專題01 空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題(典型題型歸類訓練)解析版

專題01空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：內(nèi)切球等體積法 3題型二：內(nèi)切球獨立截面法 8題型三：外接球公式法 12題型四：外接球補型法 13題型五：外接球單面定球心法 16題型六：外接球雙面定球心法 20三、專項訓練 24一、必備秘籍1．球與多面體的接、切定義1；若一個多面體的各頂點都在一個球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是多面體的外接球。定義2；若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是多面體的內(nèi)切球。類型一球的內(nèi)切問題（等體積法）例如：在四棱錐中，內(nèi)切球為球，求球半徑.方法如下：即：，可求出.類型二球的外接問題1、公式法正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點2、補形法（補長方體或正方體）①墻角模型（三條線兩個垂直）題設：三條棱兩兩垂直（重點考察三視圖）②對棱相等模型（補形為長方體）題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，，）3、單面定球心法（定+算）步驟：①定一個面外接圓圓心：選中一個面如圖：在三棱錐中，選中底面，確定其外接圓圓心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角形用正弦定理定外心）；②過外心做（找）底面的垂線，如圖中面,則球心一定在直線（注意不一定在線段上）上；③計算求半徑:在直線上任取一點如圖：則，利用公式可計算出球半徑.4、雙面定球心法（兩次單面定球心）如圖：在三棱錐中：①選定底面，定外接圓圓心②選定面，定外接圓圓心③分別過做面的垂線，和做面的垂線，兩垂線交點即為外接球球心.二、典型題型題型一：內(nèi)切球等體積法1．（22·23·全國·專題練習）正三棱錐P﹣ABC的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（）A．1：3 B．1： C． D．【答案】D【詳解】三棱錐擴展為長方體（本題實質(zhì)上是正方體），它的對角線的長度，就是球的直徑，設側(cè)棱長為a，則它的對角線的長度為a，外接球的半徑為，再設正三棱錐內(nèi)切球的半徑為r，正三棱錐底面邊長為，設是內(nèi)切球球心，則到棱錐四個面的距離都等于，根據(jù)三棱錐的體積的兩種求法，得，，∴該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為．故選：D．2．（22·23下·朔州·階段練習）正四面體的內(nèi)切球、棱切球(與各條棱均相切的球)及外接球的半徑之比為．【答案】【詳解】設正四面體的棱長為1，外接球和內(nèi)切球半徑分別為，如圖所示，為的中點，，

由正四面體的性質(zhì)可知線段為正四面體的高，在正中，，同理，在正中，，則，，所以，則，由正四面體的性質(zhì)知，三個球的球心重合，且球心在線段上，則，，所以，故，而棱切球與棱相切，故其半徑為，則正四面體的內(nèi)切球、棱切球及外接球的半徑之比為.故答案為：.3．（23·24上·萍鄉(xiāng)·期末）已知球O是棱長為1的正四面體的內(nèi)切球，AB為球O的一條直徑，點P為正四面體表面上的一個動點，則的取值范圍為.【答案】【詳解】如圖所示，在邊長為1的正四面體中，設四面體內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球半徑為，取中點為，則,,所以，因為，所以，所以，因為點P為正四面體表面上的一個動點，所以，即，因為,因為為球O的一條直徑，所以,所以，因為，所以，所以，故答案為:.4．（22·23上·張家口·期中）球O為正四面體的內(nèi)切球，，是球O的直徑，點M在正四面體的表面運動，則的最大值為．【答案】/【詳解】如圖，為中點，為中心，平面，設球O的半徑為r，，正四面體中，易求得所以正四面體的高為，所以根據(jù)體積公式得：，解得，因為點M在正四面體的表面運動，所以，所以．故答案為：．5．（22·23上·河南·階段練習）已知正四面體的棱長為12，球內(nèi)切于正四面體是球上關于球心對稱的兩個點，則的最大值為.【答案】【詳解】設點在平面內(nèi)的射影為，點在平面內(nèi)的射影為，點在平面內(nèi)的射影為，如圖1.因為正四面體的棱長為12，所以.設球的半徑為.因為，所以，則.，當且僅當時，等號成立.過點作，垂足為，過點作，垂足為，過點作，垂足為，如圖2.圓的半徑為是關于點對稱的兩個點，且..，當且僅當直線與圓相切時，等號成立.，當且僅當時，等號成立.因為以上取等條件可以同時成立，所以.6．（22·23上·揚州·期中）中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”的底面是邊長為3的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長為4，則該“陽馬”的內(nèi)切球表面積為，內(nèi)切球的球心和外接球的球心之間的距離為．【答案】/【詳解】如圖，為正方形，設垂直于平面，由題，，因為，，所以平面ADP，所以，為直角三角形，由題，，四棱錐表面積，體積，設內(nèi)切球半徑為r，則，得，內(nèi)切球表面積為；以DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標系，因為內(nèi)切球半徑，所以內(nèi)切球球心，因為該四棱錐可以補全為棱長分別為3，3，4的長方體，所以外接球球心，兩點間距離.故答案為：；題型二：內(nèi)切球獨立截面法1．（23·24上·淮安·開學考試）球是圓錐的內(nèi)切球，若球的半徑為，則圓錐體積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如下圖所示：

