2024-2025版高中數(shù)學(xué)習(xí)題課-空間向量在空間問(wèn)題中的綜合應(yīng)用練習(xí)含解析新人教A版選修2-1

PAGEPAGE1習(xí)題課——空間向量在空間問(wèn)題中的綜合應(yīng)用課后篇鞏固提升1.在空間直角坐標(biāo)系中,已知A(-1,0,3),B(2,-1,5),則|AB|=()A.6 B.14 C.14 D.74解析在空間直角坐標(biāo)系中,∵A(-1,0,3),B(2,-1,5),∴|AB|=(2+1)2答案B2.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,P,Q分別為棱AB,CD,BC的中點(diǎn),若平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等,給出下列說(shuō)法:①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1,則以上正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4解析因?yàn)锳1M=A1A+AM=A1A+12AB,D1P=D1D+DP答案C3.已知空間向量a=(3,1,0),b=(x,-3,1),且a⊥b,則x=()A.-3 B.-1 C.1 D.2解析由題意知,空間向量a=(3,1,0),b=(x,-3,1),且a⊥b,所以a·b=0,所以3x+1×(-3)+0×1=0,即3x-3=0,解得x=1.故選C.答案C4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列命題:①(AA1+AD+AB)2=3AB2;②A1C·(A1B1-A1A解析(AA1+AD+AB)2=(AA1)2+(AD)2+(AB)2+2(AA1·AD+AD·AB+AA1·AB)=3(AB)2,故①正確;設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則A1C·(A1B1-A1A)=(A1B1+A答案①②5.如圖所示,空間四邊形OABC中,點(diǎn)M為OB的中點(diǎn),N為AC的中點(diǎn).設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,若以向量a、b、c為一組基底,則MN=.

解析因?yàn)镸N=ON-OM=12(OA+OC)-12OB=12(a答案12(a-b+c6.如圖,矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直,且∠BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分別為BE,AE,BC的中點(diǎn).(1)求證:直線DE與平面FGH平行;(2)若點(diǎn)P在直線GF上,且二面角D-BP-A的大小為π4,試確定點(diǎn)P的位置(1)證明取AD的中點(diǎn)M,連接MH,MG.∵G,H分別是AE,BC的中點(diǎn),∴MH∥AB,GF∥AB,∴M∈平面FGH.又MG∥DE,且DE?平面FGH,MG?平面FGH,∴DE∥平面FGH.(2)解在平面ABE內(nèi),過(guò)A作AB的垂線,記為AP(圖略),則AP⊥平面ABCD.以A為原點(diǎn),AP,AB,AD所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.所以A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(23,-2,0),G(3,-1,0),F(3,1,0).則GF=(0,2,0),BD=(0,-4,2),BG=(3,-5,0).設(shè)GP=λGF=(0,2λ,0),則BP=BG+GP=(3,2設(shè)平面PBD的法向量為n1=(x,y,z),則n取y=3,得z=23,x=5-2λ,故n1=(5-2λ,3,23).又平面ABP的法向量為n2=(0,0,1),因此cos<n1,n2>=n1·n2|n1||故GP=GF或GP=4GF(P(3,1,0)或P7.如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,PA⊥平面ABCD.(1)若PA=AB,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),求直線AE與平面PCD所成角的正弦值;(2)若BE⊥PC且交點(diǎn)為E,BE=63a,G為CD的中點(diǎn),線段AB上是否存在點(diǎn)F,使得EF∥平面PAG?若存在,求AF的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)以A為原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a),Ea2,a2,a2,AE=a2設(shè)平面PCD的法向量m=(x,y,z),則ax取m=(0,1,1),則cos<AE,m>=a2設(shè)直線AE與平面PCD所成角為θ,則sinθ=|cos<AE,m>|,所以直線AE與平面PCD所成角的正弦值為63(2)Ga2,a,0,設(shè)P則CP=(-a,-a,c).設(shè)CE=λCP,則E((1-λ)a,(1-λ)a,λc),∴BE=(-λa,(1-λ)a,λc).∵BE=63a∴(-λa)2+[(1-λ)a]2+(λc)2=23.①∵BE⊥PC,∴λa2-(1-λ)a2+λc2=0.∴c2=1-2λλ=a由①②解得λ=13,c=a∴E23a,23a若存在滿意條件的點(diǎn)F,可設(shè)AF=l(0≤l≤a),則F(l,0,0),EF=設(shè)平面PAG的法向量為n=(s,t,p),則ap=0,12as+at∵EF∥平面PAG,∴EF·n=0.∴-2l+43a-23a=0,∴l(xiāng)=1∴存在滿意條件的點(diǎn)F,且AF=13a8.在如圖所示的幾何體中,四邊形CDEF為正方形,四邊形ABCD為梯形,AB∥CD,AB=2BC=2CD,DC⊥FB,CF⊥平面ABCD.(1)求BE與平面EAC所成角的正弦值;(2)線段BE上是否存在點(diǎn)M,使平面EAC⊥平面DFM?若存在,求BMBE的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)∵四邊形CDEF為正方形,四邊形ABCD為梯形,AB∥CD,DC⊥FB,CF⊥平面ABCD.∴以C為原點(diǎn),CD,CB,CF所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2BC=2CD=2,則B(0,1,0),D(1,0,0),E(1,0,1),A(2,1,0),C(0,0,0),F(0,0,1),BE=(1,-1,1),CA=(2,1,0),CE=(1,0,1),設(shè)平面EAC的法向量n=(x,y,z),則n·CA=2得n=(1,-2,-1),設(shè)BE與平面EAC所成角為θ,則sinθ=|BE∴BE與平面EAC所成角的正弦值為23(2)設(shè)線段BE上存在點(diǎn)M(a,b,c),BM=λBE,0≤λ≤1,使平面EAC⊥平面DFM,則(a,b-1,c)=(λ,-λ,λ),∴M(λ,1-λ,λ),DM=(λ-1,1-λ,λ),D