新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第六章平面向量及其應(yīng)用教案 (一)

6.1平面向量的概念教學(xué)設(shè)計

課題6.1平面向量的概念單元第六單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一

教材本節(jié)內(nèi)容是平面向量的概念，由物理中的路程和位移情境導(dǎo)入，學(xué)習(xí)平面向量的概念、

分析表示以及平面向量之間的關(guān)系這些知識點(diǎn)，為平面向量的運(yùn)算做鋪墊。

1.數(shù)學(xué)抽象：利用位移和路程的相關(guān)情境將平面向量具體化；

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

教學(xué)3.數(shù)學(xué)建模：掌握平面向量的相關(guān)知識，為空間向量的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)的同時，也能學(xué)習(xí)利用

目標(biāo)向量解決實(shí)際問題。

與核4.直觀想象：通過有向線段直觀判斷平面向量之間的關(guān)系；

心素5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確判斷平面向量之間的關(guān)系；

養(yǎng)

6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題一推導(dǎo)過程一得出結(jié)論一例題講解一練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)

生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的邏輯性和嚴(yán)密性。

重點(diǎn)平面向量的概念；平面向量的表示；平面向量之間的關(guān)系。

難點(diǎn)平面向量的表示；平面向量之間的關(guān)系。

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖

導(dǎo)入新課情境導(dǎo)入：學(xué)生思考問設(shè)置問題情境，

情境一：小船由A地航行15nmile到達(dá)B地。試題，引出本節(jié)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興

問小船能到達(dá)B地嗎？

情境二：小船由A地向東南方向航行15nmile至lj新課內(nèi)容。趣，并引出本節(jié)

達(dá)B地。試問小船能到達(dá)B地嗎？新課。

問:位移和距離這兩個量有什么不同？

情境三：物體受到的重力是豎直向下的，物體的質(zhì)

量越大，它受到的重力越大。

情境四：物體在液體中受到的浮力是豎直向上的，

物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大。

問:你能通過這些物理量得出向量的概念嗎？

講授新課知識探究（一）：向量的概念學(xué)生根據(jù)兩個利用兩個情境探

定義：既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量。把只有

大小沒有方向的量稱為數(shù)量，如年齡、身高、長度、情境，探究平究得出平面向量

面積、體積、質(zhì)量等。面向量的概的概念，培養(yǎng)學(xué)

注：1.向量兩要素：大小，方向

2.向量與數(shù)量的區(qū)別：念。生探索的精神.

①數(shù)量只有大小，可以比較大小。

②向量有方向，大小雙重屬性，而方向是不能比較

大小的，因此向量不能比較大小。

知識鏈接：物理學(xué)中常稱向量為矢量，數(shù)量為標(biāo)量。

你還能舉出物理學(xué)中的一些向量和數(shù)量嗎？

練習(xí)一：在質(zhì)量、重力、速度、加速度、身高、面

積、體積這些量中，_____________是數(shù)量

_______________是向量.

練習(xí)二：

1身.高是一個向量（）

2.溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量

（）

3.坐標(biāo)平面上的x軸和y軸都是向量。（）

知識探究（二）：向量的表示思考：對于一個實(shí)數(shù)，

可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，而且不同的點(diǎn)表示不同的

數(shù)量。那么，該如何表示向量呢？通過思考，培養(yǎng)

思考：根據(jù)情景二，你發(fā)現(xiàn)位移是怎樣表示的？向

量怎樣表示？學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)學(xué)生探索新知的

幾何表示法：相扣的思考精神和能力.

用有向線段表示向量，長度表示向量的大小，箭頭

所指的方向表示向量的方向。題，探究平面

有向線段三要素：起點(diǎn)、方向、長度。向量的表示。

間：有向線段是向量，向量就是有向線段。這種說

法對嗎？

思考：你能用表示線段的方法表示向量嗎？向量的

大小和方向怎樣表示？

字母表示法：大寫字母和小寫字母。

箭頭表示向量的方向，線段的長度表示大小。

知識探究（三）：向量的模和兩類特殊向量

-->

思考：AB有什么含義？

向量的模：向量48的大小稱為向量的長度（或

稱為模），記作1AB1.

