導數(shù)及其應用（解答題）

導數(shù)及其應用(解答題)

1.［2019年高考全國I卷文數(shù)】已知函數(shù)/(x)=2sinx-xcosx-x,f'(x)為f(x)的導數(shù).

U)證明：/(X)在區(qū)間(0,7T)存在唯一零點；

⑵若x￡［0,兀］時，f(x)＞av,求a的取值范圍.

2.【2019年高考全國H卷文數(shù)】已知函數(shù)/(x)=(x-l)lnx-x-l.證明：

(1)/(%)存在唯一的極值點；

(2)f(x)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).

3.【2019年高考天津文數(shù)】設函數(shù)f*)=lnx-a*-l)ex,其中aeR.

(I)若把0,討論了。)的單調(diào)性；

UI)若0＜々/，

e

(i)證明恰有兩個零點；

3)設/為/(工)的極值點，玉為/(X)的零點，旦內(nèi)＞%,證明3%-玉＞2.

4.【2019年高考全國III卷文數(shù)】已知函數(shù)/。)=2/一雙2+2.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當0〈a＜3時，記/(x)在區(qū)間［0,1］的最大值為"，最小值為機，求用一機的取值范圍.

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1a、

5.【2019年高考北京文數(shù)】已知函數(shù)f(x)=-d—f+x.

4

(I)求曲線y=/(x)的斜率為1的切線方程；

(H)當x$[-2,4]時，求證：x-6<f(x)<x：

(III)設尸(x)=|f(%)-(x+a)|(awR),記尸(x)在區(qū)間[-2,4]上的最大值為M(a),當M(a)

最小時，求。的值.

6.【2019年高考浙江】已知實數(shù)設函數(shù)/(X)=41nA：+?TT,x>0.

(1)當。=—士3時，求函數(shù)/(幻的單調(diào)區(qū)間；

4

(2)對任意工4],+8)均有/(x)<—,求〃的取值范圍.

e-2a

注：e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

7.【2019年高考江蘇】設函數(shù)/(1)=Cr-a)(x-b)(x-c)M,b,cwR、r(力為f(x)的導函數(shù).

(1)若由b=c,/(4)=8,求a的值；

(2)若存b,b=c,且/(工)和尸(x)的零點均在集合｛-3,1,3｝中,求/(x)的極小值；

4

(3)若a=0,0v",l,c=1,且/(x)的極大值為M,求證:用二一.

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?

8.【2018年高考全國HI卷文數(shù)】已知函數(shù)/(幻=:一":一

e

U)求曲線y=/(x)在點(0,-1)處的切線方程；

：2)證明：當。之1時，/(x)+e>0.

9.【2018年高考全國I卷文數(shù)】已知函數(shù)〃x)=ae'—Inx—1.

⑴設x=2是〃力的極值點，求〃，并求/(X)的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明；當白工，時，/(x)>0.

e

10.【2018年高考全國n卷文數(shù)】已知函數(shù)=-。(V+X+1).

Cl)若a=3,求/(幻的單調(diào)區(qū)間；

：2)證明：/(%)只有一個零點.

11.【2018年高考北京文數(shù)】設函數(shù)/(1)=[公2—(3a+l)x+3a+2]e1

(I)若曲線y=/(x)在點(2,7(2))處的切線斜率為0,求公

(H)若〃幻在x=l處取得極小值，求a的取值范圍.

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12.【2018年高考天津文數(shù)】設函數(shù)/（工尸。一八）“—2）（工—3），其中力/，%WR，且％小，“是公差為d的

等差數(shù)列.

（I）若，2=。,d=1,求曲線y=/（X）在點（0,7（0））處的切線方程；

（II）若4=3,求/（尢）的極值；

（III）若曲線y=/（x）與直線y=-（戈一^）-6月有三個互異的公共點，求d的取值范圍.

13.【2018年高考浙江】已知函數(shù)段）=&Tnx.

（I）若凡￥）在廣由，也（用抖2）處導數(shù)相等，證明：y（xi）+/（A；2）＞8-8ln2；

（II）若處3-41n2,證明：對于任意攵X）,直線嚴丘+“與曲線廠/⑴有唯一公共點.

