天津市紅橋區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市紅橋區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】全集，，則，又，所以.故選：D2.設(shè)是實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】因為a，b都是實數(shù)，令，，滿足，但，所以，令，，滿足，但，所以，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.3.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象的可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于函數(shù)，有，解得，所以，函數(shù)的定義域為，因為，即函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD選項，當(dāng)時，，則，排除C選項.故選：A.4.設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，，所以.故選：C5.已知數(shù)列的通項公式為，從該數(shù)列中抽取出一個以原次序組成的首項為4，公比為2的等比數(shù)列，，，，其中，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，故，又，故，即故選：A.6下列命題中①散點圖可以直觀地判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；②回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線；③回歸分析和獨立性檢驗沒有什么區(qū)別；④回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點.其中正確的命題個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】散點圖可以直觀地判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，①正確；回歸直線可以不經(jīng)過散點圖中的任何一個點，②錯誤；回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種方法，獨立性檢驗是對兩個變量是否具有某種關(guān)系的分析，③錯誤；回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點，④正確，所以正確的命題個數(shù)為2.故選：B7.分別以正方體各個面的中心為頂點的正八面體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】B【解析】如圖所示，不妨設(shè)正方體的棱長為，各個面的中心分別是，，，，，，正方體的中心為，分別以正方體各個面的中心為頂點的正八面體為，是由正四棱錐和組成，因為，所以外接球半徑，內(nèi)切球半徑等于到面的距離，如圖，連接，，，所以是的中位線，由正方體的棱長為，所以，，所以，同理，在三棱錐中，由等體積法知：，解得：，所以外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.故選：B8.已知圓與中心在原點、焦點在坐標(biāo)軸上的雙曲線的一條漸近線相切，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】圓的圓心，半徑，當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線的方程為，則其漸近線方程為，于是，即，因此雙曲線的離心率；當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線的方程為，則其漸近線方程為，于是，即，因此雙曲線的離心率則，所以雙曲線的離心率為或.故選：C9.已知函數(shù)若存在實數(shù)b，使得方程有兩個不同解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，，所以函數(shù)圖象如圖，當(dāng)時，的圖象如下，可知不存在實數(shù)b，使得方程有兩個不同的解.同理當(dāng)也不滿足.當(dāng)時，的圖象如下，可知存在實數(shù)b，使得方程有兩個不同的解.綜上，要使方程有兩個不同的解，需．故選：C二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.10.______.【答案】【解析】.故答案為：11.已知二項式，則其展開式中的系數(shù)為____________．【答案】【解析】由題意可知，的展開式的通項公式為，令，解得.所以二項式展開式中的系數(shù)為.故答案為：.12.已知，是拋物線上的兩點，且直線經(jīng)過的焦點，若，則______.【答案】16【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，又直線經(jīng)過的焦點，且，所以.故答案為：1613.移動支付在中國大規(guī)模推廣五年之后，成功在10億移動互聯(lián)網(wǎng)用戶中獲得了九成的滲透率，這大約是中國自寬帶和手機之后，普及率最高的一項產(chǎn)品，甚至，移動支付被視為新時代中國的四大發(fā)明之一.近日在一家大型超市進(jìn)行了顧客使用移動支付情況的調(diào)查.調(diào)查人員從年齡在20歲到60歲的顧客中隨機抽取了200人，得到如下數(shù)據(jù):年齡段人數(shù)類型使用移動支付45402515不使用移動支付0102045從這200人中隨機依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移動支付的條件下，第2次抽到的人不使用移動支付的概率為______；在隨機抽取的200人中對使用移動支付的人群采用分層抽樣的方式抽取25人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查，再從這25人中隨機選出3人頒發(fā)參與獎，則這3人中恰有1人的年齡在之間的概率是______.【答案】；【解析】使用移動支付的有人，不使用移動支付的有人.①第1次抽到的人使用移動支付的條件下，第2次抽到的人不使用移動支付的概率為.②，所以抽取的人中，在之間的有人，在之外的有人，從這25人中隨機選出3人，這3人中恰有1人的年齡在之間的概率是.故答案為：；14.已知函數(shù)在處取得最大值2，的最小正周期為，則______；在上的單調(diào)遞減區(qū)間是______.【答案】2；【解析】依題意，函數(shù)，則，，解得，又，則，即，因此，當(dāng)時，，由，解得，于是在上單調(diào)遞減，所以，在上的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：2；15.已知，，，，若存在非零實數(shù)，使得，則的最小值為______.【答案】9【解析】因為，，，則，即，且，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為9.故答案為：9.三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，且，，.（1）求角及邊的值；（2）求的值.解：（1）因為，由余弦定理得，因為，所以，因為，，所以，由正弦定理得，即，解得；（2）由（1）得，，.17.如圖，在直三棱柱中，，，，點D是線段的中點，（1）求證：（2）求D點到平面的距離；證明：（1）△ABC中，，，，所以，在直三棱柱中，平面，平面，所以，又因為，平面，平面，所以平面，平面，所以．解：（2）由（1）知，平面ABC，平面ABC，平面ABC，所以，，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，解得，令，則，設(shè)D到平面的距離為，得．18.已知等差數(shù)列的前n項和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．解：（1）由題意，在等差數(shù)列中，設(shè)公差為,由，得，則，又a3＋2，a4，a5－2成等比數(shù)列，∴7，5＋d，3＋2d成等比數(shù)列，得，即，得d＝2，∴，，∴數(shù)列的通項公式為：．（2）由題意及（1）得，，在數(shù)列中，，在數(shù)列中，，∴，∴，，兩式相減得．∴19.橢圓的兩個焦點分別為，，離心率為，為橢圓上任意一點，不在軸上，的面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓相交于M，N兩點，設(shè)點，求證：直線，的斜率之和為定值，并求出定值.解：（1）因為橢圓的離心率為，所以，設(shè)到的距離為，因為，所以，易得當(dāng)時面積取得最大值，所以，因為，所以，，所以橢圓的方程為；證明：（2）如圖，易知點在橢圓外，設(shè)直線的方程為，，，由得，所以，，，因為，所以，所以，所以，所以.20.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令（），其圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)，時，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）依題意，知的定義域為