微專題2　基本初等函數(shù)、函數(shù)零點

微專題2基本初等函數(shù)、函數(shù)零點高考定位1.基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點，利用函數(shù)性質(zhì)比較大小、解不等式是常見題型；2.函數(shù)零點的個數(shù)判斷及參數(shù)范圍是高考熱點，常以壓軸題的形式出現(xiàn).【真題體驗】1.(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a2.(2023·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝e－(x－1)2.記a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))，則()A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b3.(2024·北京卷)生物豐富度指數(shù)d＝eq\f(S－1,lnN)是河流水質(zhì)的一個評價指標(biāo)，其中S，N分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)S沒有變化，生物個體總數(shù)由N1變?yōu)镹2，生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15，則()A.3N2＝2N1 B.2N2＝3N1C.Neq\o\al(2,2)＝Neq\o\al(3,1) D.Neq\o\al(3,2)＝Neq\o\al(2,1)4.(2024·新高考Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax.當(dāng)x∈(－1，1)時，曲線y＝f(x)與y＝g(x)恰有一個交點.則a＝()A.－1 B.eq\f(1,2)C.1 D.2【熱點突破】熱點一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y＝x對稱，它們的圖象和性質(zhì)分0＜a＜1，a＞1兩種情況，著重關(guān)注兩個函數(shù)圖象的異同.2.冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，主要掌握α＝1，2，3，eq\f(1,2)，－1五種情況.例1(1)(2024·武漢調(diào)研)在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝loga(－x)，y＝eq\f(a－1,x)(a>0，且a≠1)的圖象可能是()(2)(多選)(2024·福州名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(1,4x)＋2，則下列說法正確的是()A.f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增B.f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱C.f(x)的圖象關(guān)于點(0，1)對稱D.不等式f(x＋1)<eq\f(25,4)的解集是(－2，0)規(guī)律方法1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)會受底數(shù)a的影響，解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題時，首先要看底數(shù)a的取值范圍.2.基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是統(tǒng)一的，在解題中可相互轉(zhuǎn)化.訓(xùn)練1(1)(2024·上饒六校聯(lián)考)已知a＝log30.9，b＝0.30.4，c＝0.40.3，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.b<c<a B.a<b<cC.a<c<b D.b<a<c(2)(2024·寧波質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)（－x）＋4，－2≤x<0，,ax－1，x<－2))(a>0，a≠1)的值域是[3，＋∞)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.(1，2] D.[2，＋∞)熱點二函數(shù)的零點判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：(1)利用零點存在定理判斷；(2)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根；(3)幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點或利用兩個函數(shù)圖象的交點求解.在利用函數(shù)性質(zhì)時，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.考向1函數(shù)零點的判斷例2(2024·重慶七校聯(lián)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，且當(dāng)x∈[－1，0]時，f(x)＝x2，函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，g(x)＝lgx，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點的個數(shù)是________.考向2求參數(shù)的值或取值范圍例3(2024·撫順聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－a－5，x≤0，,ln（x2－4x－a），x>0))恰有3個零點，則a的取值范圍為()A.(－5，－4) B.(－4，－3)C.(－5，－4] D.