14.【2018年高考江蘇】某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓。的一段圓弧M/W（尸為此圓弧的

中點）和線段MN構(gòu)成.已知圓。的半徑為40米，點P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修

皂兩個溫室大棚，大棚I內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚II內(nèi)的地塊形狀為△CDP,要求A,B均在

線段MN上，C,O均在圓弧上.設0C與MN所成的角為6.

（1）用。分別表示矩形A88和△CDP的面積，并確定sin。的取值范圍；

（2）若大棚【內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚II內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為

4:3.求當。為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

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15.【2018年高考江蘇】記/'(x),g'(x)分別為函數(shù)/(x),g(x)的導函數(shù).若存在距wR，滿足/(無)=g(x0)

且/'(%)=/(%)，則稱/為函數(shù)與g(x)的一個“S點”?

⑴證明:函數(shù)/(?=%與81)=k+2%-2不存在“S點”；

⑵若函數(shù)/(外二辦2-1與ga)=mx存在“S點”，求實數(shù)。的值；

加'

[3)已知函數(shù)f(x)=-x2+a,g(x)=—.對任意a>0,判斷是否存在b>0,使函數(shù)f(x)與g(x)

x

在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在“S點”，并說明理由.

16.【2017年高考全國I卷文數(shù)】已知函數(shù)f(x)=e3-a)-A.

(1)討論/*)的單調(diào)性；

12)若/(%)之0,求。的取值范圍.

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17.【2017年高考全國II卷文數(shù)】設函數(shù)，(x)=(l-全)e”.

(1)討論/")的單調(diào)性；

12)當1之0時，f{x)<ax+\,求。的取值范圍.

18.【2017年高考全國III卷文數(shù)】已知函數(shù)/(AOulnx+ar2+(2/+1)%.

(1)討詒/(%)的單調(diào)性；

3

(2)當。<0時，證明了(用工一二--2.

19.【2017年高考浙江】已知函數(shù)代v)=(%—在二T)e-x(x>l).

(1)求兀0的導函數(shù);

(2)求人處在區(qū)間［；,+oo)上的取值范圍.

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20.【2017年高考北京文數(shù)】已知函數(shù)/(x)=e'cos;i-x.

(I)求曲線y=/(x)在點(。,7(0))處的切線方程；

(II)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,g］上的最大值和最小值.

21.【2017年高考天津文數(shù)】設。力eR,I?I<1.已知函數(shù)/3)=/一6工2—3〃(〃一4)工+力，g(x)=exf(x).

(I)求/(功的單調(diào)區(qū)間；

(II)已知函數(shù)y=8。)和丁=^的圖象在公共點(血,和)處有相同的切線，

(i)求證：f(x)在犬=/處的導數(shù)等于0；

(ii)若關(guān)于x的不等式g(x)?e'在區(qū)間［&-1,與+1］上恒成立，求力的取值范圍.

22.【2017年高考山東文數(shù)】已知函數(shù)/(力二,/一_1雙2,aeR

32

(I)當斫2時，求曲線丁=/(力在點(3,/(3))處的切線方程；

(II)設函數(shù)g(x)=〃力+(%-々)851一$吊工,討論且(力的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出

極值.

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23.【2017年高考江蘇】已知函數(shù)f(x)=V+辦z+bx+KaAo8eR)有極值，且導函數(shù)廣(幻的極值點

是/(幻的零點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值)

(1)求人關(guān)于《的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

(2)證明：b2>3ai

7

(3)若/(x),廣(x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于一],求〃的取值范圍.

導數(shù)及其應用(解答題)

1.【2019年高考全國I卷文數(shù)】已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-A-,f(x)為f(x)的導數(shù).

：1)證明：/(X)在區(qū)間(0,冗)存在唯一零點；

：2)若x￡[0,兀]時，/(x)>ax,求。的取值范圍.

【答案】(1)見解析；(2)。￡(4,0].

【解析】(1)設g(x)=/(了)，g(x)=cosx+xsinx-1,gf(x)=xcosx.

當X￡(0,當時，g'(x)>0；當xw仁，兀時，g'(x)v0,所以g(x)在[0,3單調(diào)遞增，在(g，兀單

調(diào)遞減.

又g(0)=0,gO0,g(7t)=-2,故g(x)在。兀)存在唯一零點.

所以fr(x)在(0,兀)存在唯零點.

(2)由題設知f(兀)=0,可得把0.

