2020北京人大附中初三12月月考數(shù)學試卷含答案

2020北京人大附中初三12月月考

數(shù)學

一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8均有四個選項，符合意的選項只有一個

1.《北京市生活垃圾管理條例》對生活垃圾分類提出更高要求，于2020年5月I日起施行，施行目的在于加強

生活垃圾管理，改善城鄉(xiāng)環(huán)境，保障人體健康.卜?列垃圾分類標志，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

△

,AC上，且DE//BC,若42=,，則必

2.如圖，已知O,E分別在直線A8的值是（）

AB2AC

A111

A.2B.-C.2D.-

39

3.已知蓄電池的電壓為定值,使用蓄電池時,電流1（單位：A）與電阻R（單位：O）是反比例函數(shù)關(guān)系,它的圖

象如圖所示.則用電阻R表示電流I的函數(shù)表達式為（）

4.一元二次方程f=21的根是（）

A.x=2B.x=0

C.$=2,x2-0D.-V.=X）=2

5.如圖，。。的半徑為I,PA、號是00的兩條切線，切點分別為A,B.連接。4,OB,AB，P0，若

與ZAPS=60°,則△）P48的周長為（）

A.65/3B.36C.6D.3

6.如果A（2,y）,5（3,左）兩點都在反比例函數(shù)尸：圖象上，那么》與力的大小關(guān)系是（）

A.ye%B.y,>y2C.M=%D.無法確定

7.如圖，以點。為圓心，A8為直徑半圓經(jīng)過點C,若C為弧48的中點，若48=4,則圖中陰影部分的面積

是（〉

A.itB.2+2乃C.2D.2+乃

8.小宇在利用描點法畫二次函數(shù)），=火2+6+?〃工0）的圖象時，先取自變量x的一些值，計算出相應的函數(shù)值y,

二、填空題（本題共24分，每小題3分）

r4x+y

9.己知，則二=彳，則----------.

>,3y

10.如圖，點P在反比例函數(shù)），=々1<0）圖象上，過點〃作的點M,網(wǎng)7_1），軸于點乂若矩形

X

的面積為2,則女的值為.

11.如圖，在aABC中，M,N分別是AC,8c的中點，則&

3四邊開中BNM

12.在平面直角坐標系X。），中，點A（。，b）（67>0,Z?>0）在雙曲線y=4■上.點A關(guān)于X釉的對稱點8在雙

曲線），=&■上，則K+鼠的值為.

X

13.如圖，點A,B,C,。在。上，C是弧的中點，若NOOC=50。，則NH4C的度數(shù)為=。.

14.如圖，在矩形A8co中，E是邊A8的中點，連接力E交對角線AC于點尸，若A8=4,AD=3,則CT7

的長為.

15.已知關(guān)于A-的二次函數(shù)），=〃a2-4x4-2與x軸有公共點則m的取值范圍是.

16.如圖，AABC是等邊三角形,A4=3,點E在AC上，AE=2C￡,點D在8c的延長線上，符線段DE繞點

E逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段鏟，連接4尸，若A/7/8。，則A廠的長為.

E

BD

三、解答題（本題共2分，第17-20題，每小題5分，第21-23題，每小題6分，第24-25題，每小題7分）解答應

寫出文字說明、算步驟或證明過程.

17.解方程：X2-4X=2X-9.

ATiAr\

18.如圖，已知AE平分N84c=

AEAC

（1）求證：ZE=ZC；

(2)若AB=9,AO=5,DC=3,求BE的長.

19.已知二次函數(shù)y=f-41+3.

（1）直接寫出這個函數(shù)的頂點坐標：

（2）在平面直角坐標系工。），中畫出該函數(shù)的圖象:

（3）當0WxK3時，y的取值范圍是.

20.已知關(guān)于x的方程2丁+（m+2）x+m=0.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若方程有一個根大于1,求〃，的取值范圍.

21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線/：y=〃a一3過點A（3,0）.

(2)直線/與y軸交于點從點C是雙曲線)，=囚與直線的一個公共點，

X

A7?

①若〃=4,點C在第一象限，求f的值；

AC

AU

②若1＜方＜3,結(jié)合圖象，直接寫出人的取值范圍.

AC

22.如圖，A8為。O的直徑，點。在。。上，A。與過點。的切線互相垂直，垂足為￡＞.連接8。并延長，交八。的延

長線于點E.