取圓錐的軸截面，設，則，則，則，所以，該圓錐的體積為，令，令，其中，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當時，取最小值，即.故選：C.2．（22·23下·咸寧·期末）已知球內(nèi)切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺的上、下底面半徑，則圓臺的體積與球的體積之比為（

）

A． B． C．2 D．【答案】B【詳解】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設圓與梯形的腰相切于點，與上、下底的分別切于點，，設球的半徑為，圓臺上下底面的半徑為，.注意到與均為角平分線，因此，從而，故.設臺體體積為，球體體積為，則.故選：B

3．（22·23·全國·專題練習）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為，當該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為.【答案】2:1/2【詳解】設圓錐的高為，底面半徑為，則當圓錐體積最小時，如圖，由可得：，即，進而，圓錐的體積．當且僅當，即時取等號．該圓錐體積的最小值為．內(nèi)切球體積為．該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比．故答案為：2：1

4．（23·24上·佛山·開學考試）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的體積為，當該圓錐體積取最小值時，該圓錐的表面積為．【答案】.【詳解】設圓錐的內(nèi)切球的半徑為，可得，解得，再設圓錐的底面圓的半徑為，高為，如圖所示，由，可得，即，解得，所以圓錐的體積，當且僅當時，即時，等號成立，此時，母線長為，此時圓錐的表面積為.故答案為：.

5．（22·23下·成都·階段練習）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為.【答案】【詳解】如圖，作出該圓錐與其內(nèi)切球的軸截面圖形，

設該內(nèi)切球的球心為，內(nèi)切球的半徑為，為切點，所以，，由已知得，，所以，在中，，即，解得，所以，該圓錐的內(nèi)切球表面積為故答案為：.題型三：外接球公式法1．（16·17·全國·單元測試）若長方體從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為3,4,5,則該長方體的外接球表面積為()A．50π B．100π C．150π D．200π【答案】A【詳解】∵長方體從同一頂點出發(fā)的三條棱的長分別為3，4，5，∴長方體的對角線長為：，∵長方體的對角線長恰好是外接球的直徑∴球半徑為，可得球的表面積為．故選A．2．（22·23·全國·專題練習）設球是棱長為4的正方體的外接球，過該正方體的棱的中點作球的截面，則最小截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】正方體的體對角線長為，所以球的半徑為，正方體的棱的中點與的距離為，最小截面的圓的半徑為，最小截面的面積為.故選：B3．（14·15上·佛山·階段練習）正方體的外接球（正方體的八個頂點都在球面上）與其內(nèi)切球（正方體的六個面都與球相切）的體積之比是．【答案】【詳解】設正方體的棱長為,則外接球的半徑為,內(nèi)切球的半徑為所以正方體的外接球和內(nèi)切球的體積比為故答案為：題型四：外接球補型法1．（23·24上·成都·開學考試）在三棱錐中，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意，兩兩相互垂直，以為邊補成一個正方體，其外接球就是三棱錐的外接球，，表面積，

故選:B2．（22·23下·揭陽·期中）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以可以將三棱錐如圖放置于一個長方體中，如圖所示：

設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則有，整理得，則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑，所以有，所以所求的球體表面積為：．故選：A．3．（23·24上·成都·開學考試）已知四面體滿足，，，且該四面體的外接球的表面積是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】將四面體放入長方體中，如圖，則四面體的外接球，即為長方體的外接球，設長方體中，則，三式相加得，故，所以四面體的外接球半徑為，故四面體的外接球表面積為.故選：B4．（22·23下·黔西·階段練習）正三棱錐的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為.【答案】【詳解】由題意，正三棱錐可補形稱正方體，如下圖：

則三棱錐的外接球為正方體的外接球，設正方體的棱長為，則外接球半徑，在正三棱錐中，，易知為等邊三角形，由勾股定理可得：，則其面積，故正三棱錐的表面積，其體積，設三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，則.故答案為：.5．（22·23下·黔西·期中）如圖，已知在三棱錐中，，，且，求該三棱錐外接球的表面積是．

【答案】【詳解】設三棱錐外接球的外接球的半徑為，由題意可將三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體，長、寬、高分別為2、1、1，則長方體的體對角線為外接球的直徑，即，所以該三棱錐外接球的表面積為.故答案為：.

