聚焦一致性的數(shù)與運(yùn)算教學(xué)策略

新課程標(biāo)準(zhǔn)對小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與運(yùn)算”主題內(nèi)容的教學(xué)要求是：“初步體會(huì)數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識(shí)；感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)?！比绾卧诮虒W(xué)中落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的上述要求呢？一、立足計(jì)數(shù)單位，明確數(shù)與運(yùn)算一致性的內(nèi)涵從數(shù)的意義看，對于整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，我們都可以從計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的角度加以認(rèn)識(shí)。具體來說，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)都可以看作由若干計(jì)數(shù)單位組成的數(shù)，如8由8個(gè)一組成，0.8由8個(gè)0.1組成，[89]由8個(gè)[19]組成。學(xué)生理解了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于計(jì)數(shù)單位表達(dá)的一致性，也就打通了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念，感悟到數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性。從運(yùn)算的意義看，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，其四則運(yùn)算的意義都一致。整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的算法雖有不同，但從算理看，無論是整數(shù)加減運(yùn)算的相同數(shù)位對齊、小數(shù)加減運(yùn)算的小數(shù)點(diǎn)對齊，還是分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算的先通分再計(jì)算，其背后的道理都是相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減。同時(shí)，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算都是以加法為基礎(chǔ)的計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的變化：加法是計(jì)數(shù)單位的累加，減法是計(jì)數(shù)單位的減少，乘法是計(jì)數(shù)單位的倍增，除法是計(jì)數(shù)單位的細(xì)分。此外，現(xiàn)行的各版本數(shù)學(xué)教材都是先編排整數(shù)的四則運(yùn)算內(nèi)容，再逐步編排小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算內(nèi)容，這體現(xiàn)了數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)路徑的一致性?？梢?，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念都是對計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的描述，它們的四則運(yùn)算本質(zhì)上都是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的增減。因此，小學(xué)階段“數(shù)與運(yùn)算”主題內(nèi)容是一個(gè)有機(jī)的整體，具有高度的一致性。二、錨定核心概念，統(tǒng)領(lǐng)數(shù)與運(yùn)算一致性的教學(xué)“數(shù)與運(yùn)算”的核心是計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位應(yīng)作為核心概念在相關(guān)的運(yùn)算教學(xué)中發(fā)揮統(tǒng)領(lǐng)作用，以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上一致性的理解。下面以《異分母分?jǐn)?shù)加減法》的教學(xué)為例做具體闡釋。教學(xué)《異分母分?jǐn)?shù)加減法》時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)幾道計(jì)算題，如51+73，0.34-0.12，[15]+[35]，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷如下探究過程：①說一說每個(gè)式子中的數(shù)字1和3分別表示什么；②算一算這些題目；③想一想它們在計(jì)算上有哪些共同點(diǎn)。這3道題分別指向整數(shù)、小數(shù)、同分母分?jǐn)?shù)三種類型的加減法，通過說一說和算一算，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：在51+73中，數(shù)字1和3的計(jì)數(shù)單位都是“一”，相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)可以直接相加，和為4個(gè)一，數(shù)字5和7與此情況相同；在0.34-0.12中，數(shù)字3和1都在十分位上，可以直接相減，其他相同數(shù)位上的數(shù)字與此情況相同；在[15]+[35]中，1和3分別表示兩個(gè)加數(shù)中[15]這個(gè)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，因?yàn)橛?jì)數(shù)單位相同，所以可以直接相加得到4個(gè)[15]，即和為[45]。