兩類特殊向量：零向量和單位向量。

思考：1.6與o有區(qū)別嗎？為什么？

2,零向量和單位向量的方向呢？

3.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點(diǎn)在原點(diǎn)的單位向

量，它們的終點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

判斷

1.向量的模是一個正實(shí)數(shù)。（）

2.若,則a>b。（）

注:向量不能比較大小

例1.如圖，分別用向量表示A

地至B、C兩地的位移，并根據(jù)圖

中的比例尺，求出A地至B,C兩

地的實(shí)際距離（精確到1km）

知識探究（四）：向量之間的關(guān)系

思考；觀察圖象，探究發(fā)現(xiàn)平行向量。學(xué)生根據(jù)動態(tài)利用數(shù)形結(jié)合的

平行向量：方向相同或相反的

叫做平行向量.記作"nb.變化圖，觀察思想，化抽象為

共線向量：平行向量又稱為共線向量.探究的出向量具體，提高學(xué)生

思考：AB,就是相同的向量嗎？之間的關(guān)系。的抽象能力和邏

由此得出相等向量和相反向量的定義。輯思維能力。

1.若非零向量AB//CD,那么AB//CD嗎？

2.若a//b，則a與b的方向一定相同或相反嗎？

3.相等向量一定是平行向量嗎？

平行向量一定是相等向量嗎？

例2已知0為正六邊形ABCDEF的中心，在圖中

所標(biāo)出的向量中：

（1）寫出圖中的共線向量；

（2）分別寫出圖中與相等的向量；

B.________4

cAAf

W

利用例題引導(dǎo)例題的3問三種

DE學(xué)生掌握本節(jié)類型，加深學(xué)生

提升訓(xùn)練課知識，并能對基礎(chǔ)知識理

1、回答下列問題：

（1）平行向量是否一定方向相同？夠靈活運(yùn)用.解，并能夠靈活

（2）不相等的向量是否一定不平行？運(yùn)用基礎(chǔ)知識解

（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？

（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？決具體問題。

（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個

向量一定是什么向量？（平行向量）

（6）兩個非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？

（7）共線向量一定在同一直線上嗎？

2、在圖中的4X5方格紙中有一個向量而，分別

以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量而，其中與

而相等的向量有多少個？與而長度相等的共線

學(xué)生和教師共通過這3個題，

向量有多少個（而除外）？

同探窕完成3鞏固基礎(chǔ)知識，

3、D、E、F依次是等邊ZXABC的邊AB、BC、CA個練習(xí)題。發(fā)散學(xué)生思維，

的中點(diǎn)，在以A、B、C、D、E、F為起點(diǎn)或終點(diǎn)

的向量中，培養(yǎng)學(xué)生思維的

（1）找出與向量DE相等的向量；嚴(yán)謹(jǐn)性和對數(shù)學(xué)

（2）找出與向量DF共線的向量.

的探索精神。

課堂小結(jié)1.向量的概念學(xué)生回顧本節(jié)讓學(xué)生掌握本節(jié)

2.向量的表示

3.向量之間的關(guān)系課知識點(diǎn)，教課知識點(diǎn)，并能

師補(bǔ)充.夠靈活運(yùn)用。

板書§6.1平面向量的概念

一、情境導(dǎo)入2.向量的表示三、課堂小結(jié)

二、探索新知3.向量之間的關(guān)系四、作業(yè)布置

1.向量概念例1、2、

教學(xué)反思

人教版本數(shù)學(xué)科目高一年級教學(xué)設(shè)計

課題6.2.1平面向量的加法運(yùn)算單元第六單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一

教材本節(jié)內(nèi)容是平面向量的加法，由物理中的位移和力的合成導(dǎo)入，學(xué)習(xí)平面向量的加法法

分析則以及加法的運(yùn)算律這些知識點(diǎn)，為平面向量的減法做鋪墊。

1.數(shù)學(xué)抽象：利用位移和力的合成將平面向量具體化；

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

教學(xué)

3.數(shù)學(xué)建模：掌握平面向量加法法則，利用向量的運(yùn)算解決實(shí)際問題。

目標(biāo)

