中考數(shù)學二輪培優(yōu)題型訓練壓軸題04二次函數(shù)的應用大題專練（七大類型）（原卷版）

專題04二次函數(shù)的應用大題專練（七大類型）類型一、銷售問題例1．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺相關(guān)政策，本市企業(yè)提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)生自主銷售，政府還給予大學畢業(yè)生一定補貼．已知某種品牌服裝的成本價為每件100元，每件政府補貼20元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=?3x+900．(1)若第一個月將銷售單價定為160元，政府這個月補貼多少元?(2)設(shè)獲得的銷售利潤（不含政府補貼）為w（元），當銷售單價為多少元時，每月可獲得最大銷售利潤?(3)若每月獲得的總收益（每月總收益=每月銷售利潤+每月政府補貼）不低于28800元，求該月銷售單價的最小值．類型二、圖形面積問題例2．（2023春·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期中）春回大地，萬物復蘇，又是一年花季到．某花圃基地計劃將如圖所示的一塊長40m，寬20m的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域．其中一塊正方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動區(qū)，其余空地為種植區(qū)，分別種植A，B，C三種花卉．活動區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬，另一邊長是10m．A，B，C三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元、4百元．(1)設(shè)育苗區(qū)的邊長為xm，用含x的代數(shù)式表示下列各量：花卉A的種植面積是_____m2，花卉B的種植面積是______m2，花卉C的種植面積是_______(2)育苗區(qū)的邊長為多少時，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等？(3)若花卉A與B的種植面積之和不超過560m2，求A，B，類型三、拱橋問題例3．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考一模）如圖，國家會展中心大門的截面圖是由拋物線ADB和矩形OABC構(gòu)成.矩形OABC的邊OA=34米，OC=9米，以O(shè)C所在的直線為x軸，以O(shè)A所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，拋物線頂點D的坐標為(1)求此拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)近期需對大門進行粉刷，工人師傅搭建一木板OM，點M正好在拋物線上，支撐MN⊥x軸，ON=7.5米，點E是OM上方拋物線上一動點，且點E的橫坐標為m，過點E作x軸的垂線，交OM于點F.①求EF的最大值.②某工人師傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是125類型四、投球問題例4．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）某天，小明在足球場上練習“落葉球”（如圖1），足球運動軌跡是拋物線的一部分，如圖2，足球起點在A處，正對一門柱CD，距離AC=12m，足球運動到B的正上方，到達最高點2.5m，此時AB=10m．球門寬DE=5m(1)以水平方向為x軸，A為原點建立坐標系，求足球運動軌跡拋物線的函數(shù)表達式．(2)請判斷足球能否進球網(wǎng)？并說明理由．(3)小明改變踢球方向，踢球時，保持足球運動軌跡拋物線形狀不變的前提下，足球恰好在點E處進入球網(wǎng)．若離A點8m處有人墻GH，且GH∥CF，人起跳后最大高度為2.2m，請?zhí)角蟠藭r足球能否越過人墻，并說明理由．類型五、噴水問題例5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）如圖①，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度OH=1.5米．如圖②，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE=2米，豎直高度EF=1米．下邊緣拋物線可以看作由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.5米，灌溉車到l的距離OD為d米．