由(1)知，/'(X)在(0,71)只有一個零點，設為小,且當工￡(0,/)時，f'(x)>0；當xe伍，兀)時,

/^)<0,所以/*)在(0,%)單調(diào)遞增，在(天,兀)單調(diào)遞減.

又〃0)=0,/(兀)=0,所以，當工￡[0,兀]時，/(x)..0.

又當W,0,XL[0,冗]時,ax<0,故/(x)..or.

因此，〃的取值范圍是(-8,0].

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【名師點睛】本題考查利用導數(shù)討論函數(shù)零點個數(shù)、根據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)范圍的問題.

對于此類端點值恰為恒成立不等式取等的值的問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)變成

函數(shù)最值與零之間的比較，進而通過導函數(shù)的正負來確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最值.

2.【2019年高考全國n卷文數(shù)】已知函數(shù)/(%)=(尤一證明：

(1)/(外存在唯一的極值點；

(2)/*)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】(1)/(幻的定義域為(0,+00),

X—1I

(x)=:+lnx-l=Inx——.

xx

因為y=lnx單調(diào)遞增，y單調(diào)遞減，所以廣(工)單調(diào)遞增，又/⑴二一1<0,

x

r(2)=ln2-g=d9>0,故存在唯一/e(l,2),使得/"($)=0.

又當時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；當時，f(x)單調(diào)遞增.

因此，/(x)存在唯一的極值點.

(2)由(】)知/(毛)〈/(1)=-2,又/k2)=€2-3>0,所以/(%)=0在(毛,48)內(nèi)存在唯一根

x=a.

由。>/>1得!<1<%.

a

又===故人是/*)=0在(0,飛)的唯一根.

\aJ\a)aaaa

綜上，/(x)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).

【名師點睛】本題主要考查導數(shù)的應用，通常需要對函數(shù)求導，用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)

性、極值，以及函數(shù)零點的問題，屬于?？碱}型.

3.【2019年高考天津文數(shù)】設函數(shù)f(x)=lnx-a(x-l)e",其中awR.

(I)若把0,討論了(幻的單調(diào)性；

(II)若0<4<L

e

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Ci)證明/(x)恰有兩個零點;

(ii)設/為/(“)的極值點，不為f(x)的零點，且不>玉)，證明3%一%>2.

【答案】(I)/(此在(0,48)內(nèi)單調(diào)遞增.；(II)(i)見解析；(ii)見解析?.

【解析】(I)解：由已知，/3)的定義域為(0,zo),月.

f(x)=--[ae+a(x-l)e']=X~ax'e.

因此當把0時，1—a?e、>0,從而尸(x)>0,所以/(%)在(0,位)內(nèi)單調(diào)遞增.

]_〃丫2K|

(II)證明：(i)由(I)知/'(X)=.令g(x)=1一公21,由0<。<一，

xe

可知g(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，又g(l)=l—ae>0,且

g。L』/丫<0.

k?ka)

故g(x)=0在(0,+oo)內(nèi)有唯一解,從而f\x)=0在(0,+oo)內(nèi)有唯一解,不妨設為則1</<InL

a

當不￡((),$)時，r(x)=固魚>叢&1=0,所以/(無)在(0,天)內(nèi)單調(diào)遞增；當XW(毛,+00)時，

XX

廣(幻=史0<%1=0,所以f(x)在(％,T8)內(nèi)單調(diào)遞減，因此不是/(幻的唯一極值點.

XX

令皿?=lnx-X+1,則當X>1時，h'(x)=一一1<0,故〃(%)在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，從而當力>1

X

時，A(x)<h(l)=0,所以lnxvx-1.從而

又因為/(y)>/(1)=0,所以/(%)在(%,+8)內(nèi)有唯一零點.又/(x)在(。,不)內(nèi)有唯一零點1，從

而，/(劃在(0,+8)內(nèi)恰有兩個零點.

(ii)由題意,[["；)=；即已.從而1呻=三4…，即爐-飛=型手因為

/(x,)=0,[1呻=〃(g一1)爐，/x,-l

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當x>l時，lnxv%—l,又X>/>1,故時』「。(、一1)二片,兩邊取對數(shù)，得Ine*-"vlnx；,

%一1

于是

毛_毛<2In/<2(/一1),

整理得3%一%>2.

