教學(xué)課件：《數(shù)值分析》(河海大學(xué))

數(shù)值分析ComputationalMethod

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記好課堂筆記

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保證課堂紀律

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按時完成作業(yè)

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按時上課，不遲到早退幾點要求本課程的基本要求掌握數(shù)值方法的基本原理掌握常用的科學(xué)與工程計算的基本方法能用所學(xué)方法在計算機上算出正確結(jié)果

Chapter1緒論

簡介1

引論實際問題建立數(shù)學(xué)模型選擇數(shù)值方法

編寫程序計算結(jié)果對實際問題解釋若不合理修改數(shù)值分析是計算數(shù)學(xué)的一個主要部分，著重研究適合于電腦使用的數(shù)值計算方法及相關(guān)理論數(shù)值分析的特點：面向計算機，只能和邏輯運算；有可靠的理論分析；要費時少，內(nèi)存小；經(jīng)數(shù)值試驗后，證明是行之有效。在用數(shù)值方法解題過程中可能產(chǎn)生的誤差歸納起來有如下幾類：模型誤差觀測誤差截斷誤差4.舍入誤差第二節(jié)數(shù)值計算的誤差固有誤差計算誤差2

誤差的定義定義

設(shè)x為準確值，x*

是x的一個近似值，稱為近似值x*的絕對誤差，簡稱誤差。e

=x

x定義

稱滿足的正數(shù)

*為近似值x*的絕對誤差限，簡稱為誤差限。定義

稱為近似值x*的相對誤差。常取作為相對誤差.

定義

稱滿足的正數(shù)

為近似值x*的相對誤差限。相對誤差比絕對誤差更能反映準確數(shù)與近似數(shù)的差異截斷誤差:求解數(shù)學(xué)模型所用的計算方法如果是近似的方法,據(jù)此方法得到數(shù)學(xué)模型的近似解,由此產(chǎn)生的誤差稱為截斷誤差.舍入誤差:由于電腦的字長有限,參加運算的數(shù)據(jù)、運算的過程以及結(jié)果的存放,由此產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差.例如用下列近似公式計算

由于

所以

截斷誤差為截斷誤差:求解數(shù)學(xué)模型所用的計算方法如果是近似的方法,據(jù)此方法得到數(shù)學(xué)模型的近似解,由此產(chǎn)生的誤差稱為截斷誤差.舍入誤差:由于電腦的字長有限,參加運算的數(shù)據(jù)、運算的過程以及結(jié)果的存放,由此產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差.

有效數(shù)字定義

如果近似值

的誤差限是其某一位上的半個單位，且該位直到

的第一位非零數(shù)字一共有n位，則稱近似值

具有n位有效數(shù)字，用這n位有效數(shù)字表示的近似數(shù)稱為有效數(shù)。n位誤差不超過該位的半個單位自左至右看，第一個非零數(shù)。定義

若準確值x的近似值

x*用規(guī)格化形式表示為則稱近似值

有n位有效數(shù)字。其中：*判別有效數(shù)字位數(shù)的兩種方法：

1.定義法，2.公式法。定理

令準確值x的近似值x

用規(guī)格化形式表示為若x*具有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限為反之若x*的相對誤差限

滿足則x*至少具有n位有效數(shù)字。又

所以，

故，

所以，至少有n位有效數(shù)字。證畢

和、差、積、商的誤差結(jié)論1和的誤差是誤差之和.結(jié)論2和或差的誤差限不超過誤差限的和.結(jié)論3乘積的相對誤差等于兩數(shù)相對誤差之和.結(jié)論4絕對誤差可以近似地由微分運算來描述;相對誤差可以近似地由對數(shù)的微分來描述.對多元函數(shù)u=f(x1,x2,

,xn)有關(guān)系式誤差傳遞公式………..例設(shè)y=xn,求y的相對誤差與x的相對誤差之間的關(guān)系.例設(shè)

