四川省成都市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末校級(jí)調(diào)研聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末校級(jí)調(diào)研聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的學(xué)校、姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“條形碼粘貼處”.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，得到，所以在上的投影向量為，故選：B.2.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，與點(diǎn)的距離為且與圓相切的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】根據(jù)題意可知與點(diǎn)的距離為的直線始終與以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓相切，而此直線又與圓相切，因此該直線是圓與圓的公切線，又兩圓圓心距離等于兩圓半徑和，所以兩圓外切，它們有3條公切線，即所求切線條數(shù)為3，故選：C3.設(shè)、分別是事件A、B的對(duì)立事件，，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.若A、B是互斥事件，則C. D.若A、B是獨(dú)立事件，則【答案】B【解析】選項(xiàng)A：是事件A的對(duì)立事件，則.判斷正確；選項(xiàng)B：若A、B是互斥事件，則，又，則.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)榕cA對(duì)立，.判斷正確；選項(xiàng)D：若A、B獨(dú)立事件，則.判斷正確.故選：B4.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為，則（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】依題意，記，，，則，，則，因?yàn)?，，所?故選：D.5.在樣本頻率分布直方圖中共有9個(gè)小矩形，若其中1個(gè)小矩形的面積等于其他8個(gè)小矩形面積和的，且樣本容量為210，則該組的頻數(shù)為（）．A.28 B.40 C.56 D.60【答案】D【解析】設(shè)該小矩形的面積為x，9個(gè)小矩形的總面積為1，則其他8個(gè)小矩形的面積和為，所以，所以，所以該組的頻數(shù)為．故選：D.6.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作其中一條漸近線的垂線，垂足為P，則為（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】由已知，，，，，如圖，一條漸近線的方程為，即，，則的斜率為，設(shè)，由得，所以，，故選：B．7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，其上有兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，滿足的斜率等于1，則的最大值是（）A.7 B.8 C. D.10【答案】D【解析】由題知，直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，，由，消得到，由，得到①，由韋達(dá)定理知，，所以，又由題知，得到②，由①②得到，即或.由拋物線定義知，，又由，得到，取，將代入并化簡(jiǎn)得到，當(dāng)，則，且，令，則，由，得到，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由時(shí)，，，所以時(shí)，，即有時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，得到，所以當(dāng)時(shí)，有最大值為3，所以的最大值為，得到，當(dāng)，則，且，令，則因?yàn)?，所以，得到，所以，在上恒成立，此時(shí)，則，故，綜上，，故選：D.8.半徑為R的光滑半球形碗中放置著4個(gè)半徑為r的質(zhì)量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今將另一個(gè)完全相同的小球至于其上方，若小球不滑動(dòng)，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以碗的大圓圓心，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：上面球的球心、下面4個(gè)球之一的一個(gè)球心分別為，以球?yàn)閷?duì)象分析它的受力情況：球給它的壓力為，它自身受到的重力為，由對(duì)稱性可知碗給它的支持力為，所以，解得，所以的最大值是.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知方程（m為實(shí)數(shù)）表示的曲線C，則（）A.曲線C不可能表示一個(gè)圓B.曲線C可以表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C.曲線C可以表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.曲線C可以表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線【答案】ACD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)曲線C表示一個(gè)圓時(shí)，得，得，顯然無解，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓時(shí)，得得，顯然無解，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，得得，得，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線時(shí)，得，得，故D項(xiàng)正確；故選：ACD10.如圖,在四棱錐中,平面平面，，，若，，為棱的中點(diǎn)在，則下列說法正確的有（）A.平面B.二面角的余弦值為C.二面角的正弦值為D.若在線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是，則的值為【答案】ABD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，且，又，，所以，且，所以為平行四邊形，所以，又面，面，所以平面，故選項(xiàng)A正確，因?yàn)椋?，得到，又，所以，得到，又平面平面，平面平面，平面，所以面，又，所以可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，則，所以，易知平面即為平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得到，取，得到，所以，則，由圖易知，二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因二面角的正弦值為，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，又，得到，所以，得到，設(shè)到平面距離為，則，解得，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.11.已知，則下列說法正確的有（）A.若，則的最大值為B.若，則的最大值為C.若的最小值為，則的最小值D.若的最小值為，則的最小值【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，令，則，設(shè)，所以，由，得到，即，所以向量的終點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，令，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最大值或最小值，此時(shí)有，解得或，所以的最大值為，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確，取，則，過點(diǎn)作垂直于所在的直線于，則有，又，所以，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，所在直線為準(zhǔn)線的拋物線及其內(nèi)部，設(shè)與拋物線的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作于，則，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.12.