【名師點睛】本小題主要考查導數(shù)的運算、不等式證明、運用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識和方法.

考查函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力.

4.【2019年高考全國山卷文數(shù)】已知函數(shù)/。)=2/一欠2+2.

(1)討論/(幻的單調(diào)性；

(2)當0<〃<3時，記/(X)在區(qū)間[0,1]的最大侑為最小值為m,求“一機的取值范闈.

8

【答案】⑴見詳解;(2)[—,2).

27

【解析】(析f(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).

令/(幻=0,得-o或x=].

若eO,則當為￡(YO,0)U(],+8)時，/(x)>0；當x€(0,])時，r(x)<0.故/(均在

(-oo,0),(爭+8)單調(diào)遞增，在(0,：)單調(diào)遞減；

若4=(),f(X)在(-QO,十⑼單調(diào)遞增：

若加0,則當X￡(TO,1JU(0,+8)時，f\x)>0：當時，f\x)<0.故f(X)在

卜8,￡),(0,+8)單調(diào)遞增，在件0)單調(diào)遞減.

[2)當0<〃<3時，由(1)知，f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以/*)在[0,1]

的最小值為=+最大值為『(0)=2或/(1)=4一〃.于是

IJ，乙/

第H頁共39頁

4一。,0<。<2,

2,2<tz<3.

2—44----,0<av2,

27

所以M-m-*

—,2Wa<3.

127

當0va<2時，可知2-〃+授單調(diào)遞減，所以“一機的取值范圍是(段,2).

"3Q

當2工〃<3時，合單調(diào)遞增，所以M—加的取值范圍是［點,1).

Q

綜上，M—機的取值范圍是上上,2).

27

【名師點睛】這是一道常規(guī)的導數(shù)題目，難度比往年降低了不少.考查函數(shù)的單調(diào)性，域大值、

最小值的計算.

5.【2019年高考北京文數(shù)】已知函數(shù)人元)=!丁一/+%.

(I)求曲線y=/(x)的斜率為1的切線方程；

(II)當工￡［-2,4］時，求證：x-6<f(x)<x；

(III)設產(chǎn)(幻=|/。)一(％+4)|(。€1<),記尸(幻在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M(?),當M(a)

最小時，求。的值.

64

【答案】(I)丁=%與y=x——：(II)見解析；(III)a=-3.

27

1Q

【解析】(I)由f(x)=-x3-x2=-X2-2A:+1.

44

令r(x)=l,即2/一2工+1=1,得x=0或x=2.

QQ

又/(0)=0,/(-)=—

Q

所以曲線y=/(x)的斜率為1的切線方程是y=x與y-3

y=x與y=x----

27

CII)令g(x)=/(x)-x,x￡[-2,4].

13

由g(x)=-x3-x2得g'(x)=-x2-2x.

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Q

令g'(x)=。得x=?；騲=§?

g'(x),g(x)的情況如下：

8(|,4)

X-2(-2,0)04

畤3

g'*)+—+

64

g(x)-6/0~270

所以g(x)的最小值為-6,最大值為0.

-6<g(x)<0,即

UII)由(H)知，

當。v—3時，M(a)>F(0)=|g(0)-。|=一〃>3；

當。>一3時，M(a)>F(-2)=|g(-2)—。|=6+a>3：

當。=一3時，M(a)=3.

綜上，當〃（。）最小時，a=-3.

【名師點睛】本題主要考查利用導函數(shù)研窕函數(shù)的切線方程，利用導函數(shù)證明不等式的方法,

分類討論的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

6.【2019年高考浙江】已知實數(shù)。W0,設函數(shù)/（x）=alnx+

3

（1）當。二一巳時，求函數(shù)/3）的單調(diào)區(qū)間；

4

（2）對任意工￡［，■,+8）均有八幻《立，求〃的取值范圍.

e~2a

注：e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

【答案】⑴/（刈的單調(diào)遞增區(qū)間是（3,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間是（0,3）；⑵（o,乎.

【解析】（1）當。=——時，f（x）=——lnx+>/l4-x,x>0.

44

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31(Vl+x-2)(2Vl+x+l)

---+----J-'----------

4x2jl+x4XV14-X

所以，函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,3）,單調(diào)遞增區(qū)間為（3,+8）.