題型五：外接球單面定球心法1．（23·24上·漢中·模擬預測）如圖，在三棱錐中，平面為外接圓的圓心，為三棱錐外接球的球心，，則三棱錐的外接球的表面積為．

【答案】【詳解】根據(jù)題意可知，設外接圓的半徑為，在中由正弦定理可知，解得，即；易知三棱錐外接球的球心在的正上方，且平面；又平面，所以；因為平面，可得，又，所以可得四邊形是矩形，即；設，三棱錐外接球的半徑為，由勾股定理可得，解得；所以可得三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：2．（23·24上·秦皇島·開學考試）三棱錐中，在底面的射影為的內(nèi)心，若，，則四面體的外接球表面積為.【答案】【詳解】三棱錐底面為直角三角形，為內(nèi)心，

由，可得，以為坐標原點，分別為軸建立平面直角坐標系，如下圖所示：

設內(nèi)切圓半徑，易知的周長為，面積為；由等面積可得，解得；設四面體外接球球心為，所以易知在平面射影為中點，易知，則，設，則，且，即，解得，則四面體的外接球表面積為.故答案為：3．（22·23下·石家莊·階段練習）已知球是正四面體的外接球，為棱的中點，是棱上的一點，且，則球與四面體的體積比為.【答案】【詳解】如圖，正四面體中，頂點在底面的射影為，球心在上，設正四面體的棱長為，可得，則正四面體高，設外接球半徑為，在直角三角形中，，即，解得，令，在中，由余弦定理得①，同理，在中，由余弦定理得②由題設，解得，由于到平面的距離與到平面的距離相等，都等于，，故，，所以.故答案為：.

4．（22·23下·淄博·期末）已知四棱錐的底面是矩形，側(cè)面為等邊三角形，平面平面，其中，，則四棱錐的外接球表面積為.【答案】【詳解】記AD的中點為，連接，連接EF，設外接圓的圓心為，半徑為，所求外接球球心為，半徑為，連接，如圖，

因為為等邊三角形，，所以圓的半徑，因為為等邊三角形，是AD的中點，所以，因為平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，因為底面ABCD是矩形，所以是底面ABCD外接圓的圓心，故平面ABCD，所以，同理，所以四邊形是矩形，所以，所以球的半徑，所以外接球的表面積為．故答案為：．題型六：外接球雙面定球心法1．（22·23上·撫州·期中）已知菱形的各邊長為.如圖所示，將沿折起，使得點到達點的位置，連接，得到三棱錐，此時.若是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持則點的軌跡的面積為.

【答案】【詳解】取中點，連接，則，，平面，所以平面，又因為，則，作于，設點軌跡所在平面為，則平面經(jīng)過點，且，設三棱錐外接球的球心為，半徑為，的中心分別為，可知平面平面，且四點共面，由題可得，在Rt中，可得，又因為，則，易知到平面的距離，故平面截外接球所得截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為.故答案為：.

2．（22·23·贛州·模擬預測）如圖，正三角形ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點，其中，把沿著DE翻折至的位置，得到四棱錐，則當四棱錐的體積最大時，四棱錐外接球的球心到平面的距離為.

【答案】/【詳解】

由題意可知，當平面平面時，四棱錐的體積最大，如圖所示，取的中點，連接，則，又平面平面，平面，所以平面.則的外接圓的圓心位于且靠近點的三等分點處，設的中點為，連接，則，所以為四邊形的外接圓的圓心，過作平面的垂線，過作平面的垂線，則兩垂線的交點即為四棱錐的外接球的球心，連接，則四邊形為矩形，所以，連接，在中，.設四棱錐的外接球的半徑為，則.連接，，，，，連接，則，所以外接圓的圓心在上，令其半徑為，在中，，所以，即，解得，設四棱錐外接球的球心到平面的距離為，所以，即，解得，故四棱錐外接球的球心到平面的距離為.故答案為：3．（22·23下·湖南·期末）為加強學生對平面圖形翻折到空間圖形的認識，某數(shù)學老師充分利用習題素材開展活動，現(xiàn)有一個求外接球表面積的問題，活動分為三個步驟，第一步認識平面圖形：如圖（一）所示的四邊形中，，，，.第二步：以為折痕將折起，得到三棱錐，如圖（二）.第三步：折成的二面角的大小為，則活動結(jié)束后計算得到三棱錐外接球的表面積為.