已知拋物線：，過焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線與直線的傾斜角分別是與，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】作軸于，做軸于，所以，，拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，所以直線的斜率存在設(shè)為，可得直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，整理得，所以，，對(duì)于A，，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以直線與的傾斜角互補(bǔ)，即，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，，，所以，所以，所以，即，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.對(duì)任意的實(shí)數(shù),圓上一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為______.【答案】【解析】由題意可知圓的圓心為，半徑，直線方程可化為，令解得，所以直線過定點(diǎn)，顯然當(dāng)直線與圓相切或相交時(shí)，取最小值且，不妨令直線過原點(diǎn)，將代入，此時(shí)，設(shè)圓心到直線的距離為，當(dāng)直線與垂直時(shí)，取得最大值，下面證明：當(dāng)與直線垂直時(shí)，記為直線，當(dāng)不與直線垂直且直線不經(jīng)過時(shí)，記直線，過作交于點(diǎn)，如下圖所示，由圖可知為直角三角形，且為斜邊，所以，所以取最大值時(shí)，與直線垂直時(shí)，故，，但此時(shí)的方程為，即為，此時(shí)無論取何值都無法滿足要求，故取不到，所以，故答案為：14.已知n個(gè)人獨(dú)立解決某問題概率均為，且互不影響，現(xiàn)將這n個(gè)人分在一組，若解決這個(gè)問題概率超過，則n的最小值是_____【答案】9【解析】依題意，n個(gè)人都沒有解決問題的概率為，因此這個(gè)小組能解決問題的概率為，于是，整理得，函數(shù)是遞增的，而，，因此成立時(shí)，所以n的最小值是9.故答案為：915.把橢圓的長軸分為2024等份，過每個(gè)等分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于2023個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則這2023個(gè)點(diǎn)到F的距離之和為______【答案】【解析】因?yàn)榘褭E圓的長軸分成2024等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)，，，，如圖：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，且，解得，由橢圓的定義及橢圓的對(duì)稱性得，，，故答案為：16.如圖,在矩形中，，，分別為邊，的中點(diǎn)，分別為線段（不含端點(diǎn)）和上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，直線，的交點(diǎn)為，已知點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】以所在的直線為軸，線段的中垂線所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)，則，則有，，，，，，，設(shè)，所以，，又因?yàn)?，所以，所以或，又因?yàn)?，所以直線的方程為：，即，同理可得直線的方程為：，即，由，可得，即，因?yàn)?，，，即有，，所以點(diǎn)所在雙曲線方程為：，所以，所以，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.為了了解甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達(dá)標(biāo)，分別從兩廠隨機(jī)選取了10個(gè)輪胎，將每個(gè)輪胎的寬度（單位：mm）記錄下來并繪制出折線圖：（1）分別計(jì)算甲、乙兩廠提供10個(gè)輪胎寬度的平均值；（2）輪胎的寬度在[193，195]內(nèi)，則稱這個(gè)輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎，試比較甲、乙兩廠分別提供的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差的大小，根據(jù)兩廠的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均水平及其波動(dòng)情況，判斷這兩個(gè)工廠哪個(gè)廠的輪胎相對(duì)更好.解：（1）由題：甲廠輪胎寬度的平均值為：；乙廠輪胎寬度的平均值為：；所以甲、

乙兩廠提供10個(gè)輪胎寬度的平均值分別為195，194.（2）由題，甲廠提供的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度為：，其平均數(shù)為：，其方差為：；乙廠提供的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度為：，其平均數(shù)為：，其方差：；從平均數(shù)上來看：乙廠提供的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度高于甲廠提供的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度，但乙廠提供的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度方差較大，不夠穩(wěn)定.18.已知圓，兩點(diǎn)（1）若r=8，直線l過點(diǎn)B且被圓C所截的弦長為6，求直線l的截距式方程；（2）動(dòng)點(diǎn)滿足，若P的軌跡與圓C有公共點(diǎn)，求半徑r的取值范圍.解：（1）若，則.直線l過點(diǎn)B且被圓C所截的弦長為6，設(shè)圓心到直線距離為，則，，解得：.若直線l斜率不存在，則，不合題意；若直線l斜率存在，設(shè)即，，解得：，即直線l方程為：.當(dāng)時(shí)，，故即直線l截距式方程為：或.（2）由題：，化簡(jiǎn)得：，即，若P的軌跡與圓C有公共點(diǎn)，即圓與有公共點(diǎn)，所以，解得：，故半徑r的取值范圍是.19.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn).和的距離分別為和，，使得（1）證明：動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，并求出的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）在中，，，，由余弦定理得,又，所以，即，由雙曲線的定義知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線，易知，，又，所以曲線的方程為.（2）易知當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線不相交，所以可設(shè)直線方程為，，由，消得到，因?yàn)橹本€與雙曲線的左，右兩支相交，所以，得到，由韋達(dá)定理知，又，因?yàn)?，又，所以，得到，所以的取值范圍?20.如圖，平面平面，四邊形為矩形，且為線段的中點(diǎn)，，，，.（1）求證：平面（2）求直線與平面所成角的余弦值.解：（1）取中點(diǎn)，連接，，，，，所以且，所以四邊形為正方形，則，得到，所以，又平面平面，平面平面，面，所以面，又面，所以，易知，所以，又四邊形為矩形，且為線段的中點(diǎn)，所以，得到，故，又，面，所以平面.（2）因?yàn)椋制矫嫫矫?，平面平面，面，所以面，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又，，，則，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得到，取，得到，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，即直線與平面所成角的余弦值為.21.已知圓的方程,,，拋物線過兩點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線.（1）求拋物線焦點(diǎn)的軌跡C的方程；（2）已知,設(shè)x軸上一定點(diǎn)，過T的直線交軌跡C于兩點(diǎn)（直線與軸不重合），求證：為定值.解：（1）如圖，是圓的切線，分別過作直線的垂直，垂足分別為，又是中點(diǎn)，則是直角梯形的中位線，，設(shè)是以為準(zhǔn)線的拋物線的焦點(diǎn)，則，，所以，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，橢圓長軸長為8，，則，因此，所以拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程為；（2）由題意設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，，，代入，，得為常數(shù)．22.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交于兩點(diǎn)，過與垂直的直線交于兩點(diǎn)，其中在軸左側(cè)，分別為的中點(diǎn)，且直線過定點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)為直線與直線的交點(diǎn);（i）證明在定直線上