(1)求證：AE=AB；

(2)若A8=10,8c=6,求CO的長.

23.在平面直角坐標系xOy中，拋物線)，=inx2-2ntx-1與y軸的交點為A.

oI

（1）求拋物線的對稱軸和點A坐標：

（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.已知點8（2,0）,記拋物線與直線A8所圍成的封閉區(qū)域為圖形W（不

含邊界）.

①當〃7=1時，直接寫出圖形W內(nèi)的整點個數(shù)；

②若圖形W內(nèi)恰有1個整點，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍.

24.如圖，在aABC中，ZABC=45°,AO為BC邊上的高線，E為AD上一點，滿足。E=OC,連接航.

（1）求證：BE=AC；

（2）取線段8c的中點連接并延長“石到點后使得b=C4.

①依題意補全圖形；

②求證：/CFE=/BEM；

③連接■，若A/7/BC成立，直接寫出器值.

25.在平面直角坐標系X。），中，對于已知的點P和圖形W,若對圖形卬上任意兩點M和M都有PMW3PN成

立，則稱圖形卬為點。的“關(guān)聯(lián)圖形

⑴已知點八(0,1).

①如圖1,點。的坐標為(-2,0),則點八到線段8c上的點的最短距離為,線段8c(填“是”或“不

是“)點A的“關(guān)聯(lián)圖形”：

②點。為x軸上一個動點，若線段是點A的“關(guān)聯(lián)圖形”，求點。的橫坐標”的取值范圍；

(2)eT的圓心為(1,0),半徑為2,直線y=x-1與x軸，y軸分別交于G,，兩點，若在線段G〃上存在點P,

使得e7?是點P的“關(guān)聯(lián)圖形”，直接寫出/的取值范I機

參考答案

一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8均有四個選項，符合意的選項只有一個

1.《北京市生活垃圾管理條例》對生活垃圾分類提出更高要求，于2020年5月I日起施行，施行的目的在于加強

生活垃圾管理，改善城鄉(xiāng)環(huán)境，保障人體健康.卜?列垃圾分類標志，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【詳解】A、既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項不合題意：

B、既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

C、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，故本選項符合題意：

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)迎是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重

合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

An1A/7

2.如圖，已知E分別在直線AB，AC上，且DEHBC,若一=一，則—的值是（）

AB2AC

A.!B.—C.2D.一

239

【答案】A

APAni

【分析】證明△ABCs^ADE,得到一=——=-.

ACAB2

【詳解】???DE//BC,

.,.△ABC^AADE,

.AEAD

??==-，

ACAB2

故選：A.

【點睛】此題考查相似二?角形的判定及性質(zhì)，熟記判定定理及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Q）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖

象如圖所示.則用電阻R表示電流I的函數(shù)表達式為（）

【答案】D

k

【詳解】設解析式為：上泰，則有k=IR,由圖可知當R=2時，1=3,所以k=6,

所以解析式為：1=4，

故選D.

4.一元二次方程x2=2x的根是（）

A.x=2B.x=0

C.*=2,x?—0D.X]=x?=2

【答案】C

【分析】先移項，然后通過提取公因式x對等式的左邊進行因式分解即可求出結(jié)果.

【詳解】解：X2=2X

X2-2X=0

x（x-2）=0

解得玉=2,x2=0,

故選：C.

【點睛】本題考查了運用因式分解法解一元二次方程，考查了運算求解能力，熟練掌握因式分解法求解一元二次方

程是解決此題的關(guān)健.

5.如圖，的半徑為1,PA，朋是0。的兩條切線，切點分別為4,B.連接04,OB,A3，P0，若

/4/〉8=60。，則△PA5的周長為（）

A.66B.373C.6D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)切線長定理和圓的切線的性質(zhì)可得PA=PB.NAPO=NBPO,NPAO=9。。,進而可得△PA8是等邊三

角形，乙4尸。二30。，然后根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出PA,進而可得答案.

【詳解】解：???/%,廢是。O的兩條切線，

：.PA=PB,NAPO=/BPO,ZPAO=90°,

■:ZAPB=60°,

...△PAB是等邊三角形，NAPO=30。，

白△FAO中，VZ4PO=30°,OA=l,

：.OP=2OA=2,/乂=物-儼=5

.??△/XB的周長=36.

故選:B.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、等邊三角形的判定、30。允的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知

識，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵.