(－4，－3]考向3零點的代數(shù)式問題例4(多選)(2024·青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－4|，x>0，,x2＋4x＋3，x≤0，))函數(shù)g(x)＝f(x)＋a的四個零點分別為x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，則下列結(jié)論正確的是()A.0<a<3 B.x1＋x2＝－4C.x3＋x4<4 D.2x3＋4x4>20規(guī)律方法利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法(1)直接法：利用零點存在定理構(gòu)建不等式確定參數(shù)的取值范圍；(2)分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.訓(xùn)練2(1)(2024·北京延慶調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－xeq\s\up6(\f(1,3))，那么在下列區(qū)間中含有零點的為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.(1，2)(2)(2024·海南質(zhì)檢)函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點個數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.3(3)(2024·南京、鹽城質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－8x＋8，x≥0，,2x＋4，x<0.))若互不相等的實數(shù)x1，x2，x3滿足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，則x1＋x2＋x3的范圍是()A.(2，8) B.(－8，4)C.(－6，0) D.(－6，8)熱點三函數(shù)模型及其應(yīng)用應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序和解題關(guān)鍵：(1)一般程序：eq\f(讀題,文字語言)?eq\f(建模,數(shù)學(xué)語言)?eq\f(求解,數(shù)學(xué)應(yīng)用)?eq\f(反饋,檢驗作答)(2)解題關(guān)鍵：解答這類問題的關(guān)鍵是確切地寫出相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答.例5(多選)(2024·山東部分學(xué)校聯(lián)考)某同學(xué)根據(jù)著名物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓的物體冷卻模型：若物體原來的溫度為θ0(單位：℃)，環(huán)境溫度為θ1(θ1<θ0，單位：℃)，物體的溫度冷卻到θ(θ>θ1，單位：℃)需用時t(單位：分鐘)，推導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系為t＝f(θ)＝eq\f(1,k)[ln(θ0－θ1)－ln(θ－θ1)]，k為正常數(shù).現(xiàn)有一壺開水(100℃)放在室溫為20℃的房間里，根據(jù)該同學(xué)推出的函數(shù)關(guān)系研究這壺開水冷卻的情況，則(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7)()A.函數(shù)關(guān)系θ＝θ1＋(θ0－θ1)ekt也可作為這壺開水的冷卻模型B.當(dāng)k＝eq\f(1,20)時，這壺開水冷卻到40℃大約需要28分鐘C.若f(60)＝10，則f(30)＝30D.這壺開水從100℃冷卻到70℃所需時間比從70℃冷卻到40℃所需時間短規(guī)律方法1.構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的失分點(1)不能選擇相應(yīng)變量得到函數(shù)模型；(2)構(gòu)建的函數(shù)模型有誤；(3)忽視函數(shù)模型中變量的實際意義.2.解決新概念信息題的關(guān)鍵(1)仔細審題，明確問題的實際背景，依據(jù)新概念進行分析；(2)有意識地運用轉(zhuǎn)化思想，將新問題轉(zhuǎn)化為我們所熟知的問題.訓(xùn)練3(2024·廣東名校聯(lián)考)某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為2.25g/m3，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.21g/m3，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量rn滿足函數(shù)模型rn＝r0＋(r1－r0)·30.25n＋t(t∈R，n∈N*)，其中r0為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，r1為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)，假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過0.25g/m3時符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A.15次 B.16次C.17次 D.18次【精準(zhǔn)強化練】一、單選題1.(2024·長沙質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零點所在的區(qū)間是()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)2.(2024·長治調(diào)研)函數(shù)f(x)＝log2(|x|－1)的大致圖象是()3.(2024·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)y＝log2(ax2－x)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.[1，＋∞)4.