2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)1.2抽樣方法1.2.2分層抽樣與系統(tǒng)抽樣學(xué)案北師大版必修3

PAGE1-1.2.2分層抽樣與系統(tǒng)抽樣[航向標(biāo)·學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．理解并駕馭分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的概念及一般步驟．2．理解三種抽樣方法的運(yùn)用條件及相互間的區(qū)分與聯(lián)系，能依據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的抽樣方法進(jìn)行抽樣．3．通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽樣，感知應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題的方法．[讀教材·自主學(xué)習(xí)]1．分層抽樣：將總體按其eq\o(□,\s\up4(01))屬性特征分成若干類型(有時(shí)稱作層)，然后在每個(gè)類型中依據(jù)eq\o(□,\s\up4(02))所占比例隨機(jī)抽取肯定的樣本，這種抽樣方法通常叫作分層抽樣，有時(shí)也稱為類型抽樣．2．系統(tǒng)抽樣：將總體中的個(gè)體eq\o(□,\s\up4(03))進(jìn)行編號(hào)，eq\o(□,\s\up4(04))等距分組，在第一組中依據(jù)簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣抽取第一個(gè)樣本，然后按eq\o(□,\s\up4(05))分組的間隔(稱為抽樣距)抽取其他樣本，這種抽樣方法有時(shí)也叫等距抽樣或機(jī)械抽樣．3．分層抽樣的步驟：(1)將總體按肯定標(biāo)準(zhǔn)eq\o(□,\s\up4(06))分層．(2)計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的eq\o(□,\s\up4(07))比．(3)按各層的個(gè)體數(shù)占總體的個(gè)體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的eq\o(□,\s\up4(08))樣本容量．(4)在每一層進(jìn)行抽樣(可用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣)．4．系統(tǒng)抽樣的步驟：(1)將總體中的N個(gè)個(gè)體eq\o(□,\s\up4(09))編號(hào)；(2)確定分段間隔k(k∈N)，將整體按編號(hào)進(jìn)行eq\o(□,\s\up4(10))分段(組)；(3)在第1段用eq\o(□,\s\up4(11))簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體的編號(hào)l(l∈N,0≤l≤k)；(4)依據(jù)肯定的規(guī)則抽取樣本，通常是將起始編號(hào)l加上eq\o(□,\s\up4(12))間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)eq\o(□,\s\up4(13))l＋k，再加上k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)eq\o(□,\s\up4(14))l＋2k，這樣接著下去，直到獲得整個(gè)樣本．[看名師·疑難剖析]1．分層抽樣的特點(diǎn)當(dāng)總體容量和樣本容量較大時(shí)，不宜采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，又由于總體差異明顯，所以采納分層抽樣為妥．2．系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)(1)用于總體的個(gè)體數(shù)較多的狀況．(2)它是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽?。?3)它是一種不放回抽樣．(4)每一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性均等．3．三種抽樣的特點(diǎn)及適用范圍學(xué)問(wèn)拓展：三種抽樣方法都是不放回抽樣，抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同，留意總結(jié)這些抽樣方法的特點(diǎn)及適用范圍，特殊是系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的區(qū)分與聯(lián)系．