6.如果A（2,y）,8（3,%）兩點都在反比例函數(shù)的圖象上，那么X與力的大小關(guān)系是（）

A.y<乃B.X>>2C.M=%D.無法確定

【答案】B

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖像卜的點的坐標特征結(jié)合點A、B橫坐標.求出M、力的值，二者進行比技可得出結(jié)

論.

【詳解】???A（2,yJ,3（3,）\）兩點都在反比例函數(shù)），=，的圖象上，

X

：.2x^=1,3xy2=|

11

?"二5,乃w

?/1>1

23

?*-X>刈

故選：B

【點睛】本題考查了反比函數(shù)圖像上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征求出y、

力的值.解該題型時，結(jié)合點的橫坐標，利用反比函數(shù)圖像上點的坐標特征求出點的縱坐標是關(guān)鍵.

7.如圖，以點。為圓心，A8為直徑的半圓經(jīng)過點C,若C為弧A8的中點，若48=4,則圖中陰影部分的面積

是（）

A.RB.2+2萬C.2D.2+不

【答案】A

【分析】根據(jù)AB是的直徑，C為弧A8的中點，得到aAOC蘭△BOC,即可得解：

【詳解】〈AB是。。直徑，。為弧AB的中點，

CO_LAB，AO=BO=—AB=—x4=2,

22

/.ZAOC=ZBOC=90°,

:?&AOC*BOC,

???陰影部分的面積二—X7TX22=^;

360

故答案選A.

【點睛】本題主耍考查了扇形面積的計卵，結(jié)合垂徑定理和三角形全等計兜是解題的關(guān)鍵.

8.小宇在利用描點法畫二次函數(shù)），=。/+灰+《〃工0）的圖象時，先取自變量工的一些值，計算出相應的函數(shù)值戶

【答案】D

【分析】由表格可得頂點坐標為（2,“），求出拋物線的解析式為y=（x—2產(chǎn)—1=/-2工+3,將x=0及x=4分

別代入計算即可頂點答案.

【詳解】Vx=l和x=3時，y=0,

，拋物線的對稱軸為直線x=2,

???頂點坐標為（2,-1）,

故拋物線的解析式為y=a（x—2）2—1,

當x=l時y=0,代入得a=l,

??.拋物線的解析式為y=（x-2產(chǎn)一1=f-2x+3,

當x=0時代入解析式得y=3,

當x=4時代入解析式得y=3,

x=0

故錯誤的一組數(shù)據(jù)是《

y=4

故選：D.

【點睛】此題考查拋物線上的點的坐標，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.由表格求出拋物線的解析式是解題的關(guān)

鍵.

二、填空題（本題共24分，每小題3分）

x4x+y

9.已知，則一=彳，則一-=_____.

>,3y

7

【答案】y

【分析】直接用同一未知數(shù)表示出了、的值，進而得出答案.

【詳解】解：???￡=；,

y3

設.v=4a,y=3a,

x+y_4a+3a_7

y3a3,

故答案為：—

【點暗】此題主要考查了比例式的性質(zhì)，正確用同一未知數(shù)表示各數(shù)是解題關(guān)鍵.

k

10.如圖，點P在反比例函數(shù)）'=一（工<0）的圖象上，過點P作PMJ.X地點M,9，），軸于點乂若矩形

X

PMON的面積為2,則2的值為.

【分析】設PM=a,PN=b,根據(jù)點P在第二象限得P（-b,a）,根據(jù)矩形的面積公式及反比例函數(shù)解析式求k的

值.

【詳解】設PM=a,PN=b,則ab=2.

???點P在第二象限,

Z.P(-b.a)，

將P(-b,a)代入)，=幺(1<0)中，得

k=-ab=-2,

故答案為：-2.

【點睛】此題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，直角坐標系中點的坐標的確定方法.

S

【1.如圖，在aABC中，M,N分別是AC,8c的中點，則<.

?四邊形A8NM

【答案】

3

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

【詳解】???“，N分別是AC,3c的中點，

，MN〃AB,MN=-AB,

2

:??4ABC，

由題可知△MNC與AABC的相似比是1:2,

則aMNC與aABC的面積比是1:4,

.SKMN_1

S四邊形A8NM3

故答案為：7*

3

【點睛】本題主要考查了相似三角的判定與性質(zhì)，準確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

12.在平面直角坐標系X。)，中，點Am〃)(〃>(),〃>0)在雙曲線、=4上.點A關(guān)于X軸的對稱點“在雙

k

曲線y二=上，則的值為.

x

【答案】0.