，

，求它們的絕對誤差限。例已知的相對誤差為，求的絕對誤差（限）和相對誤差（限），又若使的絕對誤差限或相對誤差限是，則的絕對誤差限和相對誤差限分別為多少1．3

誤差定性分析與避免誤差危害條件數(shù)與病態(tài)問題稱

為計算函數(shù)值問題的條件數(shù).數(shù)值穩(wěn)定性

若初始數(shù)據(jù)的誤差在大量的計算下,傳播不大,就認為該算法是穩(wěn)定的。否則，就認為不穩(wěn)定。例計算

并估計誤差。解已知

取算法1n012340.63210.36790.26420.20740.1704n567890.14800.11200.2160-0.72807.552又因為

所以取令算法2n987650.06840.10350.11210.12680.1455n432100.17080.20730.26430.36790.6321分析算法1

所以,（不穩(wěn)定）

分析算法2

所以,

（穩(wěn)定）3.避免誤差危害的若干原則避免分母過?。槐苊鈨上嘟鼣?shù)相減；防止大數(shù)‘吃掉’小數(shù)；簡化計算步驟，減少運算次數(shù)。

1.避免除數(shù)的絕對值遠小于被除數(shù)的絕對值（即絕對值太小的數(shù)不宜做除數(shù)）分母只變0.0001,但結(jié)果相差112.2

2.避免兩個相近的數(shù)相減例

計算的近似值。

已知解1

解2分析解1有2位有效數(shù)字分析解2

有6位有效數(shù)字例求的近似值。一般地有：(1)當x充分大時,應(yīng)作變換(2)當x1與x2接近時,應(yīng)作變換(3)當x接近于零時,應(yīng)作變換3避免大數(shù)吃小數(shù)的現(xiàn)象例

求二次方程x2+104x

0.01=0的根,取10位浮點制。解1所以,(不合理)解2而用:

4盡可能減少運算次數(shù)

一個算法所需要的乘法和除法總次數(shù)稱為計算量，常用N表示。計算量的單位為flop，表示完成一次浮點數(shù)乘或除法所需要的時間。例

計算x64在某點的值。算法1

x64=x

x

x。計算量N=63flop算法2

x64=x

x2

x4

x8

x16

x32

x。N=11flop例

計算多項式的值。秦九韶算法：計算量N=n算法3

,x64=x32

x32。N=6flopx2,x4,x8,x16,

x32所以,例設(shè)

求解

所以,

解畢。2.5.埃爾米特插值在插值節(jié)點上不僅要求函數(shù)值相等，而且要求導(dǎo)數(shù)值甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等，滿足這種條件的插值多項式稱為埃爾米特插值多項式.例如：

4個條件決定了插值多項式是3次多項式且有4個都是3次多項式的插值基函數(shù)。

僅有兩個互異節(jié)點x0,x1，插值條件為的三次Hermite插值公式為+++3)(xH=其中00)(yαx11)(yαx11)(yβx00)(yβx++3)(xH=00)(yαx11)(yαx11)(y′βx00)(y′βx.Hermite插值多項式的余項以兩點三次Hermite插值公式為例:定理設(shè)函數(shù)f(x)在包含x0,x1的區(qū)間[a,b]內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù),則當x

[a,b]時,有其中

(a,b)且與x有關(guān)。2．3牛頓插值

均差

1.定義：稱為關(guān)于點的一階均差(差商),為關(guān)于點的二階均差,

為關(guān)于點的k階均差。

約定的0階均差。為關(guān)于點有時也記為。2均差的性質(zhì)性質(zhì)1f(x)關(guān)于節(jié)點x0,x1,

,xk的k階均差可以表示為函數(shù)值f(x0),f(x0),,f(xk)的線性組合,即性質(zhì)2對稱性：均差與節(jié)點的排列次序無關(guān)。如性質(zhì)3