(2024·成都診斷)海水中的光照強度隨著深度增加而減弱，可用ID＝I0e－KD表示其總衰減規(guī)律，其中K是平均消光系數(shù)(也稱衰減系數(shù))，D(單位：米)是海水深度，ID(單位：坎德拉)和I0(單位：坎德拉)分別表示在深度D處和海面的光強.已知某海區(qū)10米深處的光強是海面光強的30%，則該海區(qū)消光系數(shù)K的值約為(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)()A.0.12 B.0.11C.0.07 D.0.015.(2024·昆明調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝a＋x＋lgx(1<x<10)有零點，則a的取值范圍為()A.(－10，－1) B.(1，10)C.(1，11) D.(－11，－1)6.(2024·合肥調(diào)研)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(1.2)，b＝log510，c＝log714，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.c<b<a7.(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函數(shù)y＝2x的圖象上兩個不同的點，則()A.log2eq\f(y1＋y2,2)<eq\f(x1＋x2,2) B.log2eq\f(y1＋y2,2)>eq\f(x1＋x2,2)C.log2eq\f(y1＋y2,2)<x1＋x2 D.log2eq\f(y1＋y2,2)>x1＋x28.設(shè)正實數(shù)a，b，c分別滿足eq\f(1,a)＝2a，eq\f(1,b)＝log2b，eq\f(1,c)＝log3c，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.a>c>b二、多選題9.(2024·昆明調(diào)研)下列計算正確的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up12(\f(1,2))－60－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(\f(1,3))＝－1B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－log27)＋ln(lne)＝7C.log23×log34＝log67D.lg25＋eq\f(2,3)lg8－lg200＋lg2＝010.(2024·唐山部分學(xué)校聯(lián)考)某大型商場開業(yè)期間為吸引顧客，推出“單次消費滿100元可參加抽獎”的活動，獎品為本商場現(xiàn)金購物卡，可用于以后在該商場消費.已知抽獎結(jié)果共分5個等級，等級x與購物卡的面值y(元)的關(guān)系式為y＝eax＋b＋k，三等獎比四等獎的面值多100元，比五等獎的面值多120元，且四等獎的面值是五等獎的面值的3倍，則()A.a＝－ln5B.k＝15C.一等獎的面值為3130元D.三等獎的面值為130元11.(2024·河南名校聯(lián)考)布勞威爾不動點定理是拓撲學(xué)里一個非常重要的不動點定理，該定理表明：對于一個拓撲空間中滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x)，在其定義域內(nèi)存在一個x0，使得f(x0)＝x0.現(xiàn)定義x0為函數(shù)f(x)的一個“不動點”.那么下列函數(shù)具有“不動點”的是()A.f(x)＝|lnx| B.f(x)＝x2＋2x＋1C.f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x＋1|，x≤0，,sinx，x>0)) D.f(x)＝ex＋2x三、填空題12.(2024·杭州調(diào)研)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)在[0，2]上單調(diào)遞減，f(x＋2)為偶函數(shù)，若f(x)＝m在[0，12]上恰好有4個不同的實數(shù)根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________.13.隨著經(jīng)濟的發(fā)展和社會的進步，人們的環(huán)保意識日益增強.某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為1.2mg/cm3，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少20%，當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.2mg/cm3，若要使該工廠的廢氣達標(biāo)排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為________.(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.477)14.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，當(dāng)x2>x1>0時，eq\f(f（x1）,x2)－eq\f(f（x2）,x1)>eq\f(ex1,x2)－eq\f(ex2,x1).若f(2)＝e2＋1，則lnxf(lnx)－xlnx>2的解集為________.【解析版】1.(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a答案B解析由函數(shù)y＝4.2x單調(diào)遞增可知，0<a<1<b，又c＝log4.20.2<0，故b>a>c，選B.2.(2023·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝e－(x－1)2.記a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))，則()A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b答案A解析y＝eu為R上的增函數(shù)，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.