13.5 統(tǒng)計估計（課件）-2023-2024學年高二數(shù)學同步課堂（滬教版2020必修第三冊）

13.5統(tǒng)計估計第13章

統(tǒng)計教師xxx滬教版（2020）

必修第三冊總體集中趨勢的估計010302CONTANTS目錄總體離散程度的估計估計百分數(shù)總體集中趨勢的估計01在初中的學習中我們已經了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小依次排列后處在最中間位置的數(shù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)).

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù).

一組11個樣本數(shù)據(jù)為:19,23,12,15,14,17,10,12,18,12,27排序后為:10,12,12,12,14,15,17,18,19,23,27眾數(shù)為12中位數(shù)為15下面我們通過具體實例進一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢估計總體的集中趨勢.眾數(shù)的特點例1.某學校要定制高一年級的校服，學生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格.

據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表.如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適?校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386眾數(shù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個值的信息，只能說明它比其他值出現(xiàn)的次數(shù)多，但并未體現(xiàn)它比別的數(shù)值多的程度．因此，眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值不敏感.對分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產品質量等級等）集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).對數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產量等）集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特點【思考】小明用統(tǒng)計軟件計算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)．但在錄入數(shù)據(jù)時，不小心把一個數(shù)據(jù)7.7錄成了77．請計算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并與真實的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較,哪個量的值變化更大?你能解釋其中的原因嗎?平均數(shù)：8.79t

中位數(shù)：6.8t9.483t6.8t與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對樣本中的極端值更加敏感?！叭サ粢粋€最高分和一個最低分”的原因？“我們企業(yè)員工的年平均收入為20萬元”可信嗎？由頻率分布直方圖估計平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在頻率分布直方圖中，我們無法知道每組數(shù)據(jù)是如何分布的，故通常假設它們在組內均勻分布。1.平均數(shù)是直方圖中每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和(組中值與頻率積的和)2.中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等，各為0.53.眾數(shù)是直方圖中最高矩形的中點的橫坐標平均數(shù)、中位數(shù)的大小與數(shù)據(jù)分布形態(tài)平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢,它們的大小關系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(如下圖）(1)直方圖形狀對稱：平均數(shù)和中位數(shù)應該大體上差不多；(2)直方圖右邊“拖尾”：平均數(shù)大于中位數(shù)；(3)直方圖左邊“拖尾”：平均數(shù)小于中位數(shù).與中位數(shù)相比，平均數(shù)總在直方圖的“長尾巴”那邊用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)：最高矩形的中點

特點：反映樣本數(shù)據(jù)的最大集合點

忽視了其他數(shù)據(jù)，無法客觀的反映總體特征中位數(shù)：中位數(shù)左右兩邊的直方圖面積相等

特點：不受少數(shù)幾個極端值的影響平均數(shù)：直方圖的“重心”，各組組中值與頻率乘積之和

特點：和每一個樣本數(shù)據(jù)都有關，可以反映更多的關于樣本數(shù)據(jù)的信息離平均數(shù)越遠的數(shù)據(jù)對平均數(shù)影響越大(可靠性低)求一組n個數(shù)據(jù)的平均數(shù)的方法1.算術平均數(shù)：2.加權平均數(shù)：4.組中值法(由頻率分布直方圖求平均數(shù))推論：3.分層抽樣的樣本平均數(shù)：總體離散程度的估計02問題導入問題一：有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲78795491074，乙9578768677，如果你是教練，你如何對兩位運動員的設計情況作出評價？如果這是一次選拔性考核，你應當如何做出選擇？

通過上述數(shù)據(jù)計算得出：甲、乙兩名運動員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7。從這三個數(shù)據(jù)來看，兩名運動員沒有差別。根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖，如下：由上圖發(fā)現(xiàn)：甲的成績比較分散，乙的成績相對集中。即甲的成績波動幅度較大，而乙的成績比較穩(wěn)定?？梢姡麄兊纳鋼舫煽兪谴嬖诓町惖?。問題二：上述問題中，甲、乙的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，但二者的射擊成績存在差異，那么，如何度量這種差異呢？我們可以利用極差進行度量。根據(jù)上述數(shù)據(jù)計算得：甲的極差=10-4=6乙的極差=9-5=4極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度。由極差發(fā)現(xiàn)甲的成績波動范圍比乙的大。但由于極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個值的信息，所含的信息量很少。也就是說，極差度量出的差異誤差較大。問題三：你還能想出其他刻畫數(shù)據(jù)離散程度的辦法嗎？我們知道，如果射擊的成績很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績不會太遠；相反，如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績會比較遠。因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度。思考一：如何定義“平均距離”？

