2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-對點練76 離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征【含答案】

對點練76離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征【A級基礎(chǔ)鞏固】1.已知下列隨機變量：①10件產(chǎn)品中有2件次品，從中任選3件，取到次品的件數(shù)X；②一位射擊選手對目標(biāo)進行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，該射擊選手在一次射擊中的得分X；③一天內(nèi)的溫度X；④在體育彩票的抽獎中，一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)X.其中X是離散型隨機變量的是()A.①②③ B.①②④C.②③④ D.③④2.(2024·陜西部分名校模擬)已知隨機變量X的分布列為X023Peq\f(1,2)m2m則E(X)＝()A.2 B.eq\f(5,3)C.eq\f(4,3) D.13.已知隨機變量X的分布列為X123Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，則a等于()A.－3 B.－2C.eq\f(5,3) D.34.隨機變量X的取值范圍為{0，1，2}，若P(X＝0)＝eq\f(1,4)，E(X)＝1，則D(X)等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)5.(2024·綿陽診斷)若離散型隨機變量X的分布列如下，E(X)＝0，D(X)＝1，則P(X<1)＝()X－1012Pabceq\f(1,12)A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)6.(多選)(2024·哈爾濱質(zhì)檢)若隨機變量X服從兩點分布，其中P(X＝0)＝eq\f(1,3)，E(X)，D(X)分別為隨機變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是()A.P(X＝1)＝E(X) B.E(3X＋2)＝4C.D(3X＋2)＝4 D.D(X)＝eq\f(4,9)7.(多選)(2024·濰坊段考)一盒中有7個乒乓球，其中5個未使用過，2個已使用過，現(xiàn)從盒子中任取3個球來用，用完后再裝回盒中.記盒中已使用過的球的個數(shù)為X，則()A.X的所有可能取值是3，4，5 B.X最有可能的取值是5C.X等于3的概率為eq\f(1,7) D.X的數(shù)學(xué)期望是eq\f(6,7)8.已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球.設(shè)ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù)，則P(ξ＝2)＝________.9.(2024·湘潭質(zhì)檢)隨機變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________.10.某老師從課本上抄錄的一個隨機變量X的分布列如下表：X123P？?。勘M管“！”與“？”處無法完全看清，但能肯定兩個“？”處的數(shù)值相同，據(jù)此，E(X)＝________.11.設(shè)箱子里裝有同樣大小的3個紅球及白球、黑球、黃球、綠球各1個.(1)若甲從中一次性摸出2個球，求兩個球顏色不相同的概率；(2)若乙從中一次性取出3個球，設(shè)3個球中的紅球個數(shù)為X，求隨機變量X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望值.12.某游樂場設(shè)置了迷宮游戲，有三個造型相同的門可供選擇，參與者進入三個門的結(jié)果分別是3分鐘走出去，6分鐘走出去，3分鐘返回出發(fā)點.游戲規(guī)定：不重復(fù)進同一個門，若返回出發(fā)點立即重新選擇，直到走出迷宮游戲結(jié)束.(1)求一名游戲參與者走出迷宮所用時間的均值；(2)甲、乙2人相約玩這個游戲.2人商量了兩種方案.方案一：2人共同行動；方案二：2人分頭行動.分別計算兩種方案2人都走出迷宮所用時間和的均值.【B級能力提升】13.(多選)(2024·金華質(zhì)檢)已知隨機變量ξ的分布列如下：ξ012Pb－aba則當(dāng)a在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)增大時()A.E(ξ)增大 B.E(ξ)減小C.D(ξ)先增大后減小 D.D(ξ)先減小后增大14.(2021·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.對點練76離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征答案1．B[①中，X的可能取值為0，1，2，符合要求；②中，X的可能取值為0，1，符合要求；③中，一天的溫度變化是連續(xù)的，所以X不是離散型隨機變量；④中，在體育彩票的抽獎中，一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)是離散且隨機的，符合要求．]2．C[由eq\f(1,2)＋3m＝1，解得m＝eq\f(1,6)，則E(X)＝0×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).]3．A[E(X)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝eq\f(5,3)a＋3＝－2，解得a＝－3.]4．C[設(shè)P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，由題意得E(X)＝0×eq\f(1,4)＋p＋2q＝1，且eq\f(1,4)＋p＋q＝1，解得p＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,4)，所以D(X)＝eq\f(1,4)×(0－1)2＋eq\f(1,2)×(1－1)2＋eq\f(1,4)×(2－1)2＝eq\f(1,2).]5．D[由題意知，a＋b＋c＋eq\f(1,12)＝1.①由E(X)＝0，即E(X)＝－1×a＋0×b＋1×c＋2×eq\f(1,12)＝0，得－a＋c＋eq\f(1,6)＝0.