四川省涼山州西昌市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省涼山州西昌市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，試題卷4頁，答題卡2頁.全卷滿分為150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并將條形碼站貼在答題卡的指定位置；選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，其他試題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡對(duì)應(yīng)題框內(nèi)，不得超越題框區(qū)域.考試結(jié)束后將答題卡收回.第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橹本€方程為，所以斜率為1，故傾斜角為，故選:B.2.某學(xué)校高二年級(jí)選擇“物化生”，“物化地”和“史地政”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，90和120.現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出15位同學(xué)進(jìn)行項(xiàng)調(diào)查研究，則“史地政”組合中選出的同學(xué)人數(shù)為（）A.8 B.6 C.4 D.3【答案】C【解析】由題：，故“史地政”組合中選出的同學(xué)人數(shù)為4人，故選：C．3.已知為等比數(shù)列，若，則的值為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，故選:B.4.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B.（2，﹣1，2）C. D.（1，﹣2，1）【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，，故向量在向量上的投影向量?故選：A．5.若直線與圓相切，則m的值為（）A.21或 B.或1 C.5或 D.或15【答案】D【解析】圓的圓心為圓，半徑為2，由題意可得：，解得或.故選：D.6.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層10個(gè)…，則第二十層球的個(gè)數(shù)為（）A.210 B.220 C.230 D.240【答案】A【解析】設(shè)第層的小球個(gè)數(shù)為依次構(gòu)成數(shù)列，由題：從而有規(guī)律：所以所以．即第20層有210個(gè)小球，故選：A．7.如圖，在棱長為1的正方體中，P為的中點(diǎn)，Q為上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF的長為定值，則點(diǎn)Q到平面PEF的距離（）A.等于 B.和EF的長度有關(guān)C.等于 D.和點(diǎn)Q的位置有關(guān)【答案】A【解析】取的中點(diǎn)G，連接，則，所以點(diǎn)Q到平面的距離即點(diǎn)Q到平面的距離，與的長度無關(guān)，B錯(cuò)．又平面，所以點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)Q到平面的距離，即點(diǎn)Q到平面的距離，與點(diǎn)Q的位置無關(guān)，D錯(cuò)．如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，，設(shè)是平面的法向量，則由得令，則，所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)點(diǎn)Q到平面的距離為d，則，A對(duì)，C錯(cuò)．故選：A．8.已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，與在第二象限的交點(diǎn)為P，若的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意：設(shè)，分別為的中點(diǎn)，橢圓長半軸長為，短半軸長為，雙曲線實(shí)半軸長為，虛半軸長為，則由橢圓及雙曲線定義可得：，解得，又因?yàn)?，且分別為，的中點(diǎn)，可得，所以到漸近線的距離為，所以，，結(jié)合，可得：，因?yàn)椋约?，整理得：，將代入得，即，所?故選：C.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列命題為真命題的是（）A.若空間向量，，滿足，則B.若三個(gè)非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，必定共面C.若空間向量，，則D.對(duì)于任意空間向量，，必有【答案】BD【解析】若為零向量，有，但不一定成立，A錯(cuò)：三個(gè)非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則它們必共面，B對(duì)；若為零向量，，，但不一定成立，C錯(cuò)：由，，而，所以，D對(duì).故選：BD10.已知拋物線焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是B.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4C.的最小值為8D.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則的最小值為6【答案】BCD【解析】A項(xiàng)，拋物線，所以，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即4，所以B正確；C項(xiàng)，焦點(diǎn)弦MN，由幾何性質(zhì)可知通徑最小，為，所以C正確；D項(xiàng)，如圖所示，，當(dāng)M，，P三點(diǎn)共線時(shí)有最小值為，所以D正確.故選：BCD.11.已知首項(xiàng)為1的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列不是等比數(shù)列C.D.