4.直觀想象：通過有向線段直觀判斷平面向量的加法運(yùn)算；

與核

5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確計算和判斷向量的加法運(yùn)算：

心素

養(yǎng)6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題一推導(dǎo)過程一得出結(jié)論一例題講解一練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)

生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的邏輯性和嚴(yán)密性。

重點(diǎn)平面向量的三角形法則、平行四邊形法則、運(yùn)算律。

難點(diǎn)平面向量的三角形法則、平行四邊形法則、運(yùn)算律。

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖

導(dǎo)入新課情境導(dǎo)入：學(xué)生思考問設(shè)置問題情境，

情景一：如圖，某人從A點(diǎn)走到B.然后從B點(diǎn)走題，引出本節(jié)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興

到C.這個人所走過的位移是多少？

向量的加法的定義：求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量新課內(nèi)容。趣，并引出本節(jié)

的加法新課。

情景二：如圖，在光滑的平面上，一個物體同時受

到兩個外力大與B的作用，你能作出這個物體

所受的合力F嗎？

講授新課知識探究（一）：向量加法的三角形法則學(xué)生根據(jù)兩個利用兩個情境探

向量加法的三角形法則

（“作平移,首尾連，由起點(diǎn)指終點(diǎn)”）情境，寮究平究得出平面向量

位移的合成可以看作向量加法的三角形法則的物面向量的加法的加法法則，培

理模型。

向量加法的平行四邊形法則法則。養(yǎng)學(xué)生探索的精

（“作平移，共起點(diǎn),四邊形，對角線”）神.

力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的

物理模型。

知識探究（二）：三角形法則與平行四邊形法則的

異同

思考1:向量加法的平行四邊形法則和三角形法則一

致嗎？為什么？

不一致。三角形法則通過平移首尾相接，平行四功

形法則通過平移起點(diǎn)相同。

知識探究（二）：非零共線向量的和的計算

思考2：對于兩個非零共線向量，能否求出他們的

和向量？它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？

兩個非零共線向量的和向量只需首尾相接

兩個非零共線向量的加法和數(shù)的加法運(yùn)算法則是

一致的。

知識探究（二）：零向量與任一非零向量的和向量

計算

思考3：零向量與任一非零向量，能否求出他們的

和向量？

因?yàn)榱阆蛄康哪?,方向任意，根據(jù)合位移的計

算方法可得，零向量與任一非零向量的和等于該非

零向量。

知識探究（三）：n個向量加法的三角形法則

思考4：AB+4-C￡>=?n個向量的和向

量怎樣計算？

n個向量連加是將向星加法的三角形法則推廣為n

個向量相加的多邊形法則:由第一個向量的起點(diǎn)指

向最后一個向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向

量的和.（注意:首尾相接）

例題講解（一）學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)通過思考，培養(yǎng)

例1：如圖，已知向量a、b,求作向量a+b.

相扣的思考學(xué)生探索新知的

題，探究平面精神和能力.

向量的運(yùn)算

律。

作法1：三角形法則

0^XB

0—B>=a—+—b

作法2：平行四邊形法則

0\AC

B。

0C=a*+r

知識探究（四）：向量和與向量的模的關(guān)系

思考：當(dāng)向量々石不共線時，和向量的長度

學(xué)生例題，鞏利用數(shù)形結(jié)合的

1。+引與向量々6的長度和用1+⑸之間固向量的加法思想，化抽象為

的大小關(guān)系如何？法則以及運(yùn)算具體，提高學(xué)生

律，并能夠靈的抽象能力利J邏

活運(yùn)用.輯思維能力。

\a+b\<\a\+\b\

知識探究（五）：平面向量加法的運(yùn)算律

思考1：數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，向量的加

法是否也滿足交換律和結(jié)合律？

向量的加法交換律"+"=b+〃

向量的加法結(jié)合律G+B）+2=￡+（B+2）

例題講解：平面向量的加法運(yùn)算

例2長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過進(jìn)

行輪渡運(yùn)輸。如圖所示，一艘船從長江南岸A地出通過這3個題，

發(fā)，垂直于對岸航行，航行速度的大小為15千米

每小時，同時江水的速度為向東6千米每小時。學(xué)生和教師共鞏固基礎(chǔ)知識，

（1）用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行同探究完成3發(fā)散學(xué)生思維，

的速度；

（2）求船實(shí)際航行的速度的大小（結(jié)果保留小數(shù)個練習(xí)題。培養(yǎng)學(xué)生思維的

點(diǎn)后一位）與方向（用與江水速度間的夾角表示,嚴(yán)謹(jǐn)性和對數(shù)學(xué)