考點(diǎn)一分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的概念例1某電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對(duì)某一節(jié)目的寵愛(ài)程度進(jìn)行調(diào)查，參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為12000人，其中持各種看法的人數(shù)如下表所示：很寵愛(ài)寵愛(ài)一般不寵愛(ài)2435456739261072電視臺(tái)為進(jìn)一步了解觀眾的具體想法和看法，準(zhǔn)備從中抽取60人進(jìn)行更為具體的調(diào)查，則應(yīng)如何進(jìn)行抽樣？[分析]因?yàn)榭傮w中人數(shù)較多，所以不宜采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，又由于持不同看法的人數(shù)差異較大，故也不宜用系統(tǒng)抽樣法，而以分層抽樣法為宜．[解]可用分層抽樣法，其總體容量為12000，“很寵愛(ài)”的占2435/12000＝487/2400，應(yīng)取60×487÷2400≈12(人)；“寵愛(ài)”的占4567/12000，應(yīng)取60×4567÷12000≈23(人)；“一般”的占3926/12000，應(yīng)取60×3926/12000≈20(人)；“不寵愛(ài)”的占1072/12000，應(yīng)取60×1072÷12000≈5(人)．因此，采納分層抽樣的方法在“很寵愛(ài)”，“寵愛(ài)”，“一般”和“不寵愛(ài)”的2435人，4567人，3926人和1072人中分別抽取12人，23人，20人和5人．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練1])為了保證分層抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體等可能地被抽取，必須要求()A．每層等可能抽樣B．每層抽取的個(gè)體數(shù)相等C．每層抽取的個(gè)體可以不一樣多，但必需滿意抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)個(gè)個(gè)體(其中i是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層中個(gè)體的個(gè)數(shù)，N是總體的容量)D．只要抽取的樣本容量肯定，每層抽取的個(gè)體數(shù)沒(méi)有限制答案C解析分層抽樣時(shí)，在各層中按層在總體中所占的比例進(jìn)行簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．A雖然每層等可能地抽樣，但是沒(méi)有指明各層中應(yīng)抽取幾個(gè)個(gè)體，故A不正確．B由于每層的容量不肯定相等，每層抽取同樣多的個(gè)體數(shù)，明顯，從總體來(lái)看，各層之間的個(gè)體被抽取的可能狀況就不一樣了，故B也不正確．C對(duì)于第i層的每個(gè)個(gè)體，它被抽到的可能性與層數(shù)i無(wú)關(guān)，即對(duì)于每個(gè)個(gè)體來(lái)說(shuō)，被抽取為樣本的可能性是相同的，故C正確，D不正確．故選C.例2下列抽樣試驗(yàn)中，最相宜用系統(tǒng)抽樣法的是()A．某市的3個(gè)區(qū)共有2000名學(xué)生，且3個(gè)區(qū)的學(xué)生人數(shù)之比為3∶2.8∶2，從中抽取200人入樣B．從某廠生產(chǎn)的2000個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取5個(gè)入樣C．從某廠生產(chǎn)的2000個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取200個(gè)入樣D．從某廠生產(chǎn)的20個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取5個(gè)入樣[解析]A總體有明顯層次，不相宜用系統(tǒng)抽樣法；B樣本容量很小，相宜用隨機(jī)數(shù)法；D總體容量很小，相宜用抽簽法．[答案]C類題通法eq\a\vs4\al(當(dāng)總體容量較大，樣本容量也較大時(shí)相宜用系統(tǒng)抽樣法抽樣.)eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練2])某商場(chǎng)想通過(guò)檢查發(fā)票及銷售記錄的2%來(lái)快速估計(jì)每月的銷售金額．采納如下方法：從某本發(fā)票的存根中隨機(jī)抽一張，如15號(hào)，然后按序號(hào)往后將65號(hào)，115號(hào)，165號(hào)，…，發(fā)票上的銷售金額組成一個(gè)調(diào)查樣本．