且f(x＋2)＝e－(x+1)2，f(－x)＝e－(－x－1)2＝e－(x+1)2，則f(x＋2)＝f(－x)，即f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))，又eq\f(\r(2),2)<2－eq\f(\r(6),2)<eq\f(\r(3),2)<1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，所以b>c>a，故選A.3.(2024·北京卷)生物豐富度指數(shù)d＝eq\f(S－1,lnN)是河流水質(zhì)的一個評價指標(biāo)，其中S，N分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)S沒有變化，生物個體總數(shù)由N1變?yōu)镹2，生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15，則()A.3N2＝2N1 B.2N2＝3N1C.Neq\o\al(2,2)＝Neq\o\al(3,1) D.Neq\o\al(3,2)＝Neq\o\al(2,1)答案D解析由題意，得eq\f(S－1,lnN1)＝2.1，eq\f(S－1,lnN2)＝3.15.若S不變，則2.1lnN1＝3.15lnN2，即2lnN1＝3lnN2，所以Neq\o\al(2,1)＝Neq\o\al(3,2).4.(2024·新高考Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax.當(dāng)x∈(－1，1)時，曲線y＝f(x)與y＝g(x)恰有一個交點.則a＝()A.－1 B.eq\f(1,2)C.1 D.2答案D解析由題意知f(x)＝g(x)，則a(x＋1)2－1＝cosx＋2ax，即cosx＝a(x2＋1)－1.令h(x)＝cosx－a(x2＋1)＋1.易知h(x)為偶函數(shù)，由題意知h(x)在(－1，1)上有唯一零點，所以h(0)＝0，即cos0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2，故選D.【熱點突破】熱點一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y＝x對稱，它們的圖象和性質(zhì)分0＜a＜1，a＞1兩種情況，著重關(guān)注兩個函數(shù)圖象的異同.2.冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，主要掌握α＝1，2，3，eq\f(1,2)，－1五種情況.例1(1)(2024·武漢調(diào)研)在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝loga(－x)，y＝eq\f(a－1,x)(a>0，且a≠1)的圖象可能是()(2)(多選)(2024·福州名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(1,4x)＋2，則下列說法正確的是()A.f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增B.f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱C.f(x)的圖象關(guān)于點(0，1)對稱D.不等式f(x＋1)<eq\f(25,4)的解集是(－2，0)答案(1)C(2)BD解析(1)因為函數(shù)y＝loga(－x)的圖象與函數(shù)y＝logax的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)y＝loga(－x)的圖象恒過定點(－1，0)，故選項A，B錯誤.當(dāng)a>1時，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝loga(－x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，而y＝eq\f(a－1,x)(a>1)在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故D錯誤，C正確.(2)對于A，當(dāng)x<0時，f′(x)＝4xln4－eq\f(1,4x)ln4＝(4x－4－x)ln4<0，所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，f(x)的定義域為R，f(－x)＝4－x＋eq\f(1,4－x)＋2＝eq\f(1,4x)＋4x＋2＝f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，故B正確；對于C，因為f(x)＋f(－x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(1,4x)))＋4>2，故函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點(0，1)對稱，故C錯誤；對于D，由f(x＋1)＝4x＋1＋eq\f(1,4x＋1)＋2<eq\f(25,4)，得(4x＋1)2－eq\f(17,4)·4x＋1＋1<0，則eq\f(1,4)<4x＋1<4，可得－1<x＋1<1，解得－2<x<0，因此不等式f(x＋1)<eq\f(25,4)的解集是(－2，0)，故D正確.故選BD.規(guī)律方法1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)會受底數(shù)a的影響，解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題時，首先要看底數(shù)a的取值范圍.2.基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是統(tǒng)一的，在解題中可相互轉(zhuǎn)化.訓(xùn)練1(1)(2024·上饒六校聯(lián)考)已知a＝log30.9，b＝0.30.4，c＝0.40.3，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.b<c<a B.a<b<cC.a<c<b D.b<a<c(2)(2024·寧波質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)（－x）＋4，－2≤x<0，,ax－1，x<－2))(a>0，a≠1)的值域是[3，＋∞)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.