精確到1度）。

的探索精神。

解如右圖所示而表示船速表示江水速度

以AD,AB為鄰邊作平行四邊形ABCD

則AC表示船實(shí)際航行的速度

（2勝R/AABC中，網(wǎng)=6,前=15

于國碼=$呵+|可=V62+152=V261?I6.2

BC5

因?yàn)閠an/CA3=

AB

所以利用計算工具可得^C4B=68,

因此，船實(shí)際航行速獻(xiàn)小約為6.26用人

方向與江水速度間的魁約為58，

提升訓(xùn)練

1、求下列向量的和

(1)AB+BC+CD=_______AD

(2)AB+W+BC+DE=______AE

(3)AR+RC+DF.4-EF+CD=_______存

3、如圖，。為正六邊形MA2AAA血的中心,

求出下列向量的和：

(1)2

OAJ+OA3

/9-/L4

⑵。43+44

⑶44+AA丹4

⑷4出+44+44=44

)A4+

A2A+&A+A4AS+a4

=AA?

(6)AA-4-AA+AA+A?A?+AA=

—>

0

課堂小結(jié)4.向量的三角形法則學(xué)生回顧本節(jié)讓學(xué)生掌握本節(jié)

5.向量的平行四邊形法則

6.向量加法的運(yùn)算律課知識點(diǎn)，教課知識點(diǎn)，并能

師補(bǔ)充.夠靈活運(yùn)用。

板書§6.2.1平面向量的加法運(yùn)算

一、情境導(dǎo)入2.平行四邊形法則三、課堂小結(jié)

二、探索新知3.向量加法運(yùn)算律四、作業(yè)布置

1.三角形法則例1、2、

教學(xué)反思

6.2.2向量的減法教學(xué)設(shè)計

課題6.2.2向量的減法單兀第六單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一

教材本節(jié)內(nèi)容是平面向量的減法，由數(shù)的減法運(yùn)算導(dǎo)入，學(xué)習(xí)平面向量的減法法則以及減法

分析的幾何意義這些知識點(diǎn)，將數(shù)量與向量結(jié)合起來。

教學(xué)1.數(shù)學(xué)抽象利用數(shù)量的減法運(yùn)算抽象到平面向量的減法運(yùn)算；

目標(biāo)2.邏輯推理通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

與核3.數(shù)學(xué)建模掌握平面向量減法法則，利用向量的運(yùn)算解決實(shí)際問題。

心素4.直觀想象通過有向線段直觀判斷平面向量的減法運(yùn)算；

養(yǎng)5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確計算和判斷向量的減法運(yùn)算；

6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題一推導(dǎo)過程一得出結(jié)論一例題講解一練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)

生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的邏輯性和嚴(yán)密性。

重點(diǎn)相反向量，平面向量的減法及幾何意義

難點(diǎn)平面向量的減法及幾何意義

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖

導(dǎo)入新課舊知導(dǎo)入：學(xué)生思考問設(shè)置問題情境，

問題一：你還能回想起實(shí)數(shù)的相反數(shù)是怎樣定義的題，引出本節(jié)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興

嗎？

新課內(nèi)容。

實(shí)數(shù)a的相反數(shù)記作-a。趣，并引出本節(jié)

問題二：什么是相反向量？新課。

把大小相等方向相反的兩個向量叫做相反向量。

0的相反向量仍是6。

問題三：兩個實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算可以看成加法運(yùn)算

嗎？如設(shè)X+(—y)

講授新課新知探究：向量的減法運(yùn)算定義學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)利用問題探究得

問題四：你能根據(jù)實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算定義向量的減法

運(yùn)算嗎？相扣的問題進(jìn)出平面向量的減

由兩個向量和的定義已知行思考，探究法定義和法則，

￡+平面向量的減培養(yǎng)學(xué)生探索的

即任意向量與其相反向量的和是零向量。法定義和法精神.

