名師伴你行高考一輪總復(fù)習(xí)新高考版數(shù)學(xué) 第9章

第九章平面解析幾何

第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線方程

［復(fù)習(xí)要點(diǎn)］1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.

3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的三種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次

函數(shù)的關(guān)系.

-------------------理清教材，鞏固基礎(chǔ)-----------------------

1基礎(chǔ)普查

知識(shí)點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率

1.直線的傾斜角

⑴定義：當(dāng)直線/與工軸相交時(shí)，取文￥it作為基準(zhǔn)，、軸正向與直線/之間所成的角叫做直線/的傾斜

角.當(dāng)直線/與x軸時(shí)，規(guī)定它的簡(jiǎn)斜角為0。.

⑵領(lǐng)斜角的范圍為.

2,直線的斜率

⑴定義；一條直線的傾斜角〃的叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母A表示，即左=,

傾斜角是90。的直線沒(méi)有斜率.

(2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式

經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)Pl(K,yi),P2(X2,山)(二1為《)的直線的斜率公式為女=.

3.直線的方向向量

若PI(Myi),P2S，切是直線/上兩點(diǎn)，則/的方向向量的坐標(biāo)為;若/的斜率為k,則方向向量的

坐標(biāo)為.

答案：1.⑴向上方向平行或重合(2)［0°,180°)2.⑴正切值tana(2點(diǎn)二23.8-K，9一2(1，Q

知識(shí)點(diǎn)二直線方程的幾種形式

名稱條件方程適用范圍

點(diǎn)斜式斜率A與點(diǎn)(第，),1)y—y\=k(x—x\)不含直線工=箝

斜率上與直線在y軸上的截不含垂直于X軸的直

斜截式y(tǒng)=kx-\-b

距b線

續(xù)表

名稱條件方程適用范圍

x~x\不含直線上=為(劉=12)

兩點(diǎn)式兩點(diǎn)(用,yi),(X2,yi)

yn-yiX2~x\和直戰(zhàn)y=ji(yi=")

截距式直線在1軸、y軸上的鋁=1不含垂直于坐標(biāo)軸和

截距分別為4,b過(guò)原點(diǎn)的直線

Ar+Bj+C=O平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的

一般式

（A,B不同時(shí)為0）直線都適用

2考點(diǎn)排查

曲榭教/材

1.［必修2p99爍習(xí)丁1改編］已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)/>(一2,5),且斜率為一*則直線/的方程為()

A.3x+4)--I4=0B.3x-4y+14=0

C.4x+3y-14=0D.4.v-3y+14=0

答案；A解析：由｝-5=—；。+2),^3,r+4y-14=0.

2.［必修2?P86,練習(xí)T3改編］若過(guò)點(diǎn)M(—2,m),N(現(xiàn)4)的直線的斜率等于1，則用的值為

答案：1

3.［必修2-P100A組T9改編］過(guò)點(diǎn)p(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為.

答案；31一2尸0或工+廠5=0

易/錯(cuò)/問(wèn)/題

1.斜率與傾斜角的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系；傾斜角的范圍.

(1)當(dāng)°=3時(shí)，直線以+(°—3》-1=0的傾斜角為.

⑵直線xcosa+y+2=0的傾斜角的范困是.

⑴答案：90。解析：當(dāng)〃=3時(shí)，直線以+(〃-3?，-1=0可化為3/—1=0,其傾斜角為90。.

⑵答案：［o,:U亨，兀)解析：設(shè)直線的傾斜角為〃

依題意知，斜率女=-830(.

VcosaE［—1,1］,1,1］,

即tan夕七［-1,1］,

又夕￡［0,力,，隹0,；U牛,，

2.直發(fā)方程的易錯(cuò)點(diǎn)：方程形式的變形及轉(zhuǎn)化.

⑴給出下列直線方程：①工一3y=6；②2x-3y=O；③?+如二c,其中一定能化為截距式方程的是.

(2)過(guò)點(diǎn)M(3,-4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為.

