等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)及應用+高二下學期數(shù)學北師大版（2019）選擇性必修第二冊

1.3.2課時2等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)及應用第一章數(shù)列1.了解等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征.2.掌握等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì).3.能應用等比數(shù)列的知識解決實際問題.問題1:我們知道，等差數(shù)列前n項和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)形式，可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)研究等差數(shù)列的前n項和的某些特性，等比數(shù)列前n項和公式是否具有函數(shù)特征呢？等比數(shù)列前n項和公式也具有函數(shù)特征，知識梳理等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征在等比數(shù)列前n項和公式中，當公比q≠1時，設(shè)A＝

，等比數(shù)列的前n項和公式是Sn＝

.即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).當公比q＝1時，因為a1≠0，所以Sn＝

，Sn是n的正比例函數(shù).A(qn－1)na1注意：等比數(shù)列前n項和公式的結(jié)構(gòu)特點即qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).【例1】已知等比數(shù)列{an}的公比為q，且有1－q＝3a1，求{an}的前n項和．

問題2:你能否用等比數(shù)列{an}中的Sm，Sn來表示Sm＋n?思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n

＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm

＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m

＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn

＝Sn＋qnSm.問題3:類似于等差數(shù)列中的片段和的性質(zhì)，在等比數(shù)列中，你能發(fā)現(xiàn)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n為偶數(shù)且q＝－1除外)的關(guān)系嗎？Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比數(shù)列，證明如下：思路一：當q＝1時，結(jié)論顯然成立；故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列.思路二：由性質(zhì)Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列.問題4：類比等差數(shù)列前n項和性質(zhì)中的奇數(shù)項、偶數(shù)項的問題，等比數(shù)列是否也有相似的性質(zhì)？若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n項，則其偶數(shù)項和為S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇數(shù)項和為S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易發(fā)現(xiàn)兩列式子中對應項之間存在聯(lián)系，若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n＋1項，則其偶數(shù)項和為S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇數(shù)項和為S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，從項數(shù)上來看，奇數(shù)項比偶數(shù)項多了一項，于是我們有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶.知識梳理等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)1.若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋).2.若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項和(n為偶數(shù)且q＝－1除外)，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列.3.當n是偶數(shù)時，S偶=S奇·q；當n是奇數(shù)時，S奇=a1+S偶·q.</m>

(2)等比數(shù)列共有{an}項，其和為-240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q=

．

∴2n=256，解得n=8.所以公比q=2，項數(shù)n=8.解：設(shè)該等比數(shù)列為{an}，∵項數(shù)是偶數(shù)，∴S偶=qS奇，∴85q=170，∴q=2.又Sn=85+170=255，即【例3】一個等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求出該數(shù)列的公比和項數(shù).解：用an表示熱氣球在第n

min上升的高度，由題意，得因此，數(shù)列{an}是首項a1=25、公比q=的等比數(shù)列.熱氣球在n

min上升的高度為【例4】一個熱氣球在第1min上升了25m的高度，在以后的每1min里，它上升的高度都是它在前1min上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能達到125m嗎？所以這個熱氣球上升的高度不可能超過125m.1.一個等比數(shù)列的前n項和為45，前2n項和為60，則前3n項和為(

)A.65

B.73

C.85

D.1082.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若公比q=2，S100=36，則a1+a3+…+a99等于(

)A.24 B.12 C.18 D.22AB3.(