這樣，如翦與B互為相反向量，

貝人

捋R么a=—hb=—a,a+b=0

々加上的勺相反向量，叫(痂與謝差即〃-1=。+(-石

求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法。我們看

至IJ,向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行：減

去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量。

即

Z加上麗相反向量，

叫做班與珀tJ差即a=a+(-Z?)

新知探究(二)：向量減法的作圖方法

問題五：已知向量;與B，試作出a-b

B

七DWC

作法

（1）設(shè)OA=UOB=b,OD=-b

（2）連接AB,由向量減法的定義知

l-b=a+{rb]=OA+OD=OC

（3泅為平行四邊形KAR

^\^k=OC=a-b

由此，我們得到a-b的作圖方法.

知識探究（三）：向量減法的幾何意義

問題六：根據(jù)問題五，思考一下向量減法的幾何意

義是什么？

二公

_?10-

aa

由圖得:BA=si-b.

即加I以表示為從山勺終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量

這就是向量減法的幾何意義。

/2^6

a由圖得靛J終點(diǎn)為4,2的終點(diǎn)谿，

貝瑛的終點(diǎn)至訪的終點(diǎn)的向量為而

學(xué)生根據(jù)例利用數(shù)形結(jié)合的

由問題六可知而-￡-1.

又因?yàn)锳B=-8A則AB=-（°一5）=辦一a題，鞏固向量思想，化抽象為

注意：（1）起點(diǎn)必須相同.（2）指向被減向量的終點(diǎn).

的減法法則，具體，提高學(xué)生

問題七：非零共線向量怎樣做減法運(yùn)算？

1.共線同向2.共線反向并能夠靈活運(yùn)的抽象能力和邏

用.輯思維能力。

。~-——b

b,

a-i~^力

AC*BBAC

問題八：非零共線向量怎樣做減法運(yùn)算？

1.共線同向

a

,B

a-b

ACB

2.共線反向

——b

a-b

BAC

小試牛刀

判一判（正確的打“J”，錯誤的打“X”）

（。兩個向量的差仍是一個向量.（J）

⑵向量的減法實(shí)質(zhì)上是向量的加法的逆運(yùn)算.

（V）

（3）向量a與向量b的差與向量b與向量a的差互為

相反向量。（J）

（4）相反向量是共線向量。（V）

例題講解

例1、已知向量工￡工，"，求作向量a-bc-do

作法：

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作蘇＜,麗=&近兄面=/

則84=。一。DC=c-d

注意：起點(diǎn)相同，連接終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)。

■—?.一

例2、已知平行四邊形ABCD,AB=a,AD=Z?,

用23分別表示向量記而

D

AB

解：連接AC,08,由求向量和

的平行四邊形法則，

^AC=AB+AD=a+b

依減法定義得~DB=~AB-~AD=a-b

例3、如圖，O為aABC的外心，H為垂心.求證：

OH=OA+OB+OC

證明：作直徑BD,連接DA,DC,

則有而=_06

又因?yàn)镈AJ_AB,DC1BC,AH1BC,CH1AB,

所以CH〃DA,AH//DC.

所以四邊形AHCD是平行四邊形，

所以A”二"

又DC=0C—OD—OC+OB所以

OH=OA+AH

=OA+DC學(xué)生和教師共通過這3個題，

=OA+OB+OC同探究完成3鞏固基礎(chǔ)知識，

提升訓(xùn)練

1、求下列向量的差個練習(xí)題。發(fā)散學(xué)生思維，

(1)AB-AD=(2)BA-BC=培養(yǎng)學(xué)生思維的

(3)BC-BA=(4)OD-OA=嚴(yán)謹(jǐn)性和對數(shù)學(xué)

(5)OA-OB=(6)AO-BO=

的探索精神。

(1)DB(2)CA(3)AC

(4)AQ⑸AB⑹BA

2、根據(jù)右圖，回答下列問題：

a

—>—>

(1)當(dāng)滿足什么條件時，4+6與"b

垂直？1。日山

——————

ha+b=a-b

(2)當(dāng)n出“滿足什么條件時，？

麗I互相垂直

—>f—?—>

(3)6與口-6可能是相等向量嗎？

不可能.因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膬蓷l對角線方向不同.