⑴答案：①解析：工-3J=6化為戒距式方程為1+±=1;

2v-3y=0不能化為微距式方程；

當(dāng)a,b,c中有1個(gè)或2個(gè)為。時(shí)，戊一力不能化為極距式方程，

Q)答案：4戈+3y=0或x+j+1=0

4

解析：①若直線過(guò)原點(diǎn)，則女=一不

J

4

所以y=-y,即4x+3y=0.

②若直線不過(guò)原點(diǎn)，

設(shè)直線方程為2+）=1,即/+），=〃，

則a=3+（—4）=—1,

所以直線方程為彳+），+1=0,

綜上，所求直線方程為4x+3y=0或.i+），+l=O.

通/性/通/法

求斜率或傾斜角；函數(shù)法.

的傾斜角的變化范圍是（）

nnnn

A.B.

3413.

4n2n

D.

C.2.T

答案：B解析：直線.2KCOSQ—}L3=O的斜率&=2COSQ,

由于礫ft

所以?Wco$

國(guó)此k=2cosa€[l,小].

設(shè)立線的傾斜角為仇則有tanGEH,市1,

由于呻0,31）,所以1,

即傾斜角的變化范圍是:，f.

?！额}型研究，重點(diǎn)突破?>?<

題型口直線的傾斜角與斜率

角度i.由參數(shù)求傾斜角

%/題/調(diào)/研（題題精選，每題都代表一個(gè)方向）

1.[2021湖北四地七校聯(lián)考]已知函數(shù)/）=a$inx—灰o$MaHO,5H0）,若jHL則直線以一班

+c=0的傾斜角為（）

71c兀

A-4B-3

_2ltn3幾

cHD-T

[答案]D[解析]由《一[=(；+J知函數(shù)yw的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以川))=(，，所以〃=一人

由直線以一8+c=0,知其斜率左=吊=-1,所以直線的傾斜角為界故選D.

2.已知兩點(diǎn)小一1,2),且實(shí)數(shù)的￡一坐一1，求直線AB的傾斜角a的范圍.

解當(dāng)陰=-1時(shí)，

當(dāng)加￡一1時(shí)，

:扁吁,f]/+8),

，啡弼'?]■

綜上知，直線即的傾斜角a的范圉是本J.

//法/指/導(dǎo)(來(lái)自課堂的最有用的方法)

斜率取值范圍的兩種求法

1.數(shù)形結(jié)合法

作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定.

2.函數(shù)圖象法

根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角的范圍求斜率范圍，反之亦可.

角度II.利用斜率公式解決動(dòng)直線與線段相交

問(wèn)題

%/題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

3,已知4(1,2),B(2,ll),若直線丫=(用-2}:1(陽(yáng)HO)與線段AB相交，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是()

A.[-2,0)U[3,+?)B.(—8,-l]U(0,6]

C.[-2,T]U[3,6]D.[-2,0)U(0,6]

I答案]C

4.[2021湖畝長(zhǎng)沙第一中學(xué)月考]已知點(diǎn)A(2,—3),8(—3,-2),直線/過(guò)點(diǎn)P(1J)且與線段A8有交點(diǎn),設(shè)

直線/的斜率為k,則女的取值范圍是()

A.%-4]U7,+~

3

4

4,

［答案］A［解析］解法一：由題意，得

-3-1,一2一13

2_?=-4,輛=_3_[=]

?，?直線/過(guò)點(diǎn)P(l,l)且與線段AB有交點(diǎn),

3

二結(jié)合國(guó)象，可得或*W-4,

??」的取值范圍是(一g,-4]U+8).故選A.

解去二：解過(guò)點(diǎn)P(l.l)的直線方程為y-1=也一1),

即依一丁一憶+1=0.

支線/過(guò)點(diǎn)P(1J)且與線段A8有交點(diǎn)，

???(24+3T+1)(-3女+2T+1)WO,即伏+4)(必一3憐0,

解得弟或上一4,

的取值范圍是(一8,-4]U+8).故選A.

法/指/導(dǎo)(來(lái)自課堂的最有用的方法)

過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線與線段相交問(wèn)題的解題策略

策略一：求得直線與線段相交的臨界斜率，利用直線的傾斜角和斜率的關(guān)系求解；

直投過(guò)第二、四象限，斜率氏0,直或從/軸向y軸運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，斜率從0逐漸減小到一8；

直投過(guò)第一、三象限，斜率k>0,直線從x軸向)，軸運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，斜率從0逐漸增大到+8.