(1，2] D.[2，＋∞)答案(1)B(2)A解析(1)由y＝log3x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，知a＝log30.9<log31＝0，由y＝0.3x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，知0<b＝0.30.4<0.30.3，由y＝x0.3在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，知c＝0.40.3>0.30.3.故a<b<c，故選B.(2)法一當(dāng)－2≤x<0時，0<－x≤2，f(x)＝logeq\f(1,2)(－x)＋4≥3.若a>1，當(dāng)x<－2時，－1<f(x)＝ax－1<a－2－1，與函數(shù)f(x)的值域為[3，＋∞)不符.若0<a<1，當(dāng)x<－2時，f(x)＝ax－1>a－2－1，因為函數(shù)f(x)的值域為[3，＋∞)，所以a－2－1≥3，又0<a<1，所以0<a≤eq\f(1,2).綜上，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).故選A.法二當(dāng)－2≤x<0時，0<－x≤2，f(x)＝logeq\f(1,2)(－x)＋4≥3.若a＝eq\f(1,2)，當(dāng)x<－2時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2)－1＝3，所以f(x)的值域為[3，＋∞)，符合題意，排除C和D；若a＝eq\f(1,3)，當(dāng)x<－2時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－2)－1＝8，所以f(x)的值域為[3，＋∞)，符合題意，排除B，故選A.熱點二函數(shù)的零點判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：(1)利用零點存在定理判斷；(2)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根；(3)幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點或利用兩個函數(shù)圖象的交點求解.在利用函數(shù)性質(zhì)時，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.考向1函數(shù)零點的判斷例2(2024·重慶七校聯(lián)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，且當(dāng)x∈[－1，0]時，f(x)＝x2，函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，g(x)＝lgx，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點的個數(shù)是________.答案11解析因為f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x)＝f(x＋2)，則f(x)的周期為2，又f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[－1，0]時，f(x)＝x2，所以可利用f(x)的周期性與奇偶性作出f(x)的大致圖象，因為g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，g(x)＝lgx，所以函數(shù)y＝g(x)的大致圖象如圖所示.考慮特殊位置，當(dāng)x＝－1時，f(－1)＝1，g(－1)＝－g(1)＝－lg1＝0；當(dāng)x＝9時，f(9)＝f(1)＝f(－1)＝1，g(9)＝lg9<1；當(dāng)x＝11時，f(11)＝f(1)＝1，g(11)＝lg11>1，函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)即函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)圖象的交點個數(shù)，所以由圖象可知函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)圖象的交點個數(shù)為11(不要忽略原點).考向2求參數(shù)的值或取值范圍例3(2024·撫順聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－a－5，x≤0，,ln（x2－4x－a），x>0))恰有3個零點，則a的取值范圍為()A.(－5，－4) B.(－4，－3)C.(－5，－4] D.(－4，－3]答案A解析由f(x)＝0，得a＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－5，x≤0，,x2－4x－1，x>0，))作出g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－5，x≤0，,x2－4x－1，x>0))的圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)a∈(－5，－4]時，直線y＝a與函數(shù)g(x)的圖象有3個交點，從而f(x)有3個零點.又x2－4x－a>0對x>0恒成立，即a<x2－4x對x>0恒成立，即a<(x2－4x)min，x>0，當(dāng)x＝2時，y＝x2－4x，x>0取得最小值－4，所以a<－4，故a∈(－5，－4).故選A.