（2）由得0＜。《也

2a4

當也時，/（幻《正等價于有一名叵工-21nxN0.

42aaa

令f=1,KiJr>2>/2.

a

設g?)=/&-2rJl+x-21nx/N2\/2,

則g（t）=4x（t--2\nx.

(i)當xe—,+<?時,<2x/2,則

7)

g(t)>^(2>/2)=8\/7-4^2\/1+x-21nx.

記p(x)=46-2&S+x-In%,工，,則

2,\[x\/x~^-i—>p2.x—y/x+i

p'(x)=

Xyjx+]

(x-l)[l+Vx(V2x+2-l)]

X\/x+l(>/x+l)(Vx+T+y[2x)

故

X』）1(l,+oo)

7e

P\x)—0+

P（g）

p(x)單調(diào)遞減極小值p（l）單調(diào)遞增

所以，p(x)>p(l)=0.

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因此，g(t)>g(2yf2)=2p(x)>0.

(i，)當TMWgQ)-g(舊)=

令[(x)=2&lnx+(x+l),xe-7,—，

e7

則/(x)=M^2+i>。,

故式x)在4■，上單調(diào)遞增，所以

l_e~7J17

2y/l

由(i)得,<-^-P(D=O.

所以，q(x)<0.

由(i)(ii)知對任意xw3，+oo,，￡[2&,+oo),g(/)..0,

即對任意XECA,+OO],均有f(x),，正

e~J2a

綜上所述，所求。的取值范圍是

【名師點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點,

對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相

聯(lián)系.(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最

值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用.

7.【2019年高考江蘇】設函數(shù)/(x)=(R-a)(x-b)(x-c),a,b,C￡R、尸(x)為/(x)的導函數(shù).

(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值；

(2)若"b,b=c,且f(%)和r(x)的零點均在集合｛-3,1,3｝中，求/(x)的極小值;

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4

(3)若〃=0,0＜仇,l,c=1,且/(x)的極大值為M,求證:兒仁一.

【答案】(1)。=2；(2)見解析；(3)見解析.

【解析】(1)因為。=力=。，所以/(X)=(X-4)(X-b)(X-C)=(X-4)3.

因為/(4)=8,所以(4—4)3=8,

解得。=2.

(2)因為b=c,

所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(?+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,

從而廣(幻=3*—Z?)(x—20；人.令f\x)=0?得x=6或x=2"；b

因為。，瓦等2都在集合｛-3,1,3｝中,且awb,

所以3^^=1,〃=3,6=—3.

2f

此時/(X)=(x-3)(x+3)，f(x)=3a+3)(%-1).

令/(x)=0,得％=-3或x=l.列表如下:

X(-oo,-3)-3(-3,1)1(1*)

廣(X)+0—04-

fMZ極大值極小值7

所以/(x)的極小值為/(I)=(1-3)(1+3)2=-32.

(3)因為a=O,c=l，所以/(x)=Mx-b)(x-l)=x3-s+i)x2+6x,

f(x)=3x2-2(b+\)x+b.

因為Ov/Kl,所以』=4(8+1)2—126=(3-1y+3>0,

則:(幻有2個不同的零點，設為芭,元2(不<巧)?

、n犯:+1-J從--+1b+\+\lb2-b+\

由f(x)=0，得%=---------------,&=----------------.

列表如下:

第16頁共39頁

X

s，x）（%,占）X2(X2,+OO)

f'(x)+0一0+

f(x)z極大值極小值7

所以/(%)的極大值"=/(%).

解法一：

M=f(x1)=x^-(b+Y)xf+bx}

=崗-23+IM+嗚一誓卜2伍+券^

-292—"1)(〃十1)

E

27

b(b+l)

27勺%（亞

JS+1)工2V44

因此M?—

2727-2727

解法二:

因為Ovb41,所以王￡（0,1）.

當工￡(0,1)時，f(x)=x(x-b)(x-V)<x(x-])2.

令g(x)=x(x-l)2,xe(0,l),則g'*)=3fx-|j(x-l).

令g'(x)=O,得x=g.列表如下：

2

X

嗎）3

g'(?+0—

g(x)/極大值\

所以當X='時，g（X）取得極大值，且是最大值，故ga:gngf」4

=27,

3k3,

第17頁共39頁

44

所以當X￡(O,1)時，/(x)<^(x)<—,因此MW5y.