中任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等差數(shù)列【答案】ABD【解析】對(duì)于A,中位數(shù)2，極差為5，所以最大值不會(huì)超過7，符合條件；對(duì)于B，若過去10天的人數(shù)分別為，滿足平均數(shù)為2，眾數(shù)為2，但有一天人數(shù)超過7人，所以不符合條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槠骄鶖?shù)為2，標(biāo)準(zhǔn)差為，所以，若有一天人數(shù)超過7，設(shè)為8時(shí)，則，不符合題意，故沒有一天人數(shù)超過7，故C正確；對(duì)于D，若過去10天的人數(shù)分別為，滿足平均數(shù)為1，方差大于0，但有一天人數(shù)超過7人，所以不符合條件，故D錯(cuò)誤，故選：AC.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______.【答案】【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.如圖,電路中A、B、C三個(gè)電子元件正常工作的概率分別為,則該電路正常工作的概率______.【答案】【解析】由題，該電路正常工作指的是A元件正常工作且B，C中至少有一個(gè)能正常工作，設(shè)A，B，C元件能正常工作為事件A，B，C，該電路正常工作為事件D，由題A，B，C相互獨(dú)立，則故答案為：．15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則取得最大值時(shí)的值為______．【答案】【解析】由已知數(shù)列為等差數(shù)列，則，又，所以，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故答案為：.16.在中,,，，P為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，沿CP將折起形成直二面角，當(dāng)最短時(shí)，＝__，此時(shí)三棱錐的體積為____．【答案】;【解析】作于點(diǎn)，連接，設(shè)，則，所以，在中，由余弦定理可得，，因?yàn)闉橹倍娼牵云矫嫫矫?，因?yàn)槠矫嫫矫?，，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，則，當(dāng)最短時(shí)，，所以，即此時(shí)為的角平分線，，且由角平分線定理可得，，即，所以，所以.故答案為:；.四、解答題（本題共有6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.如圖,在空間四邊形中,,點(diǎn)為的中點(diǎn),設(shè).（1）試用向量表示向量；（2）若，求的值.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以．（2）因?yàn)?，所?18.某學(xué)校組織全校1000名學(xué)生參加了主題為“健康生活，積極運(yùn)動(dòng)”的大運(yùn)會(huì)文創(chuàng)大賽，抽取了100名學(xué)生的得分進(jìn)行分析，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，.（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)該校學(xué)生得分不低于80分的人數(shù)；（2）試估計(jì)該校學(xué)生比賽得分眾數(shù)和80%分位數(shù)（80%分位數(shù)保留小數(shù)點(diǎn)后2位）；（3）若樣本中有得分在的學(xué)生甲、乙兩人，得分在的學(xué)生a，b，c三人，從這五人中抽取2人集中學(xué)習(xí)，請(qǐng)寫出抽取的樣本空間，并求出這2人得分都在的概率.解：（1）由頻率分布直方圖可知，，解得.該校學(xué)生得分不低于80分的人數(shù)為：.（2）眾數(shù)：75因?yàn)椋?，所?0%分位數(shù)在內(nèi)，所以80%分位數(shù)為：.（3）樣本空間為共10種，2人得分在的情況有，，3種，所以這2人得分都在的概率為.19.已知圓，直線.（1）求證：直線恒過定點(diǎn)；（2）直線被圓截得的弦何時(shí)最長？何時(shí)最短？并求截得的弦長最短時(shí)的值以及最短弦長.解：（1）直線的方程可化為聯(lián)立，解得故直線恒過定點(diǎn)（2）當(dāng)直線過圓心時(shí)，直線被圓截得的弦長最長設(shè)，當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長最短則直線的斜率為由得直線的斜率為，解得此時(shí)的方程為，即圓心到直線的距離為∴最短弦長故當(dāng)過圓心時(shí)弦長最長；當(dāng)?shù)姆匠虨闀r(shí)最短；；最短弦長為20.已知等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，且，20，既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為，由題得，即，解得，，所以，；（2），則，.故.21.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，E點(diǎn)在AD上，且．（1）求證：平面平面PAC；（2）若直線PC與平面PAB所成的角為45°，求二面角的余弦值．解：（1）∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵，且，∴，∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，取BC中點(diǎn)G，連接AG，∴，即，由（1）可得，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AG為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系由（1）可得，平面，∴為直線PC與平面所成角，即設(shè)平面的法向量為∵，∵，，∴，令，則，，∴∵x軸⊥平面，∴平面的法向量，設(shè)為二