這種抽取樣本的方法是()A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣法 D．其他方式的抽樣答案C解析上述抽樣方法是將發(fā)票平均分成若干組，每組50張．從第一組中抽出了15號(hào)，以后各組抽15＋50n(n為自然數(shù))號(hào)．符合系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)．考點(diǎn)二分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的步驟例3某城市有210家百貨商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．為了駕馭各商店的營(yíng)業(yè)狀況，安排抽取一個(gè)容量為21的樣本，依據(jù)分層抽樣方法抽取時(shí)，各種百貨商店分別要抽取多少家？寫(xiě)出抽樣過(guò)程．[分析]由題目可以獲得以下主要信息：①某城市的百貨商店包括差異明顯的大、中、小型商店三種；②總體容量為210；③樣本容量為21.解答本題應(yīng)按分層抽樣的步驟抽取，首先算出抽樣比例，然后求出各層抽樣的樣本數(shù)，最終在各層抽取得到樣本．[解](1)樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)的比為eq\f(21,210)＝eq\f(1,10)；(2)確定各種商店要抽取的數(shù)目：大型：20×eq\f(1,10)＝2(家)，中型：40×eq\f(1,10)＝4(家)小型：150×eq\f(1,10)＝15(家)；(3)采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣在各層中抽取大型：2家；中型：4家；小型：15家；這樣便得到了所要抽取的樣本．類題通法對(duì)于個(gè)體差異較為明顯的總體，以分層抽樣法抽取樣本，所得樣本的代表性較好，在按比例確定各層抽取個(gè)數(shù)后，在各層中又可以采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣，甚至可以再次運(yùn)用分層抽樣.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練3])某運(yùn)輸隊(duì)有貨車1200輛，客車800輛．從中抽取eq\f(1,10)調(diào)查車輛的運(yùn)用和保養(yǎng)狀況．請(qǐng)給出抽樣過(guò)程．分析因?yàn)樨涇嚭涂蛙嚨倪\(yùn)用和保養(yǎng)狀況有明顯的差別，所以用分層抽樣．解采納分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣，具體步驟如下：第一步：明確貨車和客車各應(yīng)抽取多少輛．貨車應(yīng)抽取1200×eq\f(1,10)＝120輛，客車應(yīng)抽取800×eq\f(1,10)＝80輛．其次步：用系統(tǒng)抽樣法分別抽取貨車120輛，客車80輛．這些貨車和客車便組成了所要抽取的樣本．例4為了解參與某種學(xué)問(wèn)競(jìng)賽的1000名學(xué)生的成果，從中抽取一個(gè)容量為50的樣本，那么采納什么抽樣方法比較恰當(dāng)？簡(jiǎn)述抽樣過(guò)程．[分析]由題目可以獲得以下主要信息：①總體容量為1000，總體容量較大；②樣本容量為50，也較大．解答本題目可先分析總體容量和樣本容量的特點(diǎn)以及所學(xué)的各種抽樣方法的適用范圍，再選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ú⒑?jiǎn)述抽樣過(guò)程．[解]相宜選用系統(tǒng)抽樣，抽樣過(guò)程如下：(1)隨機(jī)地將這1000名學(xué)生編號(hào)為1,2,3，…，1000.(2)將總體按編號(hào)依次均分成50部分，每部分包括20個(gè)個(gè)體．(3)在第一部分的個(gè)體編號(hào)1,2,3，…，20中，利用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣抽取一個(gè)號(hào)碼，比如是18.(4)以18為起始號(hào)碼，每間隔20抽取一個(gè)號(hào)碼，這樣得到一個(gè)容量為50的樣本：18,38,58，…，978,998.類題通法1解決系統(tǒng)抽樣問(wèn)題中兩個(gè)關(guān)鍵的步驟為：①分組的方法應(yīng)依據(jù)抽取比例而定，即依據(jù)定義每組抽取一個(gè)樣本.②起始編號(hào)的確定應(yīng)用隨機(jī)抽樣的方法，一旦起始編號(hào)確定，其他編號(hào)便隨之確定了.2當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，須要在總體中剔除一些個(gè)體.