【名師點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運用數(shù)學思想方法分析與解決問題以及

邏輯推理能力.

21

8.【2018年高考全國HI卷文數(shù)】已知函數(shù)/。)=空之二.

e

U)求曲線>=/(%)在點(0,-1)處的切線方程；

：2)證明：當。之1時，/(x)+e>0.

【答案】(1)2x-y-l=0；(2)見解析.

【解析】(1)/(幻:3+(2：_1"+2,八0)=2.

e

因此曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程是2工一y-1=0.

(2)當。之1時，f(x)+e>(x2+x-1+ex+,)e-v.

令g(x)=f+x-1+et+,,則g'(x)=2x+l+er+,.

當;rc-l時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當時，gtr)>0，g(x)單調(diào)遞增;

所以g(x)之g(-1)=0.因此/(x)+eN0.

【名師點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，第一問由導數(shù)的幾何意義可求出切線方程，第二問當〃之1

時，/(x)+e>(x2+x-l+ex+l)e-\令g(x)=/+工一1+已川，求出g(x)的最小值即可證明.

9.【2018年高考全國I卷文數(shù)】已知函數(shù)/(九)=ae'—lnx-l.

⑴設x=2是“X)的極值點，求明并求外力的單調(diào)區(qū)間；

⑵證明：當?之：時,/(x)>0.

e

【答案】(1)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增；(2)見解析.

【解析】(I)/(力的定義域為(0,+°°),f(x)=aer--.

x

由題設知，f(2)=0,所以用」.

2e~

從而f(x)=^yer-lnx-1,f(x)=-^-7er--.

第18頁共39頁

當0<xv2時，f'(x)<0；當x>2時，f(x)>0.

所以/(_r)在(0.2)單調(diào)遞減,在(2.+8)單調(diào)遞增.

1v

：2)當“2—時，/(x)>e-—lnx-1.

ee

exex1

設g(x)=---Inx—1,貝！Jg，(x)=-----.

eex

當0<xvl時，g1(x)<0；當Ql時，g，(x)X).所以x=l是g(x)的最小值點.

故當x>0時，g(x)區(qū)(1)=0.

因此，當。之1時，/(%)>0.

e

【名師點睛】該題考查的是有關(guān)導數(shù)的應用問題，涉及的知識點有導數(shù)與極值、導數(shù)與最值、導數(shù)與

函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及證明不等式問題，在解題的過程中，首先要確定函數(shù)的定義域，之后根據(jù)導

數(shù)與極值的關(guān)系求得參數(shù)值，之后利用極值的特點，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二問在求解的時候構(gòu)

造新函數(shù)，應用不等式的傳遞性證得結(jié)果.

10.【2018年高考全國H卷文數(shù)】已知函數(shù)=(d+x+i)

Cl)若。=3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

：2)證明：/(%)只有一個零點.

【答案】(1)在(-8,3-26)，(3+26，+8)單調(diào)遞增，在(3-26，3+26)單調(diào)遞

減；(2)見解析.

11,

【解析】(1)當。=3時，/(x)=-x-3x~-3x-3,甘(x)=x2-6x-3.

令/Cr):0解得尸或43+25

當不金(-oo,3-273)U(3+26，+8)時，ff(x)>0；

當(3-26，3+26)時，/(4<0-

故/(x)在(-8,3-2百)，(3+26,+8)單調(diào)遞增，在(3-26，3+2月)單調(diào)遞減.

J

：2)由于_?+工+1>0,所以f(x)=。等價于1-----3?=0.

X+X+1

設g(x)=-r^——3。，

X+X+1

第19頁共39頁

r2(r2+2尤+3)

則g/”I'僅當尸。時g'⑺R'

所以g（X）在（-8,+oo）單調(diào)遞增.

故g（X）至多有一個零點，從而fG）至多有一個零點.

又/（3a-1）=-6/+2?！?—6（〃—＞—＜0?

366

f（3a+l）=（＞0,故f（x）有一個零點.

綜上，/（X）只有一個零點.

【名師點睛】（1）用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟如下：①確定函數(shù)/X%）的定義域；②求導數(shù)尸。）；③

由廣（x）＞0（或廣（%）V0）解出相應的文的取值范圍，當/（無）＞0時，“X）在相應區(qū)間上是增函數(shù)；

當廣（為＜0時，”為在相應區(qū)間上是減增函數(shù).