策略二；依據(jù)圖形特征可知，線段的兩個(gè)端點(diǎn)應(yīng)在動(dòng)直線上或分居直線的兩仞，借助線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)，將

線段兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入動(dòng)直線方程Av+By+C=O(A,8不同時(shí)為0),其等號(hào)左邊的代數(shù)式的乘積小于等于

零，以此直接建立不等式求解.

題型且直線方程

角度?.直線方程五種形式的應(yīng)用

Bi式/題/調(diào)闈f(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

1.若A(1,—2),8(5,6),直線/經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)M且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線/的方程為

借案］〃一3產(chǎn)0或x+廠5=0

2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(—5,2),且在1軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程為.

|答案|縱+5y=0或/+2y+l=0

3.已知直線/的斜率尾，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3,則直線/的方程是.

［答案］廠6y+6=0或廠6廠6=0［解析］設(shè)直線/在y軸上的橫距為瓦

則直線/的方程是尸提+從

令N=0,則二=一64

'??立線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3,

?/一6咖〃=3,

解得6n±1.

,支線’的方程是)=%+1或

即X—6)?+6=0或X—6y-6=0.

4.已知點(diǎn)P(2,l)到直線/的距離為2,且直線/過(guò)原點(diǎn)，則直線/的方程是.

［答案］x=0或3工+勺=0［解析］?；直線/過(guò)原點(diǎn)，

A可設(shè)直線/的方程為At+By=0(A2+BV0).

又點(diǎn)P(2,l)到直線/的距離為2,

\2A-\-B\

二詬鏟第

化面得44B-3B2=0,

解禪8=0或4A=38,

；?支線I的方程是1=0或3x+4y=0.

5.［2021貴州遵義聯(lián)考］數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且

重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.己知AABC的頂點(diǎn)4(2,0),

以0,4),AC=BC,則△A8C的歐拉線方程為f)

A.2x+y-3=0B.2(—丫+3=0

C.1一2廠3=0D.l2y+3=0

I答案1D|解析|線段A8的中點(diǎn)為M(l,2),kAB=~2,

魏段AB的垂直平分線為了-2=米一I),即A—2/+3=0,

；AC=BC,，Z\ABC的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上，

因此ZVIBC的歐拉線的方程為x—2y+3=0,故選D.

%/法/指/導(dǎo)(來(lái)自課堂的最有用的方法)

求直線方程的兩種常用方法

1.直接法

設(shè)出適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，根據(jù)已知條件，直接寫出直線方程.

2.待定系數(shù)法

先設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件求出待定系數(shù)，最后代入求出直線的方程，

［易錯(cuò)警示］求直線方程

應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用：選用點(diǎn)斜式或斜橫式時(shí)，需討論直線的斜率是否存在；選用極距式時(shí)，需討論直

線是否過(guò)原點(diǎn)，

角度II.含參直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

Bi曲題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

6.［2021黑龍江哈爾濱第六中學(xué)階段檢測(cè)］已知實(shí)數(shù)小6滿足〃+26=1,則直線or+3y+b=0必過(guò)定點(diǎn)，這

個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為()

a=\-2b,

，立線依+3丁+方=0的方程即(1-2辦*+3)+/?=0,

進(jìn)一步可變形為6(1一女)+(4+3y)=0.

易將該直線經(jīng)過(guò)直線1一方=0和x+3y=0的爻點(diǎn).

1

1-2x=0,X=y

聯(lián)立■…解得

1

產(chǎn)),

?'?交線曲+3)，+8=0必述定點(diǎn).故選D.

r|3VI

解法二：比較x〃+8+3y=0和〃+2%-1=0的對(duì)應(yīng)系數(shù)，令,=］=寸，解怦］

〔產(chǎn)飛，

是方程派+3y+方=0的解，

??.(；，一§即為所求定點(diǎn)的坐標(biāo).

故選D.

7.［2021云南保山模擬］已知坐標(biāo)原點(diǎn)為。，過(guò)點(diǎn)P(2,6)作直線2〃LL(4俄+叨+2〃=0(小，〃不同時(shí)為零)的乖

線，垂足為M,則QM的最大值為?最小值為.