【分析】由點A(a,b)(a>0,b>0)在雙曲線>=人上，可得ki=ab,由點A與點B關(guān)于x軸的對稱，可得到

x

點B的坐標，進而表示出k2,然后得出答案.

k

【詳解】解：???點A(a,b)(a>0,b>0)在雙曲線)，=」■上，

.*.ki=ab：

又?.?點A與點B關(guān)于x軸的對稱,

AB(a,-b)

,點B在雙曲線)，=4■上，

X

k2=-ab；

.*.ki+k2=ab+(-ab)=0：

故答案為0.

【點睛】考查反比例函數(shù)圖象上的點坐標的特征，關(guān)于x軸對稱的點的坐標的特征以及互為相反數(shù)的和為0的性

質(zhì).

13.如圖，點A,B,C,。在。上，C是弧BO的中點，若NODC=50。，則的度數(shù)為=。.

【分析】由點C是弧80的中點，可知BC=DC，根據(jù)在同圓或等風中，同弧所對圓心角是陰周角的兩倍，因為

ZODC=50°,因為/COD=180°-50°-50°=80。，所以/BAC=，NCO￡)=40。：

2

【詳解.】???點C是弧30的中點，

BC=DC，

,/ZODC=50°,

:.ZOCD=50°,

ZCOD=180o-50°-50o=80°,

.,.ZBAC=-ZCO￡>=40°,

2

故答案為：40°.

【點睛】本題考查了在同圓或等圓中，同弧所對圓心角是圓周角的兩倍，正確理解該知識點是解題的關(guān)鍵：

14.如圖，在矩形A8CO中，E是邊A3的中點，連接QE交對角線AC于點尸，若A3=4,40=3,則CE

的長為.

i,10

【答案】—

3

AFAE\

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC=JAD2+C02=5,根據(jù)AA//CO,得到，即可求出的

~CF~~CD~2CF

長.

【詳解】解：：四邊形488是矩形,

.?.A3=C￡>=4,ABHCD,ZADC=90°,

在RS4DC中，ZADC=9()%

：?AC=ylAD2+CD1=5>

,/E是A8中點，

:.AE=-AB=-CD,

22

?:ABHCD,

?竺AE_1

??=---=一，

CFCD2

2…10

：.CF:

33

故答案為：—?

3

【點睛】考查矩形的性質(zhì)，勾股定埋，相似二角形的性質(zhì)及判定，熟練掌猩相似二角形的判定方法和性偵是解題的

關(guān)鍵.

15.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=〃a2-4工+2與x軸有公共點則m的取值范圍是.

【答案】m42且切工0

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的定義得到機工0,再根據(jù)拋物線與x軸有公共點問題得到△=(-4)2-4"?X2N0,然后

解不等式即可得到〃？的值.

【詳解】?.?二次函數(shù))，=mY-4x+2與x軸有公共點，

???A=(-4)2-4WX2>0

解得加42,

又?.?y=nix2-4.X+2是二次函數(shù),

用工0,

???m的取值范圍是rn?2且JWK0.

故答案為：機工2且〃zwO.

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：對于二次函數(shù)），=a?+法+，⑸b,c是常數(shù)，a和），△二『—4℃

決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：當△=力-4次?>0時，拋物線與x軸有2個交點：當△=b2-4ac=0時.，效物線

與x軸有I個交點；當△=b2—4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

16.如圖，△ABC是等邊三角形,AB=3,點E在AC上，AE=2CE,點D在8。的延長線上，將線段DE繞點

E逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段所，連接4月，若AFHBD,則A方的長為.

【答案】B+i

2

【分析】如圖過點E作EMJ_AF于M,交BD于N,解直角三角形求出AM,EN,利用全等三角形的性債證明

MF=EN.即可解決問題；

【詳解】過點于M,交BD于N,

/.AB=AC=BC=3,ZACB=60°,

■:AE=2CE,

工AE=2,EC=h

?:AF//BE,

???N"獷=/ACB=60°，

?：EMLAF,

??.ZWE=90。，

???ZA￡M=30。，

AM=-AE=\,

2

VAF//BD,EMA,AF,

:.ENLBC,

/o

EN-必?sin60°--

2

???乙麗=4END=々FED=90°,

???N監(jiān)F+AMEF=90°，AMEF+ADEN=90°，

VED=EF,

△?妒=ADEN(AAS),

???MF=EN=—，

2

?**AF=AM+MF=1+—：

2

故答案是：正+i.

