨(dú)立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】“至少有一天淋雨”的對(duì)立事件為“兩天都不淋雨”，連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數(shù)共有4次.(1)4次均不下雨，概率：；(2)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時(shí)下雨，概率為：；(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：①同一天上下班均下雨；②兩天上班時(shí)下雨，下班時(shí)不下雨；③第一天上班時(shí)下雨，下班時(shí)不下雨，第二天上班時(shí)不下雨，下班時(shí)下雨；概率為：；(4)有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時(shí)不下雨，概率為：；(5)4次均下雨，概率為：；兩天都不淋雨的概率為：，所以至少有一天淋雨的概率為：.故選：D.7.已知直線與圓，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)取最小值時(shí)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可知圓心為，半徑，由題意，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，此時(shí)，過作直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，與直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，由于與關(guān)于直線對(duì)稱，，與關(guān)于直線對(duì)稱，因此與就是同一條直線，即點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，所以的最小值為.故選：C8.在平行四邊形中，，是平行四邊形內(nèi)（包括邊界）一點(diǎn)，，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榈?，即所以點(diǎn)在的角平分線上，設(shè)的中點(diǎn)為因?yàn)?，所以點(diǎn)在線段上，不妨設(shè)，所以易知所以因?yàn)樗砸驗(yàn)樗怨蔬x：B9.對(duì)任意A，，記，則稱為集合A，B的對(duì)稱差．例如，若，，則，下列命題中，為真命題的是（）A.若A，且，則B.若A，且，則C.若A，且，則D.存在A，，使得【答案】ABD【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，且B中的元素不能出現(xiàn)在中，因此，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，即與是相同的，所以，即選項(xiàng)B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋裕?，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，時(shí)，，，D正確；故選：ABD．10.在菱形中，，，E為AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折至的位置，使得二面角為直二面角，若為線段的中點(diǎn)，則（）A.平面B.C.異面直線，所成的角為D.與平面所成角的余弦值為【答案】AC【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.對(duì)于A，因?yàn)?，平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面，故A正確.對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以DP，EC不垂直，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，所以異面直線，所成的角為，故C正確.對(duì)于D，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以令，?設(shè)與平面所成的角為，因?yàn)?，所以，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.隨機(jī)事件A，滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】A.，所以，，所以，故A錯(cuò)誤；B.，故B錯(cuò)誤；C.，故C正確；D.，，所以，，故D正確故選：CD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，又，所以，解得或.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋遥瑒t的值為______.【答案】【解析】，故，因?yàn)樵趨^(qū)間上的值域?yàn)?，且，故必有，如圖所示，則故故答案為：14.歐拉，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)量聯(lián)系起來，兩個(gè)超越數(shù)——自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，圓周率，兩個(gè)單位——虛數(shù)單位和自然數(shù)單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0，數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，請(qǐng)你根據(jù)歐拉公式：，將復(fù)數(shù)表示成（為虛數(shù)單位）的形式___________；若，則，這里，稱為1的一個(gè)n次單位根，簡(jiǎn)稱單位根．類比立方差公式，我們可以獲得，復(fù)數(shù)，則的值是___________．【答案】①.②.【解析】，，所以，由題意可得，所以，又因?yàn)椋?，則.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，且．（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，求證：．（1）解：在，中，，令，可得，∴．（2）解：，①當(dāng)時(shí)，，②可得，∴，∴是公差為的等差數(shù)列，∴，∴．（3）證明：由（2）可得，∴，∴．16.在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，如圖，是上的動(dòng)點(diǎn)，且始終等于，記.當(dāng)為何值時(shí)，的面積取到最小值，并求出最小值.解：（1）在中，由正弦定理可得，所以，所以，即得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，由?）知，所以，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，即，所以當(dāng)時(shí)，的面積取到最小值，最小值為.17.如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，對(duì)的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值；（3）設(shè)點(diǎn)是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)線段的長(zhǎng)最小時(shí)，求直線與直線所成角的余弦值.（1）證明：的中點(diǎn)，連結(jié)，由已知得，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，故,故平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為n=x則，即，取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，所以，因?yàn)?，故平面與平面所成角的正弦值為.（3）解：是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)且，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)線段的長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)在與圓的交點(diǎn)處，此時(shí)，，設(shè)直線與直線所成角為，所以，所以直線與直線所成角得余弦值為.18.已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，P是C上異于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為，且.（1）求雙曲線C的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點(diǎn)（異于A，B）.（i）求m的取值范圍；（ii）設(shè)直線AD與直線BE交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在定直線上.解：（1）由題意可知，因?yàn)椋?設(shè)，則，所以，又，所以.所以雙曲線C的方程為.（2）（i）由題意知直線l的方程為.聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，因?yàn)橹本€l與雙曲線左右兩支相交，所以，即滿足：，所以或；（ii）證明：，直線AD的方程為直線BE的方程為.聯(lián)立直線AD與BE的方程，得，所以，所以，所以所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)始終為1，故點(diǎn)Q在定直線上.19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)y=（2）若曲線與存在兩條公切線，求整數(shù)的最小值；（3）已知，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)為：，且，證明：.（1）解：，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）解：設(shè)切線分別與和交于，的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為，所以處切線方程為，處切線方程為，由公切線可知，，所以，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)楣芯€有兩條，所以有兩個(gè)根；設(shè)，所以，因?yàn)榫谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以且，所以，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以，且時(shí)，，時(shí)，，所以若有兩個(gè)根，則，故整數(shù)的最小值為.（3）證明：定義域?yàn)椋深}意可知，是方程的三個(gè)根；當(dāng)時(shí)，令，所以，令