若f(x)在[a,b]上存在n階導(dǎo)數(shù)，且互異節(jié)點x0,x1,

,xn

[a,b]，則n階均差與導(dǎo)數(shù)有關(guān)系（均差表）一階均差二階均差三階均差3.牛頓插值公式一般，

其中，稱為n次牛頓插值多項式。稱為牛頓插值多項式的余項。

由插值多項式的唯一性知，

。所以,Nn(x)的確是插值多項式.3Newton插值多項式已知數(shù)據(jù)表

構(gòu)造一個n次多項式滿足條件于是,該插值問題得到解決.且是均差表中的對角線元素.（均差表）一階均差二階均差三階均差據(jù)牛頓插值公式的形式知

所以，牛頓插值公式有繼承性。一階均差二階均差三階均差2.4等距節(jié)點的牛頓插值公式

若插值節(jié)點,滿足:,稱為步長，插值節(jié)點又可寫為，據(jù)此建立的牛頓插值公式稱為等距節(jié)點的牛頓插值公式。記

稱為向前差分

稱為向后差分稱為中心差分

分別稱為向前差分算子，向后差分算子，中心差分算子，不變算子，移位算子。，

二階向前差分

m階向后差分 二階中心差分m階向前差分

差分與均差的關(guān)系：差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：牛頓前插公式要計算附近點的函數(shù)值，令，余項為牛頓后插公式要計算附近點的函數(shù)值，令

，

余項為。

2.6分段低次插值高次插值的病態(tài)性質(zhì)實際上，滿足插值條件越多不一定有插值效果越好，龍格給出了例子，取個等距節(jié)點構(gòu)造拉格朗日插值多項式，當時，隨著增大而增大，不收斂于這一事實稱為龍格現(xiàn)象。高次插值的Runge現(xiàn)象Runge現(xiàn)象2分段線性插值

設(shè)f(x)在各節(jié)點a=x0<x1<

<xn=b處的函數(shù)值分別為y0,y1,

,yn。

在曲線y=f(x)上相鄰兩點(xi-1,yi-1),(xi,yi)之間用直線連接(i=1,2,

,n),這n條直線段組成折線。此折線對應(yīng)的函數(shù)In(x)稱為分段線性插值函數(shù)。分段線性插值函數(shù)In(x)滿足：(1)在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上是線性函數(shù);(2)在區(qū)間[a,b]上連續(xù);(3)In(xi)=yi,i=0,1,

,n。In(x)在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上的表達式為:+,11----iiixxxxiy1---iiixxxx1-iy)(=nxI分段線性插值的余項定理設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有二階導(dǎo)數(shù),則在[a,b]上的分段線性插值函數(shù)In(x)的誤差估計為其中x

[a,b],定理若在收斂于自身。上連續(xù)，則其分段線性函數(shù)一致3分段三次Hermite插值

設(shè)f(x)在各節(jié)點xi處的函數(shù)值為yi導(dǎo)數(shù)值為y

i,i=0,1,

,n。

在曲線y=f(x)上相鄰兩點(xi-1,yi-1),(xi,yi)之間用三次Hermite插值多項式S3(x)連接(i=1,2,

,n),滿足:(1)在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上是三次多項式;(2)S3(x)和S

3(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù);(3)S3(xi)=yi,S3(xi)=y

i,i=0,1,

,n。S3(x)在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上的表達式為:分段三次Hermite插值的余項定理設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有四階導(dǎo)數(shù),則在[a,b]上的分段三次Hermite插值函數(shù)S3(x)的誤差估計為其中x

[a,b],例求在并估計誤差。又設(shè)，問步長為多少。上的分段埃爾米特插值,解其中:誤差:，

若，則

解畢2.7樣條插值1.概念

定義：若是分段三次多項式，且整體插值區(qū)間上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則稱是三次樣條函數(shù),又若,

則稱是三次樣條插值函數(shù)。

常見邊界條件第一邊界條件