考向3零點的代數(shù)式問題例4(多選)(2024·青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－4|，x>0，,x2＋4x＋3，x≤0，))函數(shù)g(x)＝f(x)＋a的四個零點分別為x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，則下列結(jié)論正確的是()A.0<a<3 B.x1＋x2＝－4C.x3＋x4<4 D.2x3＋4x4>20答案BCD解析f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－4|，x>0，,x2＋4x＋3，x≤0))的圖象如圖所示.g(x)＝f(x)＋a有四個零點x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，即g(x)＝f(x)＋a＝0有四個解，即y＝f(x)的圖象與直線y＝－a有四個交點，結(jié)合圖象可知0<－a<3，所以－3<a<0，故A錯誤.由圖可知x1＋x2＝－4，故B正確.當(dāng)x>0時，f(x)＝|2x－4|，因為|2x3－4|＝|2x4－4|，所以4－2x3＝2x4－4，即2x4＋2x3＝8，所以2x4＋2x3＝8>2eq\r(2x4·2x3)，即2x4＋x3<16＝24，所以x3＋x4<4，故C正確.又2x4＝8－2x3，所以2x3＋4x4＝2x3＋22x4＝2x3＋(8－2x3)2，令t＝2x3，t∈(1，4)，則2x3＋4x4＝t＋(8－t)2＝t2－15t＋64，令h(x)＝x2－15x＋64，x∈(1，4)，函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝eq\f(15,2)，所以函數(shù)h(x)＝x2－15x＋64在(1，4)上單調(diào)遞減，所以h(x)>h(4)＝20，即t2－15t＋64>20，所以2x3＋4x4>20，故D正確.故選BCD.規(guī)律方法利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法(1)直接法：利用零點存在定理構(gòu)建不等式確定參數(shù)的取值范圍；(2)分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.訓(xùn)練2(1)(2024·北京延慶調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－xeq\s\up6(\f(1,3))，那么在下列區(qū)間中含有零點的為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.(1，2)(2)(2024·海南質(zhì)檢)函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點個數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.3(3)(2024·南京、鹽城質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－8x＋8，x≥0，,2x＋4，x<0.))若互不相等的實數(shù)x1，x2，x3滿足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，則x1＋x2＋x3的范圍是()A.(2，8) B.(－8，4)C.(－6，0) D.(－6，8)答案(1)B(2)C(3)A解析(1)易知函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(\f(1,3))>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,3))<0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<0，由函數(shù)零點存在定理知在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))內(nèi)有零點.故選B.(2)函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點個數(shù)即函數(shù)f(x)＝ex與g(x)＝－x2－2x＋1的圖象的交點個數(shù)，分別作出f(x)＝ex與g(x)＝－x2－2x＋1的圖象，如圖所示，由圖可知，兩圖象有2個交點，故原函數(shù)有2個零點，故選C.(3)畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖.令x1<x2<x3.根據(jù)圖象可得x2＋x3＝8，當(dāng)2x1＋4＝－8時，x1＝－6，所以－6<x1<0，則x1＋x2＋x3的范圍是(2，8).故選A.熱點三函數(shù)模型及其應(yīng)用應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序和解題關(guān)鍵：(1)一般程序：eq\f(讀題,文字語言)?eq\f(建模,數(shù)學(xué)語言)?eq\f(求解,數(shù)學(xué)應(yīng)用)?eq\f(反饋,檢驗作答)(2)解題關(guān)鍵：解答這類問題的關(guān)鍵是確切地寫出相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答.例5(多選)(2024·山東部分學(xué)校聯(lián)考)某同學(xué)根據(jù)著名物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓的物體冷卻模型：若物體原來的溫度為θ0(單位：℃)，環(huán)境溫度為θ1(θ1<θ0，單位：℃)，物體的溫度冷卻到θ(θ>θ1，單位：℃)需用時t(單位：分鐘)，推導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系為t＝f(θ)＝eq\f(1,k)[ln(θ0－θ1)－ln(θ－θ1)]，k為正常數(shù).現(xiàn)有一壺開水(100℃)放在室溫為20℃的房間里，根據(jù)該同學(xué)推出的函數(shù)關(guān)系研究這壺開水冷卻的情況，則(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7)()A.函數(shù)關(guān)系θ＝θ1＋(θ0－θ1)ekt也可作為這壺開水的冷卻模型B.當(dāng)k＝eq\f(1,20)時，這壺開水冷卻到40℃大約需要28分鐘C.若f(60)＝10，則f(30)＝30D.