2024-2025學年新教材高中數學第十章概率10.1.1有限樣本空間與隨機事件10.1.2事件的關系和運算學案新人教A版必修第二冊

PAGE1-10．1.1有限樣本空間與隨機事務10．1.2事務的關系和運算考點學習目標核心素養(yǎng)隨機試驗理解隨機試驗的概念及特點數學抽象樣本空間理解樣本點和樣本空間，會求所給試驗的樣本點和樣本空間數學抽象隨機事務理解隨機事務、必定事務、不行能事務的概念，并會推斷某一事務的性質數學抽象事務的關系和運算理解事務5種關系并會推斷數學抽象、邏輯推理問題導學預習教材P226－P232的內容，思索以下問題：1．隨機試驗的概念是什么？它有哪些特點？2．樣本點和樣本空間的概念是什么？3．事務的分類有哪些？4．事務的關系有哪些？1．隨機試驗(1)定義：把對隨機現象的實現和對它的視察稱為隨機試驗．(2)特點：①試驗可以在相同條件下重復進行；②試驗的全部可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果．2．樣本點和樣本空間(1)定義：我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間．(2)表示：一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點．假如一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．3．事務的分類(1)隨機事務：①我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事務，簡稱事務，并把只包含一個樣本點的事務稱為基本領件．②隨機事務一般用大寫字母A，B，C，…表示．③在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事務A發(fā)生．(2)必定事務：Ω作為自身的子集，包含了全部的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必定事務．(3)不行能事務：空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為不行能事務．■名師點撥必定事務和不行能事務不具有隨機性，它是隨機事務的兩個極端狀況．4．事務的關系或運算的含義及符號表示事務的關系或運算含義符號表示包含A發(fā)生導致B發(fā)生A?B并事務(和事務)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事務(積事務)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω■名師點撥(1)假如事務B包含事務A，事務A也包含事務B，即B?A且A?B，則稱事務A與事務B相等，記作A＝B.(2)類似地，可以定義多個事務的和事務以及積事務．例如，對于三個事務A，B，C，A∪B∪C(或A＋B＋C)發(fā)生當且僅當A，B，C中至少一個發(fā)生，A∩B∩C(或ABC)發(fā)生當且僅當A，B，C同時發(fā)生．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)必定事務肯定發(fā)生．()(2)不行能事務肯定不發(fā)生．()(3)互斥事務肯定對立．()(4)對立事務肯定互斥．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√下列事務：①長度為3，4，5的三條線段可以構成一個直角三角形；②經過有信號燈的路口，遇上紅燈；③下周六是晴天．其中是隨機事務的是()A．①② B．②③C．①③ D．②解析：選B.①為必定事務；②③為隨機事務．“李曉同學一次擲出3枚骰子，3枚全是6點”的事務是()A．不行能事務 B．必定事務C．可能性較大的隨機事務 D．可能性較小的隨機事務解析：選D.擲出的3枚骰子全是6點，可能發(fā)生，但發(fā)生的可能性較小．一批產品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產品中隨意抽取5件，現給出以下四個事務：事務A：“恰有一件次品”；事務B：“至少有兩件次品”；事務C：“至少有一件次品”；事務D：“至多有一件次品”．并給出以下結論：①A∪B＝C；②D∪B是必定事務；③A∪B＝B；④A∪D＝C.其中正確的序號是()A．①② B．③④C．①③ D．②③解析：選A.A∪B表示的事務為至少有一件次品，即事務C，所以①正確，③不正確；D∪B表示的事務為至少有兩件次品或至多有一件次品，包括了全部狀況，所以②正確；A∪D表示的事務為至多有一件次品，即事務D，所以④不正確．事務類型的推斷指出下列事務是必定事務、不行能事務還是隨機事務．(1)中國體操運動員將在下屆奧運會上獲得全能冠軍．(2)出租車司機小李駕車通過幾個十字路口都將遇到綠燈．(3)若x∈R，則x2＋1≥1.(4)拋一枚骰子兩次，朝上面的數字之和小于2.【解】由題意知(1)(2)中事務可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機事務；(3)中事務肯定會發(fā)生，是必定事務；由于骰子朝上面的數字最小是1，兩次朝上面的數字之和最小是2，不行能小于2，所以(4)中事務不行能發(fā)生，是不行能事務．