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練4])某單位在崗職工共624人，為了調(diào)查工人上班途中所用時(shí)間，確定抽取10%的工人進(jìn)行調(diào)查，如何采納系統(tǒng)抽樣法完成這一抽樣？分析剔除多余個(gè)體是為了保證“等距”分段，便利系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，在剔除個(gè)體時(shí)需用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．解第一步：將624人用隨機(jī)方式編號(hào)；其次步：從總體中剔除4人(可用隨機(jī)數(shù)法)，將剩下的620名職工重新編號(hào)，分別為000,001，…，619，并分成62段；第三步：在第一段000,001，…，009這10個(gè)編號(hào)中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣抽出一個(gè)(如002)作為起始號(hào)；第四步：將編號(hào)為002,012,022，…，612的個(gè)體抽出，組成樣本.考點(diǎn)三三種抽樣的區(qū)分與聯(lián)系例5選擇合適的抽樣方法抽樣，寫(xiě)出抽樣過(guò)程．(1)有甲廠生產(chǎn)的30個(gè)籃球，其中一箱21個(gè)，另一箱9個(gè)，抽取3個(gè)．(2)有30個(gè)籃球，其中甲廠生產(chǎn)的有21個(gè)，乙廠生產(chǎn)的有9個(gè)，抽取10個(gè)．(3)有甲廠生產(chǎn)的300個(gè)籃球，抽取10個(gè)．(4)有甲廠生產(chǎn)的300個(gè)籃球，抽取30個(gè)．[分析]由題目可獲得以下主要信息：①本題是要求選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒ǎ谝獙?xiě)出抽樣過(guò)程．解答本題應(yīng)綜合三種抽樣方法的適用范圍和實(shí)際狀況，敏捷選取適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行抽?。甗解](1)總體容量較小，用抽簽法．①將30個(gè)籃球編號(hào)，編號(hào)為00,01，…，29；②將以上30個(gè)編號(hào)分別寫(xiě)在完全一樣的一張小紙條上，揉成小球，制成號(hào)簽；③把號(hào)簽放入一個(gè)不透亮的袋子中，充分?jǐn)嚢?；④從袋子中逐個(gè)抽取3個(gè)號(hào)簽，并記錄上面的號(hào)碼；⑤找出和所得號(hào)碼對(duì)應(yīng)的籃球即可得到樣本．(2)總體由差異明顯的兩個(gè)層次組成，需選用分層抽樣法．①確定抽取個(gè)數(shù)．抽樣比eq\f(10,30)＝eq\f(1,3)，所以甲廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取eq\f(21,3)＝7個(gè)，乙廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取eq\f(9,3)＝3個(gè)；②用抽簽法分別抽取甲廠生產(chǎn)的籃球7個(gè)，乙廠生產(chǎn)的籃球3個(gè)．這些籃球便組成了我們要抽取的樣本．(3)總體容量較大，樣本容量較小，宜用隨機(jī)數(shù)法．①將300個(gè)籃球用隨機(jī)方式編號(hào)，編號(hào)為001,002，…，300；②在隨機(jī)數(shù)表(見(jiàn)課本附錄2)中隨機(jī)的確定一個(gè)數(shù)作為起先，如第8行第29列的數(shù)“1”起先．任選一個(gè)方向作為讀數(shù)方向，比如向右讀；③從數(shù)“1”起先向右讀，每次讀三位，凡不在001～300中的數(shù)跳過(guò)去不讀，遇到已經(jīng)讀過(guò)的數(shù)也跳過(guò)去不讀，便可依次得到10個(gè)號(hào)碼，這就是所要抽取的10個(gè)樣本個(gè)體的號(hào)碼．(4)總體容量較大，樣本容量也較大宜用系統(tǒng)抽樣．①將300個(gè)籃球用隨機(jī)方式編號(hào)，編號(hào)為000,001,002，…，299，并分成30段，其中每一段包含eq\f(300,30)＝10個(gè)個(gè)體；②在第一段000,001,002，…，009這十個(gè)編號(hào)中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣抽出一個(gè)(如002)作為起始號(hào)碼；③將編號(hào)為002,012,022，…，292的個(gè)體抽出，組成了所要求的樣本．類題通法弄清三種抽樣方法的實(shí)質(zhì)和適用范圍，是敏捷選用抽樣方法的前提和基礎(chǔ).