2

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，三角形全等，準確分析計算是解

題的關(guān)鍵.

三、解答題(本題共2分，第17-20題，每小題5分，第21-23題，每小題6分，第24-25題，每小題7分〕解答應

寫出文字說明、和步驟或證明過程.

17.解方程：X2-4X=2X-9.

【答案】X,=X2=3.

【分析】整理后，運用配方法即可求解.

【詳解】解：/一6工+9=0，

(X-3)2=0,

%!=x2=3.

【點睛】本題考查解一元二次方程——配方法.能利用完全平方公式正確變形是解題關(guān)鍵.

」行十八ABAD

18.如圖，已知AE平分NBAC,—=——.

AEAC

(1)求證：ZE=ZC：

(2)若48=9,Al)=5,/)C=3,求AE的長.

B'D

【答案】（1）證明見解析；（2）y

【分析】（1）先證△BAE'sz^DAC，可得NE=/C；

ARRF

（2）根據(jù)相似三角形性質(zhì)，由△BAEs^DAC得一=一,代入已知值可求

ADDC

【詳解】解：（1）證明：???4￡；平分NMC,

:.4BAE=4DAC,

ABAD

??一=——，

AEAC

ABAE

——=——,

ADAC

Z\BAE^/\DAC，

/.ZE=ZC.

（2）,：ABAEs^DAC,

ABBE

:.——=——，

ADDC

VAB=9,AD=5,DC=3,

.叩AB“9.27

..BE=-----DC=—x3=—.

AD55

【點睛】本題考核知識點：相似三角形.解題關(guān)健點：熟記相似三角形的判定和性質(zhì).

19.已知二次函數(shù)y=f-41+3.

（I）直接寫出這個函數(shù)的頂點坐標:

（2）在平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象：

（3）當0WxW3時，y的取值范圍是.

【答案】（1）（2,-1）；（2）如圖見解析；（3）

【分析】（1）根據(jù)配方法把二次函數(shù)方程轉(zhuǎn)化成頂點式即可：

（2）根據(jù)解析式確定對稱軸、與x軸、y軸交點坐標，然后進行畫圖即可：

（3）觀察（2）圖像可知：x=0時，y=3,0<x<3,y的最小值為-1,可得出0?尤43時y的取值范圍.

22

【詳解】（1）y=x-4x+3=（x-2）-l,

故頂點坐標為：（2,—1）：

（2）由（1）可知函數(shù)對稱軸為直線x=2,當x=0時，y=3,），=0時，x=3,故可以做出圖像：

如圖：

（3）由（2）中圖像可知，04xW3時，y的取值范圍為：-lWyW3.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的形式轉(zhuǎn)化以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟記配方法和利用頂點式解析式求對稱軸及頂點坐

標是解答本題的關(guān)健.

20.已知關(guān)于x的方程2x2+（〃?+2）x+切=0.

（I）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若方程有一個根大于1,求，〃的取值范圍.

【答案】（1）見解析：（2）m<-2.

【分析】（1）利用完全平方式證明△20即可求解；

⑵先對原方程求解求出兩個根分別為為二-1和々=一藍，再由一個根大于1得到苫>】，由此即可求出切的取

值范圍.

【詳解】解：（1）證明：△=（〃?+2）~-4x2〃？=nr-4，〃+4=（〃z-2）2

?.?完全平方式題是大于等于0的，

（W-2）2>0,

??.方程總有兩個實數(shù)根.

⑵原方程可化為（x+l）（2x+〃］）=0,

解得X=-l,X2=-y,

???方程有一個根大于I,且一1V1，

/.-->1,解得

2

故答案為：m<-2.

【點睛】本題考查了一元二次方程的判別式及解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵.

21.如圖，在平面直角坐標系xQy中，已知直線/:y="tr-3過點A（3,0）.

（2）直線/與y軸交于點以點。是雙曲線），=巳與直線的一個公共點，

x

①若〃=4,點C在第一象限，求空的值：

AC

②若結(jié)合圖象，直接寫出人的取值范圍.

AC

Afio

【答案】（1）y=x-3；（2）?—二3,②一一4〃<一2或4v〃vl8.