這壺開水從100℃冷卻到70℃所需時間比從70℃冷卻到40℃所需時間短答案BCD解析對于A，由t＝f(θ)＝eq\f(1,k)[ln(θ0－θ1)－ln(θ－θ1)]，得kt＝lneq\f(θ0－θ1,θ－θ1)，所以eq\f(θ0－θ1,θ－θ1)＝ekt，故θ＝θ1＋(θ0－θ1)eq\f(1,ekt).A錯誤.對于B，由題意可知t＝f(θ)＝eq\f(1,k)[ln(100－20)－ln(θ－20)]＝eq\f(1,k)lneq\f(80,θ－20)，t＝20lneq\f(80,40－20)＝20ln4＝40ln2≈40×0.7＝28，B正確.對于C，由f(60)＝10，得eq\f(1,k)lneq\f(80,40)＝10，即k＝eq\f(ln2,10)，則f(30)＝eq\f(10,ln2)·lneq\f(80,30－20)＝eq\f(10,ln2)ln8＝30，C正確.對于D，設(shè)這壺開水從100℃冷卻到70℃所需時間為t1分鐘，則t1＝eq\f(1,k)lneq\f(80,70－20)＝eq\f(1,k)(ln8－ln5)，設(shè)這壺開水從70℃冷卻到40℃所需時間為t2分鐘，則t2＝eq\f(1,k)lneq\f(70－20,40－20)＝eq\f(1,k)(ln5－ln2)，因為t1－t2＝eq\f(1,k)(ln8＋ln2－2ln5)＝eq\f(1,k)lneq\f(16,25)<0，所以t1<t2，D正確.故選BCD.規(guī)律方法1.構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的失分點(1)不能選擇相應(yīng)變量得到函數(shù)模型；(2)構(gòu)建的函數(shù)模型有誤；(3)忽視函數(shù)模型中變量的實際意義.2.解決新概念信息題的關(guān)鍵(1)仔細審題，明確問題的實際背景，依據(jù)新概念進行分析；(2)有意識地運用轉(zhuǎn)化思想，將新問題轉(zhuǎn)化為我們所熟知的問題.訓(xùn)練3(2024·廣東名校聯(lián)考)某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為2.25g/m3，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.21g/m3，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量rn滿足函數(shù)模型rn＝r0＋(r1－r0)·30.25n＋t(t∈R，n∈N*)，其中r0為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，r1為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)，假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過0.25g/m3時符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A.15次 B.16次C.17次 D.18次答案B解析由題意知r0＝2.25g/m3，r1＝2.21g/m3，當(dāng)n＝1時，r1＝r0＋(r1－r0)×30.25＋t，故30.25＋t＝1，t＝－0.25，故rn＝2.25－0.04×30.25(n－1)，由rn≤0.25得30.25(n－1)≥50，即0.25(n－1)≥log350＝eq\f(lg50,lg3)，則n≥eq\f(4（2－lg2）,lg3)＋1≈15.17，而n∈N*，故n≥16，故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要16次，故選B.【精準(zhǔn)強化練】一、單選題1.(2024·長沙質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零點所在的區(qū)間是()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)答案C解析因為函數(shù)f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)最多只有一個零點.因為f(0)＝5－lg1＝5>0，f(1)＝3－lg3>0，f(2)＝1－lg5>0，f(3)＝－1－lg7<0，所以函數(shù)f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零點所在的區(qū)間是(2，3).故選C.2.(2024·長治調(diào)研)函數(shù)f(x)＝log2(|x|－1)的大致圖象是()答案B解析f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞).易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，排除C，D；當(dāng)x>1時，f(x)是增函數(shù)，排除A.故選B.3.(2024·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)y＝log2(ax2－x)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.[1，＋∞)答案D解析令t=ax2－x因為函數(shù)y＝log2(ax2－x)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)y＝log2(ax2－x)在區(qū)間(1，2)上有意義，且t＝ax2－x在(1，2)上單調(diào)遞增，所以a≠0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(1,2a)≤1，,a－1≥0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(1,2a)≥2，,a－1≥0，))解得a≥1，所以a的取值范圍為[1，＋∞).故選D.4.(2024·成都診斷)海水中的光照強度隨著深度增加而減弱，可用ID＝I0e－KD表示其總衰減規(guī)律，其中K是平均消光系數(shù)(也稱衰減系數(shù))，D(單位：米)是海水深度，ID(單位：坎德拉)和I0(單位：坎德拉)分別表示在深度D處和海面的光強.