［答案］5+<55一小［解析］根據(jù)題意，直線2mr-(4〃i+〃))，+2，?=0,

即的&-4,，)一心-2)=0,

2x-4y=0,x=4

解得]則直線恒過(guò)點(diǎn)(4,2).

產(chǎn)2,3=2,

設(shè)。(4,2),又由MP與直線垂直，且M為垂足，則點(diǎn)M的航跡是以PQ為直徑的圓，其方程為。-3)2+0—4)2

=5,所以5-小W|OM|W5+小，即IOM］的曩大值為5+小,最小值為5—小，

/法/指/導(dǎo)(來(lái)自課堂的最有用的方法)

求含參直線系所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)

1.直接法

求令參直線系恒過(guò)的定點(diǎn)、時(shí)，可將直線方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式來(lái)找定意.

例；含參直嬪系〃猶一y-/n+3=0可以轉(zhuǎn)化為y-3=Mx-l),可知直線恒過(guò)點(diǎn)(1,3).

2,方程法

若經(jīng)過(guò)參數(shù)分離后,能將直線系方程整理成火工，月+圖-)，)=0(2為參數(shù))的形式，則這個(gè)直線系恒過(guò)直線火山

曲y)=o,

y)=0和g(x,y)=0的交點(diǎn)，解方程組,、n便可求得定點(diǎn)坐標(biāo)，

%y)=0

3.特殊法

取直線系中的兩條特殊直線，求出其交點(diǎn)坐標(biāo)，代入原方程卷證即可.

題型因直線方程的綜合運(yùn)用

角度?.與基本不等式有關(guān)的最值問(wèn)題

1揶題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

I.［2021安徼模擬］過(guò)點(diǎn)尸(4,1)作直線/,分別交、軸、『軸的正半軸于A,B兩點(diǎn).

(1)當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，求直線/的方程；

⑵當(dāng)|。川+|08|取最小值時(shí)，求直線/的方程.

［解］設(shè)直線/:2+;=1(〃>0,b>0)t

因?yàn)橹本€/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,l),

41

所與+L

⑴呢+［仔嘿哧,

1

-28

所以曲》16,SAAOB二2

當(dāng)且僅當(dāng)〃=8,力=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以當(dāng)〃=8,8=2時(shí),AAOB的面積最小,

此E寸直線/的方程為1+91,即工+4廠8=0.

41

(2)因?yàn)?+3=1,。>0,b>0,

所以|。川+|OBkQ+…+與《+力=5+力+*9,

當(dāng)且僅當(dāng)。=6,3=3時(shí)，等號(hào)成立，

所以當(dāng)|。川+|。8|取最小值時(shí)，直線/的方程為1+2廠6=0.

瞑/法/指/導(dǎo)(來(lái)自課堂的最有用的方法)

直線方程的綜合問(wèn)題的兩大類型及解法

L與函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題；一般是利用直線方程所表示的二與y的關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于M或y)的函數(shù)，借助

函數(shù)的性質(zhì)解決.

2.與方程、不等式相結(jié)合的問(wèn)題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(shí)(如方程根的存在性及個(gè)數(shù)、不等式的

性質(zhì)、基本不等式等)來(lái)解決.

角度II.參數(shù)求值問(wèn)題

th/題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表??個(gè)方向)

2.直線(a—l)x+y—a—3=0("l),當(dāng)此直線在x軸、y軸上的截距利最小時(shí)，實(shí)數(shù)。的值是()

A.1B.小

C.2D.3

［答案］D［解析］當(dāng)x=0時(shí)，y=〃+3,

〃+3

當(dāng)y=O時(shí),

令『〃+3+安

a—\

=5+(aT)+3

因?yàn)樗?。?〉0,

所以￡》5+2寸(。-1)?舟=9,

4

當(dāng)且僅當(dāng)。一1=~即〃=3時(shí)，等號(hào)成立.

3.已知直線h以-2y=2“-4,/2：2x+/y=2屋+4,當(dāng)0</2時(shí)，直線人人與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形,

當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)〃=.