(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)表達式，并求噴出水的最大射程OC；(2)求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶（即矩形DEFC位于上邊緣拋物線和下邊緣拋物線所夾區(qū)域內(nèi)），求d的取值范圍．類型六、幾何動點問題例6．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，AD=10cm，點P、Q分別是線段CD和AD上的動點．點P以2cm/s的速度從點D向點C運動，同時點Q以1cms的速度從點A向點D運動，當其中一點到達終點時，兩點停止運動，將PQ沿AD(1)當t為何值時，PQ∥AC？(2)求四邊形BCPQ的面積Scm2關(guān)于時間(3)是否存在某時刻t，使點Q在∠PP'D類型七、圖形運動問題7．（2023·天津·校聯(lián)考一模）在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形AOBC是正方形，頂點A?4，0，點B在y軸正半軸上，點C在第二象限，△MON的頂點M(1)如圖①，求點B，(2)將正方形AOBC沿x軸向右平移，得到正方形A'O'B'C'，點A，O，B，C的對應點分別為A'，①如圖②，當1<t≤4時，正方形A'O'B'C'與△MON重合部分為五邊形，直線B'C'分別與y軸，MN交于點E，②若平移后重合部分的面積為92，則t一．解答題（共24小題）1．（2023?寧波一模）抗擊疫情期間，某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8≤x≤15，且x為整數(shù)），部分對應值如下表：每件售價（元）91113每天的銷售量（件）1059585（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元．（3）設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），問：當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？2．（2023?萊西市一模）某公司電商平臺經(jīng)銷一種益智玩具，先用3000元購進一批．售完后，第二次購進時，每件的進價提高了20%，同樣用3000元購進益智玩具的數(shù)量比第一次少了25件．銷售時經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種益智玩具的周銷售量y（件）是關(guān)于售價x（元/件）的一次函數(shù)，如表僅列出了該商品的售價x（元/件），周銷售量y（件）的三組對應值數(shù)據(jù)．x407090y1809030（1）求第一次每件玩具的進價；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）售價x為多少時，第一周的銷售利潤W最大？并求出此時的最大利潤．3．（2023?天山區(qū)一模）一名高校畢業(yè)生響應國家創(chuàng)業(yè)號召，回鄉(xiāng)承包了一個果園，并引進先進技術(shù)種植一種優(yōu)質(zhì)水果，經(jīng)核算這批水果的種植成本為16元/千克、設(shè)銷售時間為x（天），通過一個月（30天）的試銷，該種水果的售價P（元/千克）與銷售時間x（天）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系（其中0≤x≤30，且x為整數(shù)）．已知該種水果第一天銷量為60千克，以后每天比前一天多售出4千克．（1）直接寫出售價P（元/千克）與銷售時間x（天）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求試銷第幾天時，當天所獲利潤最大，最大利潤是多少？4．（2023?武漢模擬）某市新建了一座室內(nèi)滑雪場，該滑雪場地面積雪厚達40cm，整個賽道長150m，全天共可容納約3300人滑雪嬉戲．小明和小華相約去體驗滑雪，小明從賽道頂端A處下滑，測得小明離A處的距離s（單位：m）隨運動時間x（單位：s）變化的數(shù)據(jù)，整理得下表．滑行時間x/s01234滑行距離s/m06142436經(jīng)驗證小明離A處的距離s與運動時間x之間是二次函數(shù)關(guān)系．小明出發(fā)的同時，小華在距賽道終點30m的B處操控一個無人機沿著賽道方向以2m/s的速度飛向小明，無人機離A處的距離y（單位：m）與運動時間x（單位：s）之間是一次函數(shù)關(guān)系．（1）直接寫出s關(guān)于x的函數(shù)解析式和y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）小明滑完整個賽道需要耗時多久？