②由D(X)＝1，即D(X)＝(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×eq\f(1,12)＝1，得a＋c＋eq\f(1,3)＝1.③聯(lián)立①②③解得a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(1,4)，又因為P(X<1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)，所以P(X<1)＝a＋b＝eq\f(2,3).]6．AB[隨機變量X服從兩點分布，由P(X＝0)＝eq\f(1,3)，得P(X＝1)＝eq\f(2,3)，E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正確；在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×eq\f(2,3)＋2＝4，故B正確；在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×eq\f(2,9)＝2，故C錯誤；在D中，D(X)＝eq\f(2,9)，故D錯誤．]7．AC[記未使用過的乒乓球為A，已使用過的為B，任取3個球的所有可能是1A2B，2A1B，3A，A使用后成為B，故X的所有可能取值是3，4，5，故A正確；P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(1,7)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(4,7)，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(3,5),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(2,7)，所以X最有可能的取值是4，故B錯誤，C正確；E(X)＝3×eq\f(1,7)＋4×eq\f(4,7)＋5×eq\f(2,7)＝eq\f(29,7)，故D錯誤．]8.eq\f(3,10)[由題意可知P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(3,10).]9.eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))[∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3)，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).又a＝eq\f(1,3)－d，c＝eq\f(1,3)＋d，根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0≤eq\f(1,3)－d≤eq\f(2,3)，0≤eq\f(1,3)＋d≤eq\f(2,3)，∴－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).]10．2[設(shè)P(X＝1)＝P(X＝3)＝a，P(X＝2)＝b，則2a＋b＝1.于是E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.]11．解(1)記“甲從中一次性摸出2個球，兩個球顏色不相同”為事件A，甲從中一次性摸出2個球共有Ceq\o\al(2,7)＝21種，兩個球顏色不相同有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝12＋6＝18種，所以P(A)＝eq\f(18,21)＝eq\f(6,7).(2)隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(1,35)，所以隨機變量X的概率分布列為X0123Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)E(X)＝0×eq\f(4,35)＋1×eq\f(18,35)＋2×eq\f(12,35)＋3×eq\f(1,35)＝eq\f(45,35)＝eq\f(9,7).12．解(1)設(shè)一名游戲參與者走出迷宮所用時間為X(單位：分鐘)，則X的所有可能取值為3，6，9，P(X＝3)＝eq\f(1,3)，P(X＝6)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(X＝9)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，所以E(X)＝3×eq\f(1,3)＋6×eq\f(1,2)＋9×eq\f(1,6)＝eq\f(11,2)(分鐘)．即一名游戲參與者走出迷宮所用時間的均值為eq\f(11,2)分鐘．(2)由(1)知，按照方案一：2人共同行動所用時間和的均值為eq\f(11,2)×2＝11(分鐘)．按照方案二：設(shè)兩人走出迷宮所用時間和為Y(單位：分鐘)，則Y的所有可能取值為9，12，15，P(Y＝9)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,2)＋\f(1,3)×\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，P(Y＝12)＝2×(eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))＝eq\f(1,3)，P(Y＝15)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\f(1,6)，所以E(Y)＝9×eq\f(1,2)＋12×eq\f(1,3)＋15×eq\f(1,6)＝11(分鐘)，即按照方案二，兩人所用時間和的均值為11分鐘．13．AC[由隨機變量ξ的分布列得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤b－a≤1，,0≤b≤1，,0≤a≤1，,b－a＋b＋a＝1，))解得b＝0.5，0≤a≤0.5，∴E(ξ)＝0.5＋2a，0≤a≤0.5.故a在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)增大時，E(ξ)增大，A正確．D(ξ)＝(－2a－0.5)2(0.5－a)＋(0.5－2a)2×0.5＋(1.5－2a)2a＝－