方差與標準差表示．標準差：考察樣本數(shù)據(jù)的_______________最常用的統(tǒng)計量，是樣本數(shù)據(jù)到_______的一種__________，一般用

標準差的表達式：分散程度的大小平均距離平均數(shù)方差的表達式：

思考二：標準差的范圍是什么？標準差為0的一組數(shù)據(jù)有什么特點？

思考三：標準差和方差是怎樣刻畫數(shù)據(jù)的離散程度的？標準差和方差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度。標準差（或方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差（或方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定。s=0表示這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)到平均數(shù)的距離都是0，這組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)是相等的。知識探究（一）：方差與標準差

顯然，在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的；但在實際問題中，一般多采用標準差。在實際問題中，總體平均數(shù)和總體標準差都是未知的，就像用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)一樣，通常也用樣本標準差估計總體標準差。在隨機抽樣中，樣本標準差依賴于樣本的選取，具有隨機性。

接下來我們再來探究問題一：有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲78795491074，乙9578768677，如果你是教練，你如何對兩位運動員的設計情況作出評價？如果這是一次選拔性考核，你應當如何做出選擇？

我們可以根據(jù)標準差來判斷兩名運動員的成績的離散程度，計算可得s甲=2，s乙≈1.095.即s甲>s乙，由此可知，甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小。由此可以估計，乙比甲的成績穩(wěn)定。因此，如果要從這兩名選手中選擇一名參賽，要看一下他們的平均成績在所有參賽選手中的位置。如果兩人都排在前面，就選成績穩(wěn)定的乙選手，否則選甲。估計百分數(shù)03問題1

如果該市政府希望使80%的居民用戶生活用水費支出不受影響，根據(jù)9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，你能給市政府提出確定居民用戶月均用水量標準的建議嗎?

首先要明確一下問題：根據(jù)市政府的要求確定居民用戶月均用水量標準,就是要尋找一個數(shù)a,使全市居民用戶月均用水量中不超過a的占80%，大于a的占20%.下面我們通過樣本數(shù)據(jù)對a的值進行估計.

把100個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第80個和第81個數(shù)據(jù)分別為13.6和13.8.可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)間(13.6,13.8)內的任意一個數(shù),都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分.

一般地,我們取這兩個數(shù)的平均數(shù)

(13.6+13.8)÷2=13.7，并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)或80%分位數(shù).

你認為14t這個標準一定能夠保證80%的居民用水不超標嗎?如果不一定,那么哪些環(huán)節(jié)可能會導致結論的差別?

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，我們可以估計總體數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為13.7左右.由于樣本的取值規(guī)律與總體的取值規(guī)律之間會存在偏差，而在決策問題中，只要臨界值近似為第80百分位數(shù)即可，因此為了實際中操作的方便，可以建議市政府把月均用水量標準定為14t，或者把年用水量標準定為168t.

一個值能使一組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于它，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于它，那么這個值就叫做這組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).1.第p百分位數(shù)的概念：第50百分位數(shù)就是我們在初中學過的中位數(shù)。又如1，2，3，4，5這5個數(shù)的中位數(shù)為3，此時小于或等于3的數(shù)有60%，且大于或等于3的數(shù)有60%.2.百分位數(shù)定義中“至少”的理解如1，2，3，4，5，6這6個數(shù)的中位數(shù)為3.5，此時小于或等于3.5的數(shù)有50%，且大于或等于3.5的數(shù)有50%.思考：如何求一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)？3.計算一組n個數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟：第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步：計算i=n×p%.第3步：①若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；②若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).求下列兩組數(shù)的第50%分位數(shù)：①10，20，30，40，50②10，20，30，40①5×50%=2.5，中位數(shù)是第3個數(shù)303是比2.5大的比鄰整數(shù)②4×50%=2，中位數(shù)是2525是第2，3項的平均數(shù)四分位數(shù)的理解25%第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)50%75%中位數(shù)第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)在實際應用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù)。這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)。其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等。另外，像第1百分位數(shù)，第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)，和第99百分位數(shù)在統(tǒng)計中也經常被使用。已知一組數(shù)據(jù)為3.81，3.65，3