（3）小明出發(fā)多久后與無人機相遇？?5．（2023?邯鄲模擬）將小球（看作一點）以速度v1豎直上拋，上升速度隨時間推移逐漸減少直至為0，此時小球達到最大高度，小球相對于拋出點的高度y（m）與時間t（s）的函數(shù)解析式為兩部分之和，其中一部分為速度v1（m/s）與時間t（s）的積，另一部分與時間t（s）的平方成正比．若上升的初始速度v1＝10m/s，且當t＝1s時，小球達到最大高度．?（1）求小球上升的高度y與時間t的函數(shù)關(guān)系式（不必寫范圍），并寫出小球上升的最大高度；（2）如圖，平面直角坐標系中，y軸表示小球相對于拋出點的高度，x軸表示小球距拋出點的水平距離，向上拋出小球時再給小球一個水平向前的均勻速度v2（m/s），發(fā)現(xiàn)小球運動的路線為一拋物線，其相對于拋出點的高度y（m）與時間t（s）的函數(shù)解析式與（1）中的解析式相同．①若v2＝5m/s，當t=32s時，小球的坐標為，小球上升的最高點坐標為；求小球上升的高度y②在小球的正前方的墻上有一高3536m的小窗戶PQ，其上沿P的坐標為（6，154），若小球恰好能從窗戶中穿過（不包括恰好去中點P，Q，墻厚度不計），請直接寫出小球的水平速度6．（2023?嶗山區(qū)一模）跳臺滑雪簡稱“跳雪”，選手不借助任何外力、從起滑臺P處起滑，在助滑道PE上加速，從跳臺E處起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．運動員從P點起滑，沿滑道加速，到達高度OE＝42m的E點后起跳，運動員在空中的運動軌跡是一條拋物線．建立如圖所示平面直角坐標系，OM＝38m，ON＝114m，設(shè)MN所在直線關(guān)系式為y＝kx+b．甲運動員起跳后，與跳臺OE水平距離xm、豎直高度ym之間的幾組對應數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m010203040豎直高度y/m4248504842（1）求甲運動員空中運動軌跡拋物線的關(guān)系式；（2）運動員得分由距離得分+動作分+風速得分組成距離得分：運動員著陸點到跳臺OE水平距離為50m，即得到60分，每比50m遠1米多得2分；反之，當運動員著陸點每比50m近1米扣2分．距離分計算采取“2舍3入法”，如60.2米計為60米，60.3米則計為60.5米．動作得分：由裁判根據(jù)運動員空中動作的優(yōu)美程度打分．風速得分：由逆風或者順風決定．甲運動員動作分、風速加分如下表：距離分動作分風速加分50﹣2.5請你計算甲運動員本次比賽得分．7．（2023?鎮(zhèn)平縣模擬）為培養(yǎng)學生勞動實踐能力，某學校在校西南角開辟出一塊勞動實踐基地．如圖①是其中蔬菜大棚的橫截面，它由拋物線AED和矩形ABCD構(gòu)成．已知矩形的長BC＝12米，寬AB＝3米，拋物線最高點E到地面BC的距離為6米．（1）按圖①所示建立平面直角坐標系，求拋物線AED的解析式；（2）冬季到來，為防止大雪對大棚造成損壞，學校決定在大棚兩側(cè)安裝兩根垂直于地面且關(guān)于y軸對稱的支撐柱PQ和NM，如圖②所示．①若兩根支撐柱的高度均為5.25米，求兩根支撐柱之間的水平距離；②為了進一步固定大棚，準備在兩根支撐柱上架橫梁PN，搭建成一個矩形“腳手架”PQMN，為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿PQ，PN，MN的長度之和w的最大值，請你幫管理處計算一下．8．（2023?寶應縣一模）科學研究表明：一般情況下，在一節(jié)45分鐘的課堂中，學生的注意力隨教師講課的時間變化而變化．經(jīng)過實驗分析，在0≤x≤8時，學生的注意力呈直線上升，學生的注意力指數(shù)y與時間x（分鐘）滿足關(guān)系y＝2x+68，8分鐘以后，學生的注意力指數(shù)y與時間x（分鐘）的圖象呈拋物線形，到第16分鐘時學生的注意力指數(shù)y達到最大值92，而后學生的注意力開始分散，直至下課結(jié)束．（1）當x＝8時，注意力指數(shù)y為，8分鐘以后，學生的注意力指數(shù)y與時間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式是；（2）若學生的注意力指數(shù)不低于80，稱為“理想聽課狀態(tài)”，則在一節(jié)45分鐘的課中學生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時間有多長？（精確到1分鐘）（3）現(xiàn)有一道數(shù)學壓軸題，教師必須持續(xù)講解24分鐘，為了使效果更好，要求學生的注意力指數(shù)在這24分鐘內(nèi)的最低值達到最大，則該教師上課后從第幾分鐘開始講解這道題？（精確到1分鐘）（參考數(shù)據(jù)：69．