【答案】/【詳解】從第一步活動中可知是邊長為2的正三角形，第二步活動中可知三棱錐外接球的球心是過底面外心的平面的垂線，與過外心的平面的垂線的交點，如圖：

因為正三角形，所以的外心為的中心，因為以為斜邊的直角三角形，所以的外心為的中點，三棱錐外接球的球心為，因，，所以,,故為二面角的一個平面角，所以，因為正三角形，所以，因平面，平面，所以，即，所以，所以，所以，設外接球的半徑為，所以，所以外接球的表面積為.故答案為：.三、專項訓練一、單選題1．（22·23下·河南·模擬預測）已知直六棱柱的所有棱長均為2，且其各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題知，如圖所示：

直六棱柱的各頂點都在同一球面上，則底面六邊形的所有頂點都在同一個圓上，因為底面六邊形的邊長均為2，所以底面六邊形必為正六邊形，且由幾何關系易知底面所在圓的直徑為，又因為直六棱柱的側(cè)棱長為2，故直六棱柱外接球的直徑為，所以球半徑，所以球的表面積.故選：B.2．（22·23下·寧德·期中）正四面體ABCD的外接球的半徑為2，過棱AB作該球的截面，則截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，面積最小的截面是以為直徑的截面，將四面體放置于正方體中，可得正方體的外接球就是四面體的外接球，設，則正方體棱長為，故，可求得，進而截面面積的最小值為．故選：C

3．（23·24上·河北·開學考試）長方體的一個頂點上三條棱長是3，4，5，且它的八個頂點都在同一球面上，這個球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設球的半徑為，由題意可知球的直徑即是長方體的體對角線，則，解得；所以.故選：A4．（22·23下·臨夏·期末）已知四棱錐的體積為，側(cè)棱底面，且四邊形是邊長為2的正方形，則該四棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意四棱錐的體積為，側(cè)棱底面，且四邊形是邊長為2的正方形，得,

設O為PC的中點，E為的交點，連接，則E為的中點，故,且因為底面，故平面，平面，故，而四邊形是邊長為2的正方形，故，故,則，又，故，同理求得，即，故O為四棱錐的外接球的球心，則半徑為，則該四棱錐的外接球的表面積為，故選：A5．（23·24上·廣東·階段練習）如圖，在邊長為2的正方形中，分別是的中點，將，，分別沿，，折起，使得三點重合于點，若三棱錐的所有頂點均在球的球面上，則球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意可得，且，所以三棱錐可補成一個長方體，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，如圖所示，

設長方體的外接球的半徑為，可得，所以，所以外接球的表面積為，故選：C6．（23·24上·安徽·開學考試）在封閉的等邊圓錐（軸截面為等邊三角形）內(nèi)放入一個球，若球的最大半徑為1，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】

由題意，等邊三角形的內(nèi)切圓的圓心也是三角形的重心，所以得高為，設底面半徑為r，由已知得，故體積為.故選：A7．（23·24上·莆田·階段練習）三棱錐中，是邊長為的正三角形，為中點且，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題設易得，則，即，又，，面，則面，若的中心為，則外接球球心在過垂直于面的直線上，

又，結(jié)合線面垂直模型知：外接球的半徑，所以，外接球表面積為.故選：B8．（22·23·九江·一模）三棱錐中，與均為邊長為的等邊三角形，若平面平面，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】

解：如圖，取中點，連接，，則，，因為平面平面，所以可得平面，平面，取的外心，的外心，分別過作平面與平面的垂線交于點，即為球心，連接，易得，，，.故選：B.二、填空題9．（23·24·柳州·模擬預測）已知圓錐的底面直徑為，軸截面為正三角形，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.【答案】/【詳解】依題意，圓錐內(nèi)半徑最大的球為圓錐內(nèi)切球，如圖作出軸截面，圓O和AC相切于點D，

因為是正三角形，所以，，，設內(nèi)切球半徑為R，在中可得，，所以，解得，球的體積為.故答案為：.10．（22·23·唐山·二模）已知某圓臺的上、下底面的圓周在同一球的球面上，且圓臺上底面半徑為1，下底面半徑為2，軸截面的面積為3，則該圓臺的外接球的體積為．【答案】【詳解】設圓臺高為h，由題意得，．當圓臺的上下底面圓在球心的同側(cè)時，如下圖所示：

設該圓臺下底面圓心到外接球的球心的距離為，，外接球的半徑為，由，則，得，，該圓臺外接球的體積為．當當圓臺的上下底面圓在球心的異側(cè)時，如下圖所示：

設該圓臺下底面圓心到外接球的球心的距離為，，外接球的半徑為，由，則，得舍去，綜