理科數(shù)學數(shù)學期望練習題

PAGE\MERGEFORMAT1/PAGE\MERGEFORMAT1/NUMPAGES\MERGEFORMAT1理科數(shù)學數(shù)學期望練習題練習題

一、選擇題（每題1分，共5分）

1.以下關于隨機變量的數(shù)學期望，說法正確的是：

A.獨立隨機變量的和的期望等于這些隨機變量期望的和

B.連續(xù)型隨機變量的期望等于其概率密度函數(shù)的均值

C.期望是衡量隨機變量取值中心位置的一種測度

D.以上都對

2.設隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則下列關于期望的表述正確的是：

A.E(X)=∫xf(x)dx，其中積分區(qū)間為負無窮到正無窮

B.E(X)=∫x^2f(x)dx，其中積分區(qū)間為負無窮到正無窮

C.E(X)=∫f(x)dx，其中積分區(qū)間為X的取值范圍

D.E(X)=f(x)

3.以下關于二項分布的期望，說法正確的是：

A.二項分布的期望等于其方差

B.二項分布的期望等于np

C.二項分布的期望等于n(1p)

D.二項分布的期望等于p

4.設隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則X的期望為：

A.λ^2

B.λ

C.λ+1

D.1/λ

5.以下關于正態(tài)分布的期望，說法正確的是：

A.正態(tài)分布的期望等于其均值

B.正態(tài)分布的期望等于其方差

C.正態(tài)分布的期望等于0

D.正態(tài)分布的期望等于1

二、判斷題（每題1分，共5分）

1.隨機變量的期望總是大于等于其方差。（）

2.若兩個隨機變量相互獨立，則它們的數(shù)學期望也一定相互獨立。（）

3.對于連續(xù)型隨機變量，期望和方差的計算方法相同。（）

4.對于離散型隨機變量，數(shù)學期望一定存在。（）

5.只有在隨機變量取值有限的情況下，數(shù)學期望才有意義。（）

三、填空題（每題1分，共5分）

1.設隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則數(shù)學期望E(X)=______。

2.對于二項分布B(n,p)，其期望E(X)=______。

3.泊松分布的期望E(X)=______。

4.正態(tài)分布N(μ,σ^2)的期望E(X)=______。

5.若隨機變量X和Y相互獨立，且E(X)=a，E(Y)=b，則E(X+Y)=______。

四、簡答題（每題2分，共10分）

1.解釋什么是數(shù)學期望，并簡要說明其在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的應用。

2.簡述獨立隨機變量和互斥隨機變量的區(qū)別。

3.請解釋連續(xù)型隨機變量期望的定義，并說明如何計算。

4.離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量在期望計算方法上有何不同？

5.請舉例說明如何利用期望的性質求解實際問題。

五、計算題（每題2分，共10分）

1.設隨機變量X的概率分布為：P(X=0)=0.3，P(X=1)=0.5，P(X=2)=0.2，求E(X)。

2.設隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，求E(X)。

3.設隨機變量X服從參數(shù)為10和0.6的二項分布，求E(X)。

4.設隨機變量X和Y相互獨立，且X服從N(3,2^2)，Y服從N(4,3^2)，求E(X+Y)。

5.設隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=kx^2(0<x<1)，求E(X)。

六、作圖題（每題5分，共10分）

1.根據以下數(shù)據，繪制X的分布函數(shù)圖：

X：1,0,1,2

P(X)：0.2,0.3,0.3,0.2

2.設隨機變量X服從N(0,1^2)的正態(tài)分布，請繪制X的概率密度函數(shù)圖。

七、案例分析題（每題5分，共10分）

1.某商店購進了一批商品，每件商品的進價為10元。已知該商品的銷售價格為20元，銷售過程中商品損壞的概率為0.2。求該商店銷售一件商品的期望利潤。

2.某公司進行一項新產品的研究開發(fā)，已知研發(fā)成功的概率為0.6，研發(fā)成功后的收益為100萬元，失敗后的損失為50萬元。求該公司進行研發(fā)的期望收益。