AC4

【分析】（1）杷點A代入解析式即可.求解：

（2）①根據(jù)已知條件得出反比例函數(shù)的解析式，聯(lián)立方程組得出點C的坐標，得出AC,即可得出結(jié)論;

②根據(jù)點C在不同的象限分析判斷即可：

【詳解】（1）;直線/過點4（3,0）,

???3m-3=0,解得m=l.

/.直線/的解析式為y=x-3.

4卜="一3

（2）①解：當〃=4時,雙曲線為），=一.聯(lián)立《4.

xy=—

x

x=4

在第一象限內(nèi)解得〈..即點。的坐標為（4,1）.

y=1

于是AC=J(4_3)2+0_O1二&，

向直線/與y軸的交點為6(0,-3)，在RAAOB中,可得A8=J?萬=3夜，

，旦3.

AC

②因為直線y=x-3經(jīng)過三、四、一象限，所以交點C不可以在第二象限，

當C在第一象限時，

若絲=1,則有A8=AC=30，

AC

如圖，過點C作CM_Lx軸，垂足為M,

VA(3,0),B(0,-3),

.\OA=OB=3,ZAOB=45°,

.,.ZCAM=45°,

AM=CM,

VAM2+CM2=AC\

AM=CM=3,

???OC=3+3=6,

C(6,3),

??.〃=6?318,

AB

由①可知，〃=4時，――=3,

AC

AR

???當點C在第一象限時，若1<——<3，〃的取值范圍為4<〃<18：

AC

AR

當C在第三象限時，此時AB<AC,即——<1,所以沒有符合條件的點C；

AC

當點C在第四象限時,

若雙曲線與直線剛好有1個交點C,則有*-3=-,

x

x2-3x-/?=0?

：?b2-4ac=0，

9+4〃=0.

4

33

此時，x=-,y=--?

AB_3垃

工就'符合條件:

當曲線與直線有2個交點時，

若空=3,則4。=正，

AC

3-1=2,

AC(2,-I),

此時〃=2x(-1)=-2

ARQ

當點C在第四象限時，若1<——<3,〃的取值范圍為一

AC4

9

綜上所述：一一《〃<-2或4<〃<18.

4

【點睛】本題主要考行r反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及了待定系數(shù)法，勾股定理等知識，正確分析，分

類討論，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的美鍵.

22.如圖，為。O的直徑，點。在。。上，與過點。的切線互相垂直，垂足為D連接8C并延長，交A。的延

長線于點E.

(1)求證：AE=AB；

(2)若A8=I0,3c=6,求C。的長.

【答案】(1)見解析：(2)CD=^-

【分析】(I)連接OC,由同旁內(nèi)角互補得出AD〃OC,可得/OCB=NE,即可推出NABE=NE,AE=AB.

(2)連接AC,由勾股定理求出AC,由△EDCs/iECA得出相似比，求出CD即可.

【詳解】

(1)證明：連接

YC。與。O相切于C點

.\OCLCD

又?.?CO_LAE

：,OCHAE

:.ZOCB=ZE

'：OC=OB

.,.ZABE=ZOCB

AZABE=ZE

：.AE=AB

（2）連接AC

???A4為OO的直徑

ZACB=90°

???^C=ViO2-62=8

'：AB=AE,AC1BE

：.EC=BC=6

'：NDEC=NCEA,ZEDC=ZECA

:.△EDCsgCA

.DCEC

"AC-EA

FC624

；.CD=——4c=—x8=—.

EA105

【點睛】本題考查圓與三角形的綜合性質(zhì)及相似的證明和性質(zhì),關(guān)鍵在于合理作出輔助線將已知條件轉(zhuǎn)換求解.

23.在平面直角坐標系xOy中，拋物線），=nix2-2〃吠一1與y軸的交點為A.

（1）求拋物線的對■稱軸和點A坐標；

（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.已知點8（2,0）,記拋物線與直線A8所圍成的封閉區(qū)域為圖形W（不

含邊界）.

①當〃7=1時，直接寫出圖形W內(nèi)的整點個數(shù)；

②若圖形W內(nèi)恰有1個整點，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍.

【答案】（1）拋物線的對稱軸為：直線x=l；拋物線與y軸交點A的坐標為（0,I）；（2）①1個；②

一24加＜一1或［4，〃41.

3

【分析】（1）直接利用對稱軸公式計算，即可得出拋物線的對稱軸，再令x=0,即可求出點A的坐標;

（2）①先確定出拋物線解析式，即可得出結(jié)論：

②根據(jù)拋物線必過點（0,-1）和（2,-1）,分情況討論①當拋物線開口向上時，相>0；②當拋物線開口向下時,

力<0；即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：拋物線對稱軸為：直線工=-2=1.