練習(xí)、如圖，已知向量而=鬲而=尻ZDAB=12(T,

且|萬|=出|=3,求|萬+5|和|1-5|

C

A

解：以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,

由于|X5|=|而|=3,故此四邊形為菱形

由向量的加減法知

AC=a+b,DB=a-b

故|說|=場+6|,|而|二|。一6|

因?yàn)镹D48=120°,所以ND4C=60°

所以AAOC是正三角形，則|公|=3

由于菱形對角線互相垂直平分,所以A4O/J是直角三角形，

|兩引砌sin60"=3x^二地

22

課堂小結(jié)7.相反向量學(xué)生回顧本節(jié)讓學(xué)生掌握本節(jié)

8.向量的減法定義

課知識點(diǎn)，教課知識點(diǎn)，并能

9.向量減法的幾何意義

師補(bǔ)充.夠靈活運(yùn)用。

板書§6.2.2平面向量的減法運(yùn)算

一、情境導(dǎo)入2.減法作圖三、課堂小結(jié)

二、探索新知3.減法幾何意義四、作業(yè)布置

L減法定義例1、2、3

教學(xué)反思

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算教學(xué)設(shè)計

課題6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算單元第六單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一

教材本節(jié)內(nèi)容是平面向量的數(shù)乘運(yùn)算，由向量加法導(dǎo)入，學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)乘運(yùn)算以及運(yùn)算

分析律這些知識點(diǎn)，同時根據(jù)數(shù)乘運(yùn)算探究得到平面向量共線基本定理。

1.數(shù)學(xué)抽象：利用有向線段將平面向量的數(shù)乘運(yùn)算具體化；

教學(xué)

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

目標(biāo)

3.數(shù)學(xué)建模：掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算，利用向量的運(yùn)算解決實(shí)際問題。

與核

4.直觀想象：通過有向線段直觀判斷平面向量的數(shù)乘運(yùn)算；

心素

5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確計算和判斷向量的數(shù)乘運(yùn)算；

養(yǎng)

6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題一推導(dǎo)過程一得出結(jié)論一例題講解一練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)

生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的邏輯性和嚴(yán)密性。

重點(diǎn)平面向量數(shù)乘運(yùn)算、運(yùn)算律以及平面向量共線基本定理。

難點(diǎn)平面向量數(shù)乘運(yùn)算、運(yùn)算律以及平面向量共線基本定理。

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖

導(dǎo)入新課舊知導(dǎo)入：學(xué)生思考問設(shè)置問題情境，

思考1：如圖，已知向量a、b,求作向量a+b.題，引出本節(jié)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興

新課內(nèi)容。趣，并引出本節(jié)

r\新課。

思考2：

已知非零向量Z，作出G+Z+Z和（二）+（工）+（-?）.

思考3：

a+a+。和（一。）+（-。）十（一4）與訪*什么關(guān)系？

講授新課知識探究（一）：數(shù)乘運(yùn)算的定義學(xué)生根據(jù)一連利用兩個情境探

規(guī)定：實(shí)數(shù)人與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫

串的思考題，究得出平面向量

做向量的數(shù)乘運(yùn)算.記作而

探究平面向量的數(shù)乘運(yùn)算，培

它的長度和方向規(guī)定如下：

的數(shù)乘運(yùn)算。養(yǎng)學(xué)生探索的精

（中4T眼

神.

（2）當(dāng)4>3寸，痂的方向扇的方向相同；

當(dāng)4<0口寸，4和方向與通方向相反。

當(dāng)2=00寸，2^=6,方向任意。

知識探究（二）：數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義

思考4：你能說明而的幾何意義嗎？

數(shù)乘向量的幾何意義就是把向量￡沿3的方向或反方

向放大或縮短.

若L，當(dāng)人明，沿￡的方向放大了2倍.當(dāng)0。（明，

沿4的方向縮短了％倍.

當(dāng)心-1時，沿a的反方向放大了W倍?當(dāng)〈呵，

沿a的反方向縮短了回倍.

由其幾何意義可以看出用數(shù)乘向量能解決幾何中的相似問

題.