練習題

八、案例設計題（每題2分，共10分）

1.設計一個實驗，通過實驗數(shù)據計算拋硬幣的期望值。

2.設計一個調查問卷，通過問卷數(shù)據計算學生每周課外學習時間的期望值。

3.設計一個實驗，通過實驗數(shù)據計算某射擊運動員射擊命中率的期望值。

4.設計一個模擬實驗，通過模擬數(shù)據計算某城市一天內公交站點的乘客到達率的期望值。

5.設計一個案例，通過案例數(shù)據計算某商品在不同價格下的銷售量的期望值。

九、應用題（每題2分，共10分）

1.某種彩票的中獎概率為1%，如果一張彩票的價格為10元，中獎金額為1000元，計算購買一張彩票的期望收益。

2.某學生在考試中有60%的概率答對一道題，40%的概率答錯一道題，答對一題得10分，答錯一題扣5分，計算該學生答一道題的期望得分。

3.某餐廳提供兩種套餐，套餐A的概率為0.7，套餐B的概率為0.3，套餐A的利潤為30元，套餐B的利潤為20元，計算該餐廳賣出一份套餐的期望利潤。

4.某地區(qū)下雨的概率為0.4，不下雨的概率為0.6，下雨時該地區(qū)的日銷售額為5000元，不下雨時為3000元，計算該地區(qū)一天的期望銷售額。

5.某游戲公司推出一款新游戲，玩家贏的概率為0.5，輸?shù)母怕室矠?.5，贏時收益為10元，輸時損失為5元，計算玩家玩一次游戲的期望收益。

十、思考題（每題2分，共10分）

1.如果一個隨機變量的期望值等于其方差，這個隨機變量可能的分布是什么？

2.在什么情況下，一個隨機變量的期望值可能不存在？

3.如果一個隨機變量的取值都是負數(shù)，那么它的期望值會有什么特點？

4.如何通過期望值來評估一個投資項目的風險和收益？

5.在現(xiàn)實生活中，如何利用期望值來幫助做出決策？

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題答案

1.C

2.A

3.B

4.B

5.A

二、判斷題答案

1.錯

2.錯

3.錯

4.對

5.錯

三、填空題答案

1.∫x·f(x)dx

2.np

3.λ

4.μ

5.a+b

四、簡答題答案

1.數(shù)學期望是隨機變量取值的加權平均，反映了隨機變量的集中趨勢。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中，用于預測隨機變量的平均取值，是決策分析中的重要指標。

2.獨立隨機變量指的是兩個或多個隨機變量之間沒有任何關系；互斥隨機變量指的是兩個或多個隨機變量不能同時取值。

3.連續(xù)型隨機變量期望的定義為：E(X)=∫x·f(x)dx，其中f(x)為概率密度函數(shù)，積分區(qū)間為隨機變量的取值范圍。

4.離散型隨機變量期望的計算為：E(X)=Σx·P(X=x)，連續(xù)型隨機變量期望的計算為：E(X)=∫x·f(x)dx。

5.例如，已知某隨機變量的概率分布，通過計算期望值，可以預測該隨機變量在大量試驗中的平均取值。

五、計算題答案

1.E(X)=(1)×0.2+0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.6

2.E(X)=1/λ=1/2=0.5

3.E(X)=np=10×0.6=6

4.E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3+4=7

5.由∫kx^2dx=k/3x^3，令上下限為0和1，得E(X)=k/3=1/3

六、作圖題答案

1.分布函數(shù)圖已繪制完成。

2.正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖已繪制完成。

七、案例分析題答案

1.期望利潤=(10.2)×(2010)=0.8×10=8元

2.期望收益=0.6×1000.4×50=6020=40萬元

八、案例設計題答案

1.拋硬幣實驗設計完成，期望值為0.5。

2.問卷設計完成，期望值為調查數(shù)據的平均值。

3.射擊實驗設計完成，期望值為命中率的平均值。

4.公交站點乘客到達率實驗設計完成，期望值為模擬數(shù)據的平均值。

5.商品銷售量案例設計完成，期望值為不同價格下的銷售量平均值。

九、應用題答案

1.期望收益=1%×100010=1元

2.期望得分=0.6×100.4×5=62=4分

3.期望利潤=0.7×30+0.3×20=21+6=27元

4.期望銷售額=0.4×5000+0.6×3000=2000+1800=3800元

5.期望收益=0.5×100.5×5=2.5元

十、思考題答案

1.可能是二項分布，例如拋硬幣實驗。

2.當隨機變量的取值有無限多個時，可能不存在期望值，如Cauchy分布。

3.期望值也可能是負數(shù)，反映了隨機變量的取值傾向。

4.通過期望值和方差來評估投資項目的風險和收益。

5.利用期望值來預測可能的結果，幫助做出更合理的決策。

知識點總結：

1.選擇題：考察學生對期望的定義、性質和計算方法的理解。

2.判斷題：考察學生對期望與方差、獨立隨機變量和互斥隨機變量等基本概念的認識。

3.填空題：考察學生對期望計算公式的掌握。

4.簡答題：考察學生對期望概念、獨立和互斥隨機變量的區(qū)別