［答案］1［解析］直線/i可苜成2)=2()；—2),

Li

直線/2可寫成2(工一2)=於(2—

所以直線兒B恒過(guò)定點(diǎn)尸(2,2).

直我八的縱極距為2一出直線，2的橫城距為/+2,

所以四邊形的面積S=；X2X(2—a)+；X2X(〃2+2)=/—〃+4=(〃一學(xué)

當(dāng)片;時(shí),叫邊形的面積最小.

%/法/指/導(dǎo)(來(lái)自課堂的最有用的方法)

設(shè)直線方程的常用技巧

I.已知直線縱截跖為人時(shí)，常設(shè)其方程為)=h+b.

2.已知直線橫截距為〃時(shí)，常設(shè)其方程為工=而)，+”.

3.已知直線過(guò)點(diǎn)(如列)，且k存在時(shí)，常設(shè)其方程為y—w=Mx-&),

［拓展］直線系方程

⑴是點(diǎn)直線系方程；

過(guò)定點(diǎn)P(xo,)動(dòng)的直線方程為A(x-xo)+B(y—yo)=0.

⑵交點(diǎn)直線系方程：

已知直線八：A\x+B\y+C\=Q,直線為：A〃+B2y+C2=O,八與〃相交，則過(guò)兩直戰(zhàn)交點(diǎn)的直線方程為4

+8iy+Ci)+〃(A2x+82_y+C2)=0,當(dāng)％=0時(shí)，方程表示直線,力；當(dāng)〃=0時(shí)，方程表示直線Ji.

提醒完成限時(shí)跟蹤檢測(cè)(四十二)

第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系

［復(fù)習(xí)要點(diǎn)］L能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線的位置關(guān)系，

2.能用解方程組的方法求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩平行直線間的距離.

-------------------理清教材,鞏固基礎(chǔ)》》《-----------------------

1基礎(chǔ)普查

知識(shí)點(diǎn)一兩條直線的位置關(guān)系

1.兩條直線平行

⑴對(duì)于兩條不重合的直線爾12,其斜率分別為■fa,則有八〃/20.

(2)恃別地，當(dāng)不重合的兩條直線伍，2的斜率都不存在時(shí)，/I與/2的關(guān)系為.

2.兩條直線垂直

(1)如果兩條直線人，/2的斜率存在，設(shè)為h,0則人1/2=.

(2)如果人/2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，人與，2的關(guān)系為

3.兩條直線相交

直線L；4x+81y+G=0與匕"/強(qiáng)弼方程組有——

+與產(chǎn)G=0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與

一田方程組一

方程組13如tG力的解

—對(duì)應(yīng)■|^可-|方程一有

答案：\.(i)h=ki⑵平行2.(l)h-fo=-l⑵垂直

3.唯一解無(wú)解無(wú)窮多解

知識(shí)點(diǎn)二三種距離公式

點(diǎn)PQ,yi),尸2(◎”)

|PiP2|=

之間的距離錯(cuò)誤！

點(diǎn)ft(加州)到直線hAx+Byd二

+C=0的距離借誤！

d-

兩條平行線上+為+。=0

1丁QI

與At+與+。=0間的距離

迎+B?

考點(diǎn)排查

他接/教/材

1"必修2PI0LA組T10改編］已知P(-3,陽(yáng))，Q(陽(yáng)5),且直線尸。垂直于直線x+y+1=0,則用二

答案；1

2.［必修2，P110，B組T2改編］已知點(diǎn)(°,2)到直線x—y+3=0的距離為1,則。二.

答案：-1九n

3」必修2P1I4A組T10改編］已知直線31+y-3=0與直線3+四41=0平行,則它們之間的距離為

答案:嚶

易/錯(cuò)澗/題

1.兩直線位置關(guān)系的重點(diǎn)；平行和垂直中的參數(shù)的討論.

⑴已知直線，nx+2av-l=0,h：(a+l)x-av=0,若h//h,則實(shí)數(shù)0的值為()

3

-民o

A.-2

C.一裁0D.2

(2)［2021遼寧錦州模擬］若直線/i：丘+(1-&)，一3=0和&：(k-l)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,則k=.