基于此，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)這三種類型加減法運(yùn)算的共同點(diǎn)——相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減。通過這些題目，學(xué)生能夠切實(shí)感知計(jì)數(shù)單位在加減運(yùn)算中的核心地位，理解整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的加減運(yùn)算都要在相同計(jì)數(shù)單位下進(jìn)行，初步體會(huì)到整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算的一致性。接下來教學(xué)例題[16]+[14]，教師可以先放手讓學(xué)生基于已有的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)自主嘗試計(jì)算，然后出示如下幾種典型計(jì)算方法（包括正確的和錯(cuò)誤的），引導(dǎo)學(xué)生通過對比分析掌握異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理和算法，加深對數(shù)的運(yùn)算一致性的理解。方法一：[16]+[14]=[1+16+4]=[210]=[15]方法二：[16]≈0.17，[14]=0.25，[16]+[14]=0.42方法三：[16]+[14]=[424]+[624]=[1024]=[512]方法四：[16]+[14]=[212]+[312]=[512]通過初步檢驗(yàn)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：方法一得出的和是[15]，它小于其中一個(gè)加數(shù)[14]，顯然是錯(cuò)誤的。通過觀察方法一，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：這種算法錯(cuò)在沒有把兩個(gè)分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位統(tǒng)一后相加，而是直接用分子加分子得出和的分子，直接用分母加分母得出和的分母。分析方法二時(shí)，學(xué)生可以在教師的引導(dǎo)下總結(jié)得出：這種算法運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法，把分?jǐn)?shù)加法轉(zhuǎn)化為學(xué)過的小數(shù)加法計(jì)算，計(jì)算過程做到了把相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)合起來，但是其中一個(gè)加數(shù)取了近似數(shù)，導(dǎo)致最后的計(jì)算結(jié)果不是準(zhǔn)確數(shù)，所以不能算作正確。同時(shí)，教師要指出，如果把算式中的[16]改為一個(gè)可以化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)，如[15]，這種方法也是可取的。對于方法三和方法四，學(xué)生可以通過交流得出這兩種算法都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法，結(jié)果都是正確的，其共同點(diǎn)是先統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位，即先把異分母分?jǐn)?shù)加法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加法，再把相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)合起來得出結(jié)果，只不過方法四選擇用[112]作為計(jì)數(shù)單位，其計(jì)算結(jié)果無需化簡，與方法三相比更簡潔一些。類似的，在《小數(shù)加減法》的教學(xué)中，教師可以分組呈現(xiàn)“25+135，0.25+1.35”“32+165，3.2+1.65”“320-165，3.2-1.65”“400-165，4-1.65”等題目，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“嘗試計(jì)算—對比辨析—明確算理—?dú)w納算法”的學(xué)習(xí)過程，通過對比分析明確整數(shù)加減運(yùn)算與小數(shù)加減運(yùn)算的一致性：小數(shù)加減運(yùn)算中的小數(shù)點(diǎn)對齊與整數(shù)加減運(yùn)算中的相同數(shù)位對齊都是為了保證相同數(shù)位上的數(shù)字相加減，也就是保證相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減。在計(jì)數(shù)單位這個(gè)核心概念的統(tǒng)領(lǐng)下，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算也具有一致性——都是計(jì)數(shù)單位相乘得到積的計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位的數(shù)量相乘得到積的計(jì)數(shù)單位的數(shù)量。例如：60×700=（10×100）×（6×7）；0.6×0.07=（0.1×0.01）×（6×7）；[67]×[78]=（[17]×[18]）×（6×7）。