（2）本題第二問重在考查零點存在性問題，解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為求證函數(shù)g（x）有唯一零點,

可先證明其單調(diào)，再結(jié)合零點存在性定理進行論證.

11.【2018年高考北京文數(shù)】設函數(shù)/（工）=［依2一（3。+1）%+3〃+2扳.

（I）若曲線y=/（x）在點（2,/（2））處的切線斜率為0,求°；

（II）若/（X）在x=l處取得極小值，求。的取值范圍.

【答案】（I）a=~；（II）（l,+oo）.

2

【解析】（I）因為/（幻=［公2-（3。+1）工+3。+2］已二

所以/'"）=-（a+l）x+l］ev.

八2）=（2。-1）/,

由題設知了'（2）=0,即（2。一1把2=0,解得〃=g.

（II）方法一：由（I）得/'（X）=［?2一（a+］）x+i］e*=（ar-l）（x-l）e”.

若Al,則當工￡（，/）時，/Xx）＜0；

a

當xs（l,+oo）時，/V）＞0.

所以/（X）在A-1處取得極小值.

若則當x￡（0,l）時，ar-1＜x-l＜0.

第20頁共39頁

所以r(x)>o.

所以1不是f(x)的極小值點.

綜上可知，a的取值范圍是(1,+8).

方法二：f\x)=(ar-l)(x-l)e\

(1)當a=o時,令ra)=o得-1.

r(x\f(x)隨1的變化情況如下表：

X(y,D1(1收)

fXx)+0一

f(x)/極大值

???/(X)在X=1處取得極大值，不合題意.

(2)當a>0時，令/'(幻=0得％=±匕=1?

①當百=/，即時，r(x)=(A-l)2er>0,

???/(x)在R上單調(diào)遞增，

，/(幻無極值，不合題意.

②當百〉馬，即0<云1時，r(x),/(x)隨x的變化情況如下表:

_1_

X(-00,1)1(1,-)(一,+00)

aaa

八幻+0一0+

/(X)/極大值\極小值/

???/(x)在x=l處取得極大值，不合題意.

③當x,<W，即?1時，f'(x)J")隨x的變化情況如下表:

第21頁共39頁

1

X(-J)1(1,+co)

aaa

fXx)+0一0+

f(x)/極大值X極小值/

???/(x)在x=\處取得極小值，即a>i滿足題意.

(3)當4<0時，令/'(X)=0得X]=—,%2=1?

f(x)，/(x)隨X的變化情況如下表:

y」)j_

X(-J)1(L+oo)

aaa

f(x)一0+0一

f(x)\極小值/極大值

???/(X)在尸1處取得極大值，不合題意.

綜上所述，〃的取值范圍為(L+8).

【名師點睛】導數(shù)類問題是高考數(shù)學中的必考題，也是壓軸題，主要考查的形式有以下四個：①考查

導數(shù)的幾何意義，涉及求曲線切線方程的問題；②利用導數(shù)證明函數(shù)的旭調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間問題；③

利用導數(shù)求函數(shù)的極值、最值問題；④關(guān)于不等式的恒成立問題.

解題時需要注意以下兩個方面：①在求切線方程問題時，注意區(qū)別在某一點和過某一點解題步驟的不

同；②在研究單調(diào)性及極值、最值問題時常會涉及分類討論的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒

成立問題屬于高考中的難點，要注意問題轉(zhuǎn)換的等價性.

12.【2018年高考天津文數(shù)】設函數(shù)/(幻=(%7|)*-2)5-〃)，其中4出，4€1^，且4/2%是公差為〃的

等差數(shù)列.

[I)若f2=0,d=l,求曲線y=/(X)在點(0,/(0))處的切線方程；

(II)若d=3,求/(幻的極值；

(HI)若曲線y=/(x)與直線y=-(x—r2)—S6有三個互異的公共點，求d的取值范圍.

第22頁共39頁

【答案】(Dx+)=O；(II)函數(shù)兒0的極大值為66；函數(shù)人外的極小值為—G;(HI)d的取值范

圍為(Y0,-J1U)(J(V10,+8).

【解析】(I)解：由已知，可得/)=xd)(x+l)=.F-x,故r(x)=3fT