eq\a\vs4\al()推斷事務類型的思路要判定事務是何種事務，首先要看清條件，因為三種事務都是相對于肯定條件而言的，其次步再看它是肯定發(fā)生，還是不肯定發(fā)生，還是肯定不發(fā)生，肯定發(fā)生的是必定事務，不肯定發(fā)生的是隨機事務，肯定不發(fā)生的是不行能事務．1．下面的事務：①在標準大氣壓下，水加熱到80℃時會沸騰；②a，b∈R，則ab＝ba；③一枚硬幣連擲兩次，兩次都出現正面對上．其中是不行能事務的為()A．② B．①C．①② D．③解析：選B.②是必定事務，③是隨機事務．2．給出下列四個命題：①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必定事務；②當“x為某一實數時可使x2＜0”是不行能事務；③“2025年的國慶節(jié)是晴天”是必定事務；④“從100個燈泡(有10個是次品)中取出5個，5個都是次品”是隨機事務．其中正確命題的個數是()A．4 B．3C．2 D．1解析：選B.“2025年的國慶節(jié)是晴天”是隨機事務，故命題③錯誤，命題①②④正確．故選B.樣本點與樣本空間同時轉動如圖所示的兩個轉盤，記轉盤①得到的數為x，轉盤②得到的數為y，結果為(x，y)．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗的樣本點的總數；(3)“x＋y＝5”這一事務包含哪幾個樣本點？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”這一事務包含哪幾個樣本點？“x＝y(tǒng)”呢？【解】(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)樣本點的總數為16.(3)“x＋y＝5”包含以下4個樣本點：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)；“x<3且y>1”包含以下6個樣本點：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．(4)“xy＝4”包含以下3個樣本點：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x＝y(tǒng)”包含以下4個樣本點：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．確定樣本空間的方法(1)必需明確事務發(fā)生的條件；(2)依據題意，按肯定的次序列出問題的答案．特殊要留意結果出現的機會是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復也不遺漏．eq\a\vs4\al()甲、乙兩人做出拳嬉戲(錘、剪、布)．(1)寫出樣本空間；(2)用集合表示事務“甲贏”；(3)用集合表示事務“平局”．解：(1)Ω＝{(錘，剪)，(錘，布)，(錘，錘)，(剪，錘)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，錘)，(布，剪)，(布，布)}．(2)記“甲贏”為事務A，則A＝{(錘，剪)，(剪，布)，(布，錘)}．(3)記“平局”為事務B，則B＝{(錘，錘)，(剪，剪)，(布，布)}．事務的運算盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球，設事務A＝{3個球中有1個紅球2個白球}，事務B＝{3個球中有2個紅球1個白球}，事務C＝{3個球中至少有1個紅球}，事務D＝{3個球中既有紅球又有白球}．求：(1)事務D與A、B是什么樣的運算關系？(2)事務C與A的交事務是什么事務？【解】(1)對于事務D，可能的結果為1個紅球，2個白球或2個紅球，1個白球，故D＝A∪B.(2)對于事務C，可能的結果為1個紅球，2個白球或2個紅球，1個白球或3個均為紅球，故C∩A＝A.[變條件、變問法]在本例中，設事務E＝{3個紅球}，事務F＝{3個球中至少有一個白球}，那么事務C與A、B、E是什么運算關系？C與F的交事務是什么？解：由事務C包括的可能結果有1個紅球2個白球，2個紅球1個白球，3個紅球三種狀況，故A?C，B?C，E?C，所以C＝A∪B∪C，而事務F包括的可能結果有1個白球2個紅球，2個白球1個紅球，3個白球，所以C∩F＝{1個紅球2個白球，2個紅球1個白球}＝D.eq\a\vs4\al()(1)利用事務間運算的定義．列出同一條件下的試驗全部可能出現的結果，分析并利用這些結果進行事務間的運算．(2)利用Venn圖．借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗全部可能出現的結果，把這些結果在圖中列出，進行運算．擲一枚骰子，下列事務：A＝{出現奇數點}，B＝{出現偶數點}，C＝{點數小于3}，D＝{點數不大于2}，E＝{點數是3的倍數}．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)D，AC.解：(1)A∩B＝?，BC＝{出現2點}．(2)A∪B＝{出現1，2，3，4，5或6點}，B＋C＝{出現1，2，4或6點}．(3)D＝{點數小于或等于2}＝{出現1或2點}；AC＝{出現1點}．互斥事務與對立事務的判定某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參與演講競賽，推斷下列每對事務是不是互斥事務，假如是，再判別它們是不是對立事務．