（2023?昭陽區(qū)一模）新華書店銷售一個系列的兒童書刊，每套進價100元，銷售定價為140元，一天可以銷售20套．為了擴大銷售，增加盈利，減少庫存，書店決定采取降價措施．若一套書每降價1元，平均每天可多售出2套．設(shè)每套書降價x元時，書店一天可獲利潤y元．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若要書店每天盈利1200元，則每套書銷售定價應為多少元？（3）當每套書銷售定價為多少元時，書店一天可獲得最大利潤？這個最大利潤為多少元？10．（2023?大豐區(qū)一模）比薩斜塔是意大利的一座著名斜塔，據(jù)說物理學家伽利略曾在塔頂上做過著名的自由落體試驗：在地球上同一地點，不同質(zhì)量的物體從同一高度同時下落，如果除地球引力外不考慮其他外力的作用，那么它們的落地時間相同．已知：某建筑OA的高度為44.1m，將一個小鐵球P（看成一個點）從A處向右水平拋出，在水平方向小鐵球移動的距離d（m）與運動時間t（s）之間的函數(shù)表達式是：d＝7t，在豎直方向物體的下落距離h（m）與下落時間t（s）之間的函數(shù)表達式為h＝4.9t2．以點O為坐標原點，水平向右為x軸，OA所在直線為y軸，取1m為單位長度，建立如圖所示平面直角坐標系，已知小鐵球運動形成的軌跡為拋物線．（1）求小鐵球從拋出到落地所需的時間；（2）當t＝1時，求小鐵球P此時的坐標；（3）求拋物線的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍．11．（2023?南昌模擬）一個運動員跳起投籃，球的運行路線可以看做是一條拋物線，如圖1所示，圖2是它的示意圖，球的出手點D到地面EB的距離為2.25m（即DE＝2.25m，當球運行至F處時，水平距離為2.5m（即F到DE的距離為2.5m），達到最大高度為3.5m，已知籃圈中心A到地面EB的距離為3.05m，籃球架AB可以在直線EB上水平移動．（1）請建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求該拋物線的解析式；（2）若籃球架離人的水平距離EB為4.5m，問該運動員能否將籃球投入籃圈？若能，說明理由；若不能，算一算將籃球架往哪個方向移動，移動多少距離，該運動員此次所投的籃球才能投入籃圈．12．（2023?義烏市校級模擬）某種電纜在空中架設(shè)時，兩端掛起的電纜下垂都可以近似的看成拋物線的形狀；如圖，若在一個斜坡CD上按水平距離間隔90米架設(shè)兩個塔柱，每個塔柱固定電纜的位置離地面高度為20米，如果按如圖建立坐標系（x軸在水平方向上），那么下垂的電纜可以看成拋物線y=1（1）求出圖中點A及點B的坐標；（2）求斜坡坡面CD所在直線的解析式；（3）假設(shè)這種電纜下垂的安全高度是12米，即電纜距離坡面鉛直高度的最小值大于或等于12米時，符合安全要求，否則不符合安全要求；探索：上述這種電纜的架設(shè)是否符合安全要求．13．（2023?城關(guān)區(qū)一模）如圖1為某居民小區(qū)計劃修建的圓形噴水池的效果圖，在池中心需安裝一個柱形噴水裝置OA，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高高度為3m．水柱落地處離池中心的水平距離為3m．小剛以柱形噴水裝置OA與地面交點O為原點，原點與水柱落地處所在直線為x軸，柱形噴水裝置所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．水柱噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2．（1）求表示該拋物線的函數(shù)表達式；（2）若不計其他因素，求柱形噴水裝置的高度．14．（2023?城陽區(qū)一模）某農(nóng)戶家的菜地上有一個蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，現(xiàn)對其橫截面建立如圖所示的平面直角坐標系．大棚的一端固定在墻體AO離地面高53米的點A處，另一端固定在地面的點B處，已知大棚上橫截面拋物線頂部某點離地面的垂直高度y（米）與其離墻體AO的水平距離x（米）之間的關(guān)系滿足y=?112x2+bx+（1）求拋物線的表達式；（2）求大棚的最高點到地面的距離；（3）該農(nóng)戶想在大棚橫截面拋物線頂部兩側(cè)，緊貼拋物線頂部安裝照明燈，且照明燈到地面垂直高度為472415．（2023?亳州二模）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為hm，如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象．把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m．