微專(zhuān)題16阿波羅尼斯圓問(wèn)題梳理及其運(yùn)用

微專(zhuān)題16阿波羅尼斯圓問(wèn)題梳理及其運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)和重點(diǎn)，尤其是阿波羅尼斯圓在高考中頻頻出現(xiàn)．處理此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，尋找動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)定圓，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系問(wèn)題，并在解決問(wèn)題的過(guò)程中感悟轉(zhuǎn)化與化歸、化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想方法.例題：在△ABC中，若AB＝2，AC＝eq\r(2)BC，求△ABC面積的最大值．變式1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，動(dòng)點(diǎn)P在直線x＋eq\r(3)y－b＝0上，過(guò)P分別作圓O，O1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，若滿足PB＝2PA的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_(kāi)_______________．變式2已知點(diǎn)A(－2，0)，B(4，0)，圓C：(x＋4)2＋(y＋b)2＝16，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，若eq\f(PA,PB)為定值，則b的值為_(kāi)_______________．串講1已知A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，點(diǎn)D是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，若AD≤2BD恒成立，則最小正整數(shù)t的值為_(kāi)_______________．

串講2已知點(diǎn)P是圓O：x2＋y2＝25上任意一點(diǎn)，平面上有兩個(gè)定點(diǎn)M(10，0)，N(eq\f(13,2)，3)，則PN＋eq\f(1,2)PM的最小值為_(kāi)_______________．(2018·南京、鹽城、連云港二模)調(diào)查某地居民每年到商場(chǎng)購(gòu)物次數(shù)m與商場(chǎng)面積S、到商場(chǎng)距離d的關(guān)系，得到關(guān)系式m＝k×eq\f(S,d2)(k為常數(shù))．如圖，某投資者計(jì)劃在與商場(chǎng)A相距10km的新區(qū)新建商場(chǎng)B，且商場(chǎng)B的面積與商場(chǎng)A的面積之比為λ(0<λ<1)．記“每年居民到商場(chǎng)A購(gòu)物的次數(shù)”，“每年居民到商場(chǎng)B購(gòu)物的次數(shù)”分別為m1，m2，稱(chēng)滿足m1<m2的區(qū)域叫作商場(chǎng)B相對(duì)于A的“更強(qiáng)吸引區(qū)域”．(1)已知P與A相距15km，且∠PAB＝60°.當(dāng)λ＝eq\f(1,2)時(shí)，居住在點(diǎn)P處的居民是否在商場(chǎng)B相對(duì)于A的“更強(qiáng)吸引區(qū)域”內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若要使與商場(chǎng)B相距2km以?xún)?nèi)的區(qū)域(含邊界)均為商場(chǎng)B相對(duì)于A的“更強(qiáng)吸引區(qū)域”，求λ的取值范圍．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C經(jīng)過(guò)A(0，2)，O(0，0)，D(t，0)(t>0)三點(diǎn)，M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，l1，l2是過(guò)點(diǎn)B(1，0)且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交y軸于點(diǎn)E，l2交圓C于P，Q兩點(diǎn)．(1)若t＝PQ＝6，求直線l2的方程；(2)若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整數(shù)，求三角形EPQ的面積的最小值．答案：(1)4x－3y－4＝0.；(2)eq\f(\r(15),2).解析：(1)由題意可知，圓C的直徑為AD，所以圓C方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.1分設(shè)l2方程為y＝k(x－1)，則eq\f(（2k－1）2,1＋k2)＋32＝10，解得k1＝0，k2＝eq\f(4,3).3分當(dāng)k＝0時(shí)，直線l1與y軸無(wú)交點(diǎn)，不合題意，舍去.4分所以k＝eq\f(4,3)，此時(shí)直線l2的方程為4x－3y－4＝0.6分(2)設(shè)M(x，y)，由點(diǎn)M在線段AD上，得eq\f(x,t)＋eq\f(y,2)＝1，即2x＋ty－2t＝0.由AM≤2BM，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(2,3)))eq\s\up12(2)≥eq\f(20,9).8分由AD位置知，直線AD和圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(20,9)至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)－\f(8,3)t)),\r(4＋t2))≥eq\f(2\r(5),3)，解得t≤eq\f(16－10\r(3),11)或t≥eq\f(16＋10\r(3),11).10分因?yàn)閠是使AM≤2BM恒成立的最小正整數(shù)，所以t＝4.11分所以，圓C方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.①當(dāng)直線l2：x＝1時(shí)，直線l1的方程為y＝0，此時(shí)，S△EPQ＝2；12分②當(dāng)直線l2的斜率存在時(shí)，設(shè)l2的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，則l1的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1)，點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,k))).所以BE＝eq\r(1＋\f(1,k2)).圓心C到l2的距離為eq\f(|k＋1|,\r(1＋k2)).所以PQ＝2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|k＋1|,\r(1＋k2))))\s\up12(2))＝2eq\r(\f(4k2－2k＋4,1＋k2)).14分故S△EPQ＝eq\f(1,2)BE·PQ＝eq\f(1,2)eq\r(1＋\f(1,k2))·2eq\r(\f(4k2－2k＋4,1＋k2))＝eq\r(\f(4k2－2k＋4,k2))＝eq\r(\f(4,k2)－\f(2,k)＋4)≥eq\f(\r(15),2).因?yàn)閑q\f(\r(15),2)<2，所以(S△EPQ)min＝eq\f(\r(15),2).16分_________________________________________________________________________________________