(1)恰有1名男生與恰有2名男生；(2)至少有1名男生與全是男生；(3)至少有1名男生與全是女生；(4)至少有1名男生與至少有1名女生．【解】判別兩個事務是否互斥，就要考察它們是否能同時發(fā)生；判別兩個互斥事務是否對立，就要考察它們是否必有一個發(fā)生．(1)因為“恰有1名男生”與“恰有2名男生”不行能同時發(fā)生，所以它們是互斥事務；當恰有2名女生時它們都不發(fā)生，所以它們不是對立事務．(2)因為恰有2名男生時“至少有1名男生”與“全是男生”同時發(fā)生，所以它們不是互斥事務．(3)因為“至少有1名男生”與“全是女生”不行能同時發(fā)生，所以它們互斥；由于它們必有一個發(fā)生，所以它們是對立事務．(4)由于選出的是1名男生1名女生時“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時發(fā)生，所以它們不是互斥事務．(1)包含關系、相等關系的判定①事務的包含關系與集合的包含關系相像；②兩事務相等的實質為相同事務，即同時發(fā)生或同時不發(fā)生．(2)推斷事務是否互斥的兩個步驟第一步，確定每個事務包含的結果；其次步，確定是否有一個結果發(fā)生會意味著兩個事務都發(fā)生，若是，則兩個事務不互斥，否則就是互斥的．(3)推斷事務是否對立的兩個步驟第一步，推斷是互斥事務；其次步，確定兩個事務必定有一個發(fā)生，否則只有互斥，但不對立．eq\a\vs4\al()推斷下列給出的每對事務，是否為互斥事務，是否為對立事務，并說明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數從1～10各10張)中，任取1張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”．解：(1)是互斥事務，不是對立事務．理由是從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不行能同時發(fā)生的，所以是互斥事務．同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事務．(2)既是互斥事務，又是對立事務．理由是從40張撲克牌中，隨意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事務不行能同時發(fā)生，且其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事務，又是對立事務．(3)不是互斥事務，也不是對立事務．理由是從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事務可能同時發(fā)生，如抽得點數為10，因此，二者不是互斥事務，當然也不行能是對立事務．1．下列事務：①假如a>b，那么a－b>0；②任取一實數a(a>0且a≠1)，函數y＝logax是增函數；③某人射擊一次，命中靶心；④從盛有一紅、二白共三個球的袋子中，摸出一球視察結果是黃球．其中是隨機事務的為()A．①② B．③④C．①④ D．②③解析：選D.①是必定事務；②中a>1時，y＝logax單調遞增，0<a<1時，y＝logax單調遞減，故是隨機事務；③是隨機事務；④是不行能事務．2．(2024·四川省攀枝花市教學質量監(jiān)測)從含有10件正品、2件次品的12件產品中，隨意抽取3件，則必定事務是()A．3件都是正品 B．3件都是次品C．至少有1件次品 D．至少有1件正品解析：選D.從10件正品，2件次品，從中隨意抽取3件，A：3件都是正品是隨機事務，B：3件都是次品不行能事務，C：至少有1件次品是隨機事務，D：因為只有2件次品，所以從中隨意抽取3件必定會抽到正品，即至少有1件是正品是必定事務．故選D.3．(2024·廣西欽州市期末考試)抽查10件產品，設“至少抽到2件次品”為事務A，則A的對立事務是()A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品 D．至多抽到1件次品解析：選D.因為“至少抽到2件次品”就是說抽查10件產品中次品的數目至少有2個，所以A的對立事務是抽查10件產品中次品的數目最多有1個．故選D.4．寫出下列試驗的樣本空間：(1)甲、乙兩隊進行一場足球賽，視察甲隊競賽結果(包括平局)________；(2)從含有6件次品的50件產品中任取4件，視察其中次品數________．解析：(1)對于甲隊來說，有勝、平、負三種結果；(2)從含有6件次品的50件產品中任取4件，其次品的個數可能為0，1，2，3，4，不行能再有其他結果．答案：(1)Ω＝{勝，平，負}(2)Ω＝{0，1，2，3，4}[A基礎達標]1．下列事務中是隨機事務的是()A．在數軸上向區(qū)間(0，1)內投點，點落在區(qū)間(0，1)內B．在數軸上向區(qū)間(0，1)內投點，點落在區(qū)間(0，2)內C．在數軸上向區(qū)間(0，2)內投點，點落在區(qū)間(0，1)內D．在數軸上向區(qū)間(0，2)內投點，點落在區(qū)間(－1，0)內解析：選C.當x∈(0，1)時，必有x∈(0，1)，x∈(0，2)，所以A和B都是必定事務；當x∈(0，2)時，有x∈(0，1)或x?(0，1)，所以C是隨機事務；當∈(0，2)時，必有x?(－1，0)，所以D是不行能事務．故選C.2．同時投擲兩枚大小相同的骰子，用(x，y)表示結果，記A為“所得點數之和小于5”，則事務A包含的基本領件的個數是()A．3 B．4C．5 D．6解析：選D.