灌溉車到綠化帶的距離OD為dm．當OH＝1.5m，DE＝3m，EF＝0.5時，解答下列問題.（1）①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；②求出點B的坐標；（2）要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，試求出d的取值范圍．16．（2023?市南區(qū)一模）榴蓮靠著獨特風味和口感深受廣大消費者喜愛，多數(shù)品質(zhì)較好的榴蓮都需要進口，所以價格居高不下，今年情況有所不同，國產(chǎn)高品質(zhì)榴蓮在三亞成功掛果上市，某水果店購進一批三亞榴蓮，進價為10元/kg，設(shè)售價為x元/kg，圖中線段是總進價y1（元）與x關(guān)系的圖象，拋物線是總銷售額y2（元）與x關(guān)系的圖象，y2經(jīng)過原點．假定購買和銷售數(shù)量相同，當售價為15元時，銷售量為200kg．（總利潤＝總銷售額﹣總進價）（1）直接寫出t、p、q的值；（2）分別求出y1，y2與x的關(guān)系式；（3）當售價定為多少，該水果店出售這批榴蓮所獲利潤最大？最大利潤是多少？17．（2023?臨潼區(qū)二模）2023兔年春節(jié)期間，全國各地舉辦焰火晚會，慶祝農(nóng)歷新年的到來．九年級學生王毅也在父母的陪同下前往指定區(qū)域燃放一種手持煙花，這種煙花每隔2s發(fā)射一枚花彈，每枚花彈的飛行路徑視為同一條拋物線，飛行相同時間后發(fā)生爆炸，王毅燃放的手持煙花發(fā)射出的第一枚花彈的飛行高度h（單位：m）隨飛行時間t（單位：s）變化的規(guī)律如下表：飛行時間t/s00.514.5……飛行高度h/m29.51633.5……（1）求第一枚花彈的飛行高度h與飛行時間t的函數(shù)表達式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）為了安全，要求花彈爆炸時的高度不低于30m．王毅發(fā)現(xiàn)在第一枚花彈爆炸的同時，第二枚花彈與它處于同一高度，請分析花彈的爆炸高度是否符合安全要求．18．（2023?武侯區(qū)校級模擬）2023年3月，成都市政府印發(fā)《成都市促進新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的實施意見》，其中大力促進新能源汽車消費成為抓手之一．已知某商家對一款新能源汽車進行銷售，市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：月銷量y（單位：輛）與銷售價x（單位：萬元/輛，且14≤x≤21）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如表：x1617181920y3027242118（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若商家購進這款汽車的價格為12萬元，試問：當x為多少時，總利潤最大？并求出此時利潤的最大值．19．（2023?驛城區(qū)校級二模）如圖，在一次足球比賽中，守門員在距地面1米高的P處大力開球，一運動員在離守門員6米的A處發(fā)現(xiàn)球在自己頭上的正上方距離地面4米處達到最高點Q，球落到地面B處后又一次彈起．已知足球在空中的運行軌跡是一條拋物線，在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度為1米．（1）求足球第一次落地之前的運動路線的函數(shù)解析式及第一次落地點B與守門員（點O）的距離；（2）運動員（點A）要搶到第二個落點C，他應再向前跑多少米？（假設(shè)點O，A，B，C在同一條直線上，結(jié)果保留根號）20．（2023?青島一模）振華公司對其辦公樓大廳一塊6×6米的正方形ABCD墻面進行了如圖所示的設(shè)計裝修（四周陰影部分是八個全等的矩形，用材料甲裝修，中心區(qū)域是正方形EFGH，用材料乙裝修）．兩種材料的成本如下：材料甲乙單價（元/米2）800600?設(shè)矩形的較短邊AM的長為x米，裝修材料的總費用為y元．（1）求y與x之間的關(guān)系式；（2）當中心區(qū)域的邊長EF不小于2米時，預備材料的購買資金28000元夠用嗎？請說明理由．21．（2023?萊西市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，AD＝10cm，點P、Q分別是線段CD和AD上的動點．點P以2cm/s的速度從點D向點C運動，同時點Q以1cm/s的速度從點A向點D運動，當其中一點到達終點時，兩點停止運動，將PQ沿AD翻折得到QP'，連接PP'交直線AD于點E，連接AC、BQ．設(shè)運動時間為t（s），回答下列問題：（1）當t為何值時，PQ∥AC？（2）求四邊形BC