2a

拋物線與y軸交點A的坐標為（0,-1）

（2）①當m=l時,拋物線的解析式為y=x2-2x-l,

由（1）知，C（0,?1）,拋物線的對稱軸為直線x=l,

???拋物線還經(jīng)過（2,-1）,

???拋物線的頂點坐標為（1,?2）,

???圖形W內(nèi)的整點只有（1,-1）一個；

②解：拋物線必過點（0,-1）和（2,—1）,有以卜.幾種情況：

如圖1,當拋物線開口向上時，〃z>0,臨界位置為：

當拋物線過點（1,一2）時，機=1,區(qū)域W內(nèi)有一個整點：

當拋物線過點（3,0）時，機=g區(qū)域W內(nèi)有一個整點：

??.結(jié)合圖象，可得;

如圖2,當拋物線開口向下時，〃z<0,臨界位置為：

當拋物線過點（1,0）時，山=-1,區(qū)域W內(nèi)無整點：

當拋物線過點（2,0）時，m二一2,區(qū)域W內(nèi)有一個整點；

???結(jié)合圖象,可得一

綜上所述，一26〃2<—1或1三〃?41.

3

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了拋物線對稱軸的確定，函數(shù)圖象的畫法，頂點坐標公式，利用數(shù)形結(jié)合的

思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在aABC中，ZABC=45°,AQ為8C邊上的高線，E為AD上一點，滿足QE=OC,連接BE.

A

(1)求證：BE=ACi

(2)取線段3c中點M,連接并延長ME到點立使得。尸=。4.

①依題意補全圖形；

②求證：NCFE=NBEM；

③連接A/，若A/7/BC成立，直接寫出黑的值.

【答案】(1)證明見解析：(2)①如圖所示，見解析：②證明見解析：③器的值為3.

【分析】(I)可根據(jù)條件證明然后得到結(jié)果；

⑵①按照題目要求作圖即可：

②如圖2延長QW到點G,使得MGnA",連接8G,證明出ZxBMG空△CM/7,得到BG=C/，

BE=BG,可得出最終結(jié)果：

③過點C作CNJ.A/于點N,由條件得到四邊形ADCN為矩形，設CD=mBD=AD2，則AF=2a,DE=“,

AE=b-a,由條件知運用邊的比可得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：

■:AD是△ABC的高，???ZADB=ZADC=9()。，

/.ZABC=45°,/.ZB/V)=90°-ZXBC=45°,：,ZBAD=ZABC,

:.DA=DB,

，：DE=DC,：.AADC%BDE,

:.BE=AC.

(2)①如圖1所示

②證明：如圖2延長五M到點G,使得MG=MF,連接3G，

:M為BC中點，：.BM=CM,

，：FM=GM,4BMG=4CMF,

:.乙BMGg八CMF,

:?BG=CF,/CFE=/G,

?.?由已知b=C4,由（1）CA=BE,

?*.BE=BG，

???/BEG=/G,

???/CFE=NBEM.

③如圖3,過點C作CN_L4/于點N,

?:AC=CF,:M=NF、

?;AF/!BC,CN1AF,

ZDCN=ZANC=90°,

???四邊形ADCN為矩形，

DC=AN=NF=-AF,

2

設CD=a,BD=AD=〃，則AF=2a,DE=sAE=b-a(a>0,b>0),

=MD=MC-DC=^~

22

-AF//MD,

:.^AEF~GEM，

b-a

AFAE,,,,

-----=------9則b-a

MDDE

4/=(b-a)2,

b2=2ab+3a2，

(b-3a)(b+a)=0,

?*.b=3a或b=舍),

些，=3.

【點睛】本題考查三角形的綜合問題，涉及全等三角形的證明和性質(zhì)以及相似三角形的運用，需要有較強的邏輯推

理能力以及空間想象能力，熟練掌握全等三角形以及相似三角形的性質(zhì)是解即的關(guān)鍵.

25.在平面直角坐標系X。），中，對于已知的點尸和圖形W,若對圖形W上任意兩點M和M都有PMW3PN成

立，則稱圖形卬為點P的“關(guān)聯(lián)圖形

6-8-4-3-2-I06X

⑴已知點八(0,1).R(LO).

①如