學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)通過思考，培養(yǎng)

知識探究（三）：數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律

一相扣的思考學(xué)生探索新知的

思考5：如果把非零向量”的長度伸長到原來的

題，探究平面精神和能力.

3.5倍，方向不變得到向量6，向量人該如何表向量的數(shù)乘運(yùn)

—?—?

示？向量〃，b之間的關(guān)系怎樣？算運(yùn)算律。

由已知得了=3.5〉汨曲方向相同，W=3.5Z

思考6：如果把思考4中匕的長度再伸長到原來的

2倍,方向不變得到向量0,向量°該如何表示？

向量〃，°之間的關(guān)系怎樣？

由已知得:c=2b,又因?yàn)?=3.5a可得C=7Q

根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算的定義可得：

劭方向與疝勺方向相同，口=7忖

數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律

（1）2（//<7）=（4巾（2）（2+而=+44

（3）X（a+B）=4a+。

特別地：

(-2)^=-(Aaj=4)幾(。一人)=4。~2b

思考7:向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算有什么共同

點(diǎn)？

向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是向量。

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。

例題講解

(1)(-3)X4Q(2)3b+可_21_?_々

學(xué)生例題，鞏利用數(shù)形結(jié)合的

(3)(2a+3b—c)-,-蘇+c)

固向量的數(shù)乘思想，化抽象為

解原式=(-3x4&=—12a運(yùn)算以及運(yùn)算具體，提高學(xué)生

律，并能夠靈的抽象能力和邏

⑵原式=31+益-W+公二=5b

活運(yùn)用.輯思維能力。

(3)原式=2^+3石-0-3々+2^-。

=—a+5b—2c

例2：如圖

平行四邊形480勺兩條對角線相交于點(diǎn)W,且布=Z

AD=b,用Z,g表示祝1而在MCfUMD

3

A-B

解：在平行四邊形ABC。中，

AC=AB+AD=。+各

DB=AB-^D=a-b

由平行四邊形的兩條橫線互相平分，得

—*1.1卜—\1-1—

MA=——AC=——L+Z?)=——a——b

22V722

?1.1/-*一11T1一

MB=——DB=-\a-b)=-a——b

22V722

—?1111-

MC=-AC=-a+-b

222

.1.[T]—

MD=——DB=——a—b

222

小試牛刀

?用[表示下列各題中的B

—————?—?

⑴a=3e,b=6e;b=2a

-7-

(2)^=8^^=-14;Z?=~7^

一2-7］一

(3)a=——eb——e\b=—a

3y32

—?3—2一一Q_?

^)=--eb=--e,b=-a

a4y39

—?—>—>

2、如圖，四邊形力時是一個梯形，AB//CD^\AB\

=2|⑺|,M'分別是比”8的中點(diǎn)，已知力8=8,

—>—>

AD=e：,試用a,a表示下列向量.(1)AC=

—?

:(2)W=

/Ayc

zr\

ANB

—>—?—>—?—?—?-?

(1)因?yàn)?8〃5，|48=2|或所以力8=2%,DC=

—>―?-?—>

^AS.AC=AD+DC=e^+^e\.

—>—>—>―—>—>—

(2)MN=MD+DA-\-AN=-\JDC-AD+』乙AB=~，\e~a

,11

土Z&=工8一比.

方法總結(jié)

用已知向量表示其他向量的兩種方法

(1)直接法

結(jié)合圖形的特征，把待求向量放在

(1三角形或平行四邊形中

結(jié)合向量的三角形法則或平行四邊

形法則及向量共線定理，用已知向

量表示未知向量

(2)方程法

當(dāng)直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法

則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向

量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程.

知識探究（四）：平面向量共線基本定理

思考：通過練習(xí)，你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與向量的積與原向

量之間的位置關(guān)系嗎？

實(shí)數(shù)與向量的積與原向量共線

平面向量共線基本定理：

向量翡工。）與旗線的充要條件是：

存在唯一一個實(shí)數(shù)1,使

備注：根據(jù)這一定理，設(shè)非零向矗;位于直物上，那么對于直

線,上的任意一個向齦都存在唯一的一個賜U,使坂=/?

