遼寧省沈陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，?故選：D.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的意義，則，解得，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.3.是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，，，若，，三點(diǎn)共線，則的值為（）A.3 B. C. D.2【答案】A【解析】由，，得，由，，三點(diǎn)共線，得，又，不共線，則，所以.故選：A.4.命題，為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A B. C. D.【答案】C【解析】，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由命題為真，得，因此命題為真命題的一個(gè)充分不必要條件是集合的真子集，C是，ABD都不是.故選：C.5.已知冪函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，則（）A.或2 B. C.2 D.【答案】C【解析】由冪函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，得，所以經(jīng)檢驗(yàn)適合題意.故選：C.6.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，即，且對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，即，又因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，則，故，故選：D.7.已知強(qiáng)度為的聲音對(duì)應(yīng)的等級(jí)為時(shí)，有，噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)，聲音約為；一般說話時(shí)，聲音約為.計(jì)算噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)的聲音強(qiáng)度是一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度的（）倍.A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)的聲音強(qiáng)度和一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度分別為、，則，，上述兩個(gè)等式作差可得，解得，因此，噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)的聲音強(qiáng)度是一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度的倍.故選：B.8.已知函數(shù)，若是方程的四個(gè)互不相等的解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的圖象如圖，不妨令，觀察圖象，得，且，，由，得，因此，設(shè)，函數(shù)在為增函數(shù)，，則，所以的取值范圍是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分的分.9.以下命題正確的選項(xiàng)是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由，可得，又因?yàn)椋瑒t，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，，顯然有，，但，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋捎?，故，從而有，所以，，即，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)榍?，由不等式的性質(zhì)可得，D對(duì).故選：ACD.10.設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的是（）A.若與對(duì)立，則B.若與互斥，，，則C.數(shù)據(jù)，，，，，，，，，的分位數(shù)是7.8D.若與相互獨(dú)立，，，【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榕c對(duì)立，，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，因?yàn)榕c互斥，所以，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，這組數(shù)據(jù)一共有10個(gè)數(shù)，所以分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)與第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)，為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若與相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立，因?yàn)?，，所以，，所以，所以D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)、的定義域均為，且，.若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，下列說法正確的是（）A. B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C. D.【答案】ABC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)y=gx的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，?lián)立可得，即，所以，y=gx的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋氲茫?，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，，因此，，D錯(cuò).故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“，”的否定是______.【答案】，【解析】命題“，”為全稱量詞命題，該命題的否定為“，”.13.不等式對(duì)恒成立，則______.【答案】【解析】由，即或，解得或，由，即，解得，因?yàn)椴坏仁綄?duì)恒成立，當(dāng)或時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，由上可知，關(guān)于的方程的兩根分別為、，由韋達(dá)定理可得，，可得，，因此，.14.已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)，剩下的六個(gè)數(shù)據(jù)分別是、、、、、，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的倍，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值構(gòu)成的集合為______.【答案】【解析】設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為，則這七個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，眾數(shù)為，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的倍，分以下幾種情況討論：若，則中位數(shù)為，此時(shí)，，解得；若，則中位數(shù)為，此時(shí)，，解得；若，則中位數(shù)為，此時(shí)，，解得.綜上可知，丟失數(shù)據(jù)所有可能取值構(gòu)成的集合為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求集合；（2）已知，，是否存在實(shí)數(shù)，使是的必要不充分條件，若存在實(shí)數(shù)，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?（2）由可得，即，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，則集合是集合的真子集，所以，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.如圖所示，在中，為邊上一點(diǎn)，且，若，，三點(diǎn)共線，且，.（1）用，表示；（2）求的最小值.解：（1）由，得，所以.（2）由，，，，得，又、、三點(diǎn)共線，因此，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以取最小值.17.某醫(yī)療單位為了迎接醫(yī)師節(jié)，針對(duì)本單位不同年齡的員工舉辦了一次實(shí)踐技能大比拼活動(dòng)，滿分100分（95分及以上為優(yōu)秀醫(yī)師），共有100人榮獲“優(yōu)秀醫(yī)師”稱號(hào)，將其按年齡分成以下五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這些人的平均年齡；（2）若從第三組，第四組，第五組三組中分層抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人年齡在不同組的概率；（3）若第四組的年齡的平均數(shù)與方差分別為54和1，第五組的年齡的平均數(shù)與方差分別為66和4，據(jù)此計(jì)算這100人中第四組與第五組所有人的年齡的方差.附：解：（1）這些人的平均年齡（歲）.（2）第三組，第四組，第五組的頻率分別為0.3，0.2，0.1，從這三組中分層抽取6人，則第三組抽3人，記為；第四組抽2人，記為；第五組抽1人，記為，樣本空間，共15個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件為“從6人中隨機(jī)抽取兩人，所抽取的2人年齡在不同組”，，共11個(gè)樣本點(diǎn)，所以抽取的2人年齡在不同組的概率.（3）設(shè)第四組、第五組年齡平均數(shù)分別為，方差分別為，則，第四組有20人，第五組有10人，設(shè)第三組和第四組所有人的年齡平均數(shù)為，方差為，則，.所以這100人中第四組與第五組所有人的年齡的方差為34.18.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并給出證明；（3）設(shè)函數(shù)，求證：函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由是奇函?shù)，得，即，整理得，而不恒為0，所以.（2）由（1）知，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，任意，，由，得，因此，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）由（1）知，函數(shù)，則函數(shù)，由（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，則存在唯一，使得，所以函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).19.定義一種新的運(yùn)算“”：、，都有.（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)、、，試判斷與的大小關(guān)系；（2）若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?、，，，，所以?（2）因?yàn)?，所以，原不等式可化為，即，為滿足題意，必有，解