若用分層抽樣，應(yīng)先確定各層的抽取個(gè)數(shù)，然后在各層中用系統(tǒng)抽樣或簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣進(jìn)行抽取.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練5])一個(gè)單位有職工160人，其中業(yè)務(wù)人員96人，管理人員40人，后勤服務(wù)人員24人，為了了解職工的某種狀況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，按下述三種方法抽樣：方法1：將160人從1至160編上號(hào)，然后用白紙做成有1～160號(hào)的簽160個(gè)放入箱內(nèi)拌勻，然后從中抽20個(gè)簽，與簽號(hào)相同的20個(gè)人被選出．方法2：將160人從1至160編上號(hào)，按編號(hào)依次分成20組，每組8人，1～8號(hào)，9～16號(hào)，…，153～160號(hào)，先從第1組中用抽簽法抽出k號(hào)(1≤k≤8)，其余組的(k＋8n)號(hào)(n＝1,2，…，19)亦被抽到，如此抽取到20人．方法3：按20∶160＝1∶8的比例，從業(yè)務(wù)人員中抽取12人，從管理人員中抽取5人，從后勤服務(wù)人員中抽取3人，都用隨機(jī)數(shù)法從各類人員中抽取所需的人數(shù)，他們合在一起恰好抽到20人．上述三種抽樣方法，按簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣的依次是()A．方法1、方法2、方法3 B．方法2、方法1、方法3C．方法1、方法3、方法2 D．方法3、方法1、方法2答案C解析方法1是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣；方法2是系統(tǒng)抽樣；方法3是分層抽樣．故選C.[例](12分)從111個(gè)總體中抽取10個(gè)個(gè)體的樣本，則每個(gè)個(gè)體入樣的可能性為多少？若用系統(tǒng)抽樣的方法抽樣，則抽樣距k等于多少？(一)精妙思路點(diǎn)撥(二)分層規(guī)范細(xì)解(三)來(lái)自一線的報(bào)告通過(guò)閱卷后分析，對(duì)解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的①②③見(jiàn)分層規(guī)范細(xì)解過(guò)程)(四)類題練筆駕馭某校中學(xué)二年級(jí)有253名學(xué)生，為了了解他們的視力狀況，準(zhǔn)備按1∶5的比例抽取一個(gè)樣本，試用系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)行抽取，并寫(xiě)出過(guò)程．解(1)先把這253名學(xué)生編號(hào)000,001，…，252.(2)用隨機(jī)數(shù)法任取出3個(gè)號(hào)，從總體中剔除與這三個(gè)號(hào)對(duì)應(yīng)的學(xué)生．(3)把余下的250名學(xué)生重新編號(hào)1,2,3，…，250.(4)分段．取分段間隔k＝5，將總體均分成50段，每段含5名學(xué)生．(5)以第一段即1～5號(hào)中隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)作為起始號(hào)，如l.(6)從后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245這49個(gè)號(hào)．這樣就按1∶5的比例抽取了一個(gè)樣本容量為50的樣本．(五)解題設(shè)問(wèn)(1)本題中eq\f(N,n)是整數(shù)嗎？________，253×eq\f(1,5)＝50.6不是整數(shù)．(2)抽樣過(guò)程的第1步是什么？需用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法先________，使eq\f(N′,n)為整數(shù)．答案(1)不是(2)剔除多余個(gè)體1．下列說(shuō)法不正確的是()A．簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣是從個(gè)體數(shù)較少的總體中逐個(gè)隨機(jī)抽取個(gè)體B．系統(tǒng)抽樣是從個(gè)體數(shù)較多的總體中，將總體均分，再按事先確定的規(guī)則在各部分抽取C．系統(tǒng)抽樣是將差異明顯的總體均分成幾部分，再進(jìn)行抽取D．分層抽樣是將由差異明顯的幾部分組成的總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取答案C解析A、B、D均正確，C中的敘述應(yīng)是分層抽樣而非系統(tǒng)抽樣．2．某校現(xiàn)有高一