有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6個基本領件．3．在25件同類產品中，有2件次品，從中任取3件產品，其中不行能事務為()A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品解析：選C.25件產品中只有2件次品，所以不行能取出3件都是次品．4．在1，2，3，…，10這10個數字中，任取3個數字，那么“這三個數字的和大于6”這一事務是()A．必定事務 B．不行能事務C．隨機事務 D．以上選項均不正確解析：選C.若取1，2，3，則和為6，否則和大于6，所以“這三個數字的和大于6”是隨機事務．5．一個家庭中先后有兩個小孩，則他(她)們的性別狀況可能為()A．男女、男男、女女B．男女、女男C．男男、男女、女男、女女D．男男、女女解析：選C.用列舉法可知，性別狀況有男男、男女、女男、女女，共4種可能．6．下列給出五個事務：①某地2月3日下雪；②函數y＝ax(a>0，且a≠1)在定義域上是增函數；③實數的肯定值不小于0；④在標準大氣壓下，水在1℃結冰；⑤若a，b∈R，則ab＝ba.其中必定事務是________；不行能事務是________；隨機事務是________．解析：由必定事務、不行能事務、隨機事務的定義即可得到答案．答案：③⑤④①②7．做擲紅、藍兩枚骰子的試驗，用(x，y)表示結果，其中x表示紅色骰子出現的點數，y表示藍色骰子出現的點數，則這個試驗不同的結果數有________種．解析：將這個試驗的全部結果一一列舉出來為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36種．答案：368．從1，2，3，4，5中隨機取三個不同的數，則其和為奇數這一事務包含的樣本點個數為________．解析：從1，2，3，4，5中隨機取三個不同的數有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共10種狀況，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三個數字之和為奇數．答案：49．做試驗“從0，1，2這3個數字中，不放回地取兩次，每次取一個數字，構成有序數對(x，y)，x為第1次取到的數字，y為第2次取到的數字”．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗樣本點的總數；(3)用集合表示“第1次取出的數字是2”這一事務．解：(1)這個試驗的樣本空間Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}．(2)易知這個試驗的基本領件的總數是6.(3)記“第1次取出的數字是2”這一事務為A，則A＝{(2，0)，(2，1)}．10．某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事務A為“只訂甲報”，事務B為“至少訂一種報”，事務C為“至多訂一種報”，事務D為“不訂甲報”，事務E為“一種報也不訂”．推斷下列事務是否是互斥事務；假如是，推斷它們是否是對立事務：(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.解：(1)由于事務C“至多訂一種報紙”中包括“只訂甲報”，即事務A與事務C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事務．(2)事務B“至少訂一種報紙”與事務E“一種報紙也不訂”是不行能同時發(fā)生的，故事務B與E是互斥事務；由于事務B發(fā)生會導致事務E肯定不發(fā)生，且事務E發(fā)生會導致事務B肯定不發(fā)生，故B與E也是對立事務．(3)事務B“至少訂一種報紙”中包括“只訂乙報”，即有可能“不訂甲報”，也就是說事務B和事務D有可能同時發(fā)生，故B與D不是互斥事務．(4)事務B“至少訂一種報紙”中包括“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”．事務C“至多訂一種報紙”中包括“一種報紙也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”．由于這兩個事務可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事務．(5)由上述分析，事務E“一種報紙也不訂”僅僅是事務C中的一種可能狀況，事務C與事務E可能同時發(fā)生，故C與E不是互斥事務．[B實力提升]11．打靶3次，事務Ai表示“擊中i發(fā)”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示()A．全部擊中 B．至少擊中1發(fā)C．至少擊中2發(fā) D．以上均不正確解析：選B.A1∪A2∪A3所表示的含義是A1，A2，A3這三個事務中至少有一個發(fā)生，即可能擊中1發(fā)、2發(fā)或3發(fā)，故選B.12．已知100件產品中有5件次品，從這100件產品中隨意取出3件，設E表示事務“3件產品全不是次品”，F表示事務“3件產品全是次品”，G表示事務“3件產品中至少有1件次品”，則下列結論正確的是()A．F與G互斥B．E與G互斥但不對立C．E，F，G隨意兩個事務均互斥D．E與G對立解析：選D.由題意得事務E與事務F不行能同時發(fā)生，是互斥事