也就是說，位于同一酸上的向量可以由位于W條直線上

的一個非零向量表示。

例題講解

例3、如圖，已知任意兩個非零向量a,b,試作

OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3〃

你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎?并證明

你的猜想。

z

AB=OB-OAAC=OC-OA

=a+2b—（a+b）=b=a+3b-（a+b）=26

沅=2岫所以,A、B、C三點(diǎn)共線

例4：

—?-?_—?—?1—?4―

已知a,匕是兩個不共線的向量，向量6-/?,—a——b

22

共線，求實(shí)珈的值c

解：由標(biāo)不共線，易知三年為非零向量4而

》《渙線，可知存在實(shí)數(shù)九使得>二=嗚［利

即，+加。=（|2+1）面而共線，必薊+?=*o

EE.壞共線，必而+乜=%=0否則，不妨坳

222

3>,1

—4+1

貝=?—b

t+-A

2

由兩個向量共線的充弊件知Z射線，與已知矛盾

1+彳義=0］因此，當(dāng)向籥3g

由，2，解得22

331

-A+1=O共線時，/=1

、23

小試牛刀

判斷（正確的打“J”，錯誤的打“X”）

（1）實(shí)數(shù)人與向量a的積還是向量.（J）

（2）3a與a的方向相同，-3a與a的方向相反.（J）

（3）若ma=mb,則a=b.（X）

（4）向量共線定理中，條件aWO可以去掉.（X）

提升訓(xùn)練

學(xué)生和教師共

1、化簡通過這2個題，

(1)5(3a-2b)+4(2b-3a);同探究完成2鞏固基礎(chǔ)知識，

（2）；（4-26）一；（3“一2，）一；（0一6）個練習(xí)題。發(fā)散學(xué)生思維，

培養(yǎng)學(xué)生思維的

111嚴(yán)謹(jǐn)性和對數(shù)學(xué)

⑴二3b25⑵=①不⑶"

的探索精神。

2、設(shè)el,e2是兩個不共線向量，已知AB=2el+

ke2,CB=el+3e2,CD=2el-e2,若A,B,D

三點(diǎn)共線，求k的值.

解VBD^=el-4e2,而A,B,D三點(diǎn)共線，，

向量AB與向量BD共線，故存在實(shí)數(shù)人，使得向

量AB=XBD即2el4-ke2=X(el-4e2),

得2=入，k=—4入，得k=—8為所求.

方法總結(jié)

向量共線定理的應(yīng)用

（1用取=444工。）且筠〃所在的直線無公共點(diǎn)：

則這兩條直線平行。

（2諾^=2赤荷）且儲1所在的直線有公共點(diǎn),

則這兩條直線重合。

例如:麻=/iX?,則XfeXZ共線，XA^ACW

公共點(diǎn)4,從而AB,C三點(diǎn)共線。這是證明三點(diǎn)

共線的重要方法。

課堂小結(jié)10.數(shù)乘運(yùn)算的定義學(xué)生回顧本節(jié)讓學(xué)生掌握本節(jié)

11.數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律

12平.面向量共線基本定理課知識點(diǎn)，教課知識點(diǎn)，并能

師補(bǔ)充.夠靈活運(yùn)用。

向量孤.謂旗線的充要條件是：

存在唯——個實(shí)數(shù)1,使辦=/iZ

13.定理的應(yīng)用

(1)向量共線(2)三點(diǎn)共線

(3)兩直線平行

板書§6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算

一、舊知導(dǎo)入2.運(yùn)算律三、課堂小結(jié)

二、探索新知3.共線基本定理四、作業(yè)布置

1.定義例1、2、3、4

教學(xué)反思

6.2.4向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計

課題6.2.4向量的數(shù)量積單元第六單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一

教材本節(jié)內(nèi)容是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算運(yùn)算，由功的概念導(dǎo)入，學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

分析以及運(yùn)算律這些知識點(diǎn)，同時根據(jù)將向量的線性運(yùn)算與向量的數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行對比分析。

1.數(shù)學(xué)抽象：利用功的定義將平面向量的數(shù)量積運(yùn)算具體化：

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；

教學(xué)

3.數(shù)學(xué)建模：掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算及其運(yùn)算律；

目標(biāo)

4.直觀想象：利用數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算律推導(dǎo)平