統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位后，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的除法運(yùn)算也具有一致性——都是用計(jì)數(shù)單位的數(shù)量相除。例如：90÷20=（9×10）÷（2×10）=9÷2；9÷0.2=（90×0.1）÷（2×0.1）=90÷2；[59]÷[12]=（10×[118]）÷（9×[118]）=10÷9總之，錨定計(jì)數(shù)單位這個(gè)核心概念進(jìn)行對比教學(xué)，有助于學(xué)生借助轉(zhuǎn)化的思想方法深入體會(huì)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的一致性，而不只是機(jī)械記憶和積累碎片化的運(yùn)算知識(shí)與技能。三、融通算理算法，強(qiáng)化數(shù)與運(yùn)算一致性的認(rèn)知除法是在學(xué)生不同程度地學(xué)習(xí)了加法、減法和乘法的基礎(chǔ)上分階段教學(xué)的，它既是相同數(shù)連減的簡便運(yùn)算，又是乘法的逆運(yùn)算，其試商與調(diào)商過程不斷地用到乘法。除法相關(guān)知識(shí)的教學(xué)能有效促進(jìn)學(xué)生深入理解數(shù)的運(yùn)算一致性，增強(qiáng)運(yùn)算能力和推理意識(shí)。下面以小數(shù)除法的起始課《除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法》例1教學(xué)為例展開分析。在學(xué)習(xí)《除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法》之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)除法，掌握了其算法模型“一商、二乘、三減”。教學(xué)《除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法》例1時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上，先按照整數(shù)除法的算法模型自主探究這類小數(shù)除法的算法，然后通過對比，發(fā)現(xiàn)整數(shù)除法與除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法本質(zhì)上都是不斷細(xì)分計(jì)數(shù)單位且分完為止，以深化學(xué)生對除法運(yùn)算一致性的理解。具體來說，教師可以先出示熱身題224÷4，讓學(xué)生回顧整數(shù)除法的計(jì)算方法。算法是程序性知識(shí)，學(xué)生能夠比較容易地歸納出“一商、二乘、三減”的整數(shù)除法算法模型。接著，教師可以改編教材例1“4周跑步22.4千米，平均每周應(yīng)跑多少千米”的情境，呈現(xiàn)“買4本同樣的書一共用22.4元，每本書多少錢”的問題。這樣改編有利于啟發(fā)學(xué)生通過實(shí)物操作體會(huì)不斷細(xì)分計(jì)數(shù)單位的過程，或者將“22.4元”轉(zhuǎn)化為“224角”后探究計(jì)算結(jié)果，因?yàn)樵?、角之間的進(jìn)率是10，與整數(shù)、小數(shù)相鄰計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率相同，這種轉(zhuǎn)化不僅能為計(jì)算提供方便，還能從不同視角體現(xiàn)整數(shù)除法與小數(shù)除法的聯(lián)系。在學(xué)生列出算式22.4÷4后，教師可以為學(xué)生提供小棒、方格圖等自主探究材料，并給出如下探究支架：①估一估，每本書的價(jià)格可能在哪兩個(gè)整數(shù)之間；②算一算，運(yùn)用已有的知識(shí)嘗試列豎式計(jì)算這道題；③說一說，這道題與整數(shù)除法224÷4在計(jì)算上有哪些異同點(diǎn)。估一估旨在增強(qiáng)學(xué)生的估算意識(shí)；算一算旨在鍛煉學(xué)生遷移運(yùn)用已有知識(shí)解決新問題的能力，并滲透轉(zhuǎn)化思想；說一說旨在引導(dǎo)學(xué)生在操作小棒、細(xì)分方格圖表征除的過程的基礎(chǔ)上，對比兩個(gè)豎式的異同點(diǎn)（如圖1所示）。通過自主探究、小組交流，學(xué)生可以總結(jié)：22.4÷4的計(jì)算方法是先分22個(gè)一，商是5個(gè)一，就把5寫在商的個(gè)位上，剩下的2個(gè)一與4個(gè)十分之一合起來得到24個(gè)十分之一，接著把它平均分成4份，每份是6個(gè)十分之一，就把6寫在商的十分位上；224÷4的計(jì)算方法是先分22個(gè)十，再分24個(gè)一，這樣就分完了。通過對比分析，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)兩道題的算理完全一致，不同點(diǎn)在于具體算法，即計(jì)算除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法時(shí)，被除數(shù)的整數(shù)部分除完以后，要在商的個(gè)位后面點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，再按照整數(shù)除法的計(jì)算方法接著除。最后，學(xué)生在教師的點(diǎn)撥下可以歸納出計(jì)算除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的關(guān)鍵點(diǎn)：按照整數(shù)除法的計(jì)算方法計(jì)算；注意商的小數(shù)點(diǎn)要