已知某海區(qū)10米深處的光強是海面光強的30%，則該海區(qū)消光系數(shù)K的值約為(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)()A.0.12 B.0.11C.0.07 D.0.01答案A解析由題意得，30%I0＝I0e－10K，即30%＝e－10K，兩邊取自然對數(shù)得，－10K＝ln3－ln10＝ln3－ln2－ln5，所以K＝eq\f(ln2＋ln5－ln3,10)≈eq\f(0.7＋1.6－1.1,10)＝0.12.故選A.5.(2024·昆明調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝a＋x＋lgx(1<x<10)有零點，則a的取值范圍為()A.(－10，－1) B.(1，10)C.(1，11) D.(－11，－1)答案D解析因為函數(shù)y＝x＋a與y＝lgx均在(1，10)上單調(diào)遞增，所以f(x)＝a＋x＋lgx在(1，10)上單調(diào)遞增.若函數(shù)f(x)＝a＋x＋lgx(1<x<10)有零點，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,a＋11>0，))解得－11<a<－1.故選D.6.(2024·合肥調(diào)研)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(1.2)，b＝log510，c＝log714，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.c<b<a答案D解析由題意可得b＝log510＝1＋log52＝1＋eq\f(lg2,lg5)，c＝log714＝1＋log72＝1＋eq\f(lg2,lg7).因為0<lg5<lg7，所以eq\f(lg2,lg5)>eq\f(lg2,lg7)，則b>c.由于5eq\f(3,2)＝5eq\r(5)>5×2＝10，所以eq\f(3,2)>log510，而a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(1.2)>eq\f(3,2)，故a>b，所以c<b<a.7.(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函數(shù)y＝2x的圖象上兩個不同的點，則()A.log2eq\f(y1＋y2,2)<eq\f(x1＋x2,2) B.log2eq\f(y1＋y2,2)>eq\f(x1＋x2,2)C.log2eq\f(y1＋y2,2)<x1＋x2 D.log2eq\f(y1＋y2,2)>x1＋x2答案B解析因為(x1，y1)，(x2，y2)為函數(shù)y＝2x的圖象上兩個不同的點，所以y1＝2x1，y2＝2x2，且x1≠x2，則2x1≠2x2，所以y1＋y2＝2x1＋2x2>2eq\r(2x1·2x2)＝2eq\r(2x1＋x2)，所以eq\f(y1＋y2,2)>eq\r(2x1＋x2)>0，所以log2eq\f(y1＋y2,2)>log2eq\r(2x1＋x2)＝eq\f(x1＋x2,2)，故選B.8.設(shè)正實數(shù)a，b，c分別滿足eq\f(1,a)＝2a，eq\f(1,b)＝log2b，eq\f(1,c)＝log3c，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.a>c>b答案C解析在同一坐標(biāo)系中，作出y＝2x，y＝eq\f(1,x)，y＝log2x，y＝log3x的圖象，由圖象得c>b>a.二、多選題9.(2024·昆明調(diào)研)下列計算正確的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up12(\f(1,2))－60－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(\f(1,3))＝－1B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－log27)＋ln(lne)＝7C.log23×log34＝log67D.lg25＋eq\f(2,3)lg8－lg200＋lg2＝0答案ABD解析對于A，原式＝eq\f(3,2)－1－eq\f(3,2)＝－1，所以A正確；對于B，原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(log\s\do1(\f(1,2))7)＋ln(lne)＝7＋ln1＝7，所以B正確；對于C，原式＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg22,lg3)＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(2lg2,lg3)＝2，所以C錯誤；對于D，原式＝lg52＋eq\f(2,3)lg23－lg200＋lg2＝2(lg5＋lg2)－lgeq\f(200,2)＝2－2＝0，所以D正確.故選ABD.10.(2024·唐山部分學(xué)校聯(lián)考)某大型商場開業(yè)期間為吸引顧客，推出“單次消費滿100元可參加抽獎”的活動，獎品為本商場現(xiàn)金購物卡，可用于以后在該商場消費.已知抽獎結(jié)果共分5個等級，等級x與購物卡的面值y(元)的關(guān)系式為y＝eax＋b＋k，三等獎比四等獎的面值多100元，比五等獎的面值多120元，且四等獎的面值是五等獎的面值的3倍，則()A.a＝－ln5B.k＝15C.一等獎的面值為3130元D.三等獎的面值為130元答案ACD解析由題意可知，四等獎比五等獎的面值多20元，所以eq\f(（e3a＋b＋k）－（e4a＋b＋k）,（e4a＋b＋k）－（e5a＋b＋k）)＝e－a＝eq\f(100,20)＝5，則a＝－ln5，故A正確.由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因為四等獎的面值是五等獎的面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B錯誤.三等獎的面值為e3a＋b＋k＝125＋5＝130元，故D正確.由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3130，故一等