⑴答案：C解析：若〃￥0,則由/|〃/?0%一=子，故2。+2=—1,即。=一/；若〃=0,4〃/2,故選C.

(2)答案:一3或1解析:由左伏-1)+(1-4)(2攵+3)=0,-2=1或%=一3.

2.距離問(wèn)題中的易錯(cuò)點(diǎn):平行線間的距離.

兩平行直線3x-4y-l=0與6\-8)，+18=0間的距離是.

答案：2解析；兩平行直線的方徑分別是3,一4.丫-1=0和3/—4『+9=0,

由兩平行線間的距離公式，得

所求距離d卡尋=2.

核沁/素磷

設(shè)m￡R,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線工+嗎=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線‘加一y—"1+3=0交于點(diǎn)P(x,y),則|朋卜儼3|的

最大值是.

答案：5解析：易知定點(diǎn)4(0,0),8(1,3),且無(wú)論m取何值，兩直線垂直.

所以無(wú)論P(yáng)與A,B重合與否，均有|用F+|PBF=|ABF=10(P在以AB為直經(jīng)的圓上).

所以I例?|掰

W刎F+IP硝=5,

當(dāng)且僅當(dāng)|朋|=|P8尸小時(shí)，等號(hào)成立.

啖題型研究,重點(diǎn)突破吩。

題型1兩直線的美系

角度I.應(yīng)用兩直線平行的充要條件求參數(shù)

%/題/調(diào)/研（題題精選，每題都代表一個(gè)方向）

1.［多選］已知直線小伙-3）x+（4-M）y+1=0與岳2伏-3）x-2y+3=0平行，則k的值是（）

A.1B.3

C.5D.7

3

【答案］BC［解析］由兩直線平行，得當(dāng)&-3=0時(shí)，兩直線的方程分別為》二-1和顯然兩直線平

行.

k—34—kI

當(dāng)上一3。0時(shí)，曲—>=—可得&=5.

2（K-3）—23

綜上,出的值是3或5.故選BC

2.已知弧b為正數(shù)，且直線戊+與-6=0與直線2v+3-3）），+5=0平行，則加+3方的最小值為.

［答案］25|解析］由兩直線平行可得，〃。-3）=2"即28+3〃=砧，：+；=1,又〃，。為正教，所以2〃+

3/?=（2fl+3/2）-^+1j=13+y+?^13+2^y-^=25,當(dāng)且僅當(dāng)片方=5時(shí)，等號(hào)成立，所以2〃+3%的最小值

為25.

角度II.應(yīng)用兩直線垂直的充要條件求參數(shù)

Bi揶題/調(diào)/研（題題精選，每題都代表一個(gè)方向）

3.已知上0,直線（從+1我+緲+2=0與直線丹一1=0垂直，則時(shí)的最小值為（）

A.1B.2

C,2^2D.2小

［答案］B

4.已知宜線6=0與宜線5工一2/+〃=0垂直，垂足為（7,1）,則〃的值為（）

A.7B.9

C.IID.-7

I答案］A|解析］由直線4x+肛y—6=0與直線5彳―2了+〃=0垂直，得20—2川=0,解得川二10.

直靠4.v+1Oy-6=0過(guò)點(diǎn)（r,1）,

所以射+10—6=0,解得1=-1.

因?yàn)辄c(diǎn)（一1,1）又在直線5L2J+〃=0上，所以一5—2+”=0,n=l.

%/法/指/導(dǎo)（來(lái)自課堂的最有用的方法）

兩直線平行或垂直的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)

1.當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮斜率存在的L股情況，也要考慮斜率不存在的特殊情況,

2.要注意心)，的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.

［拓展］

利用直線的一般方程，判斷平行或垂直

/i：41+5,+。=0(圖+國(guó)+0)

直線方程

/2：A2x+B2y+C2=0(Ai+Bi^)

//與/2垂直的

4A2+8由2=0

充要條件

「與/2平行的

&然加附―0)

充分條件

/|與/2相交的如飄及呦

充分條件

1\與，2重合的

細(xì)B"0)

充分條件

角度此由直線位置關(guān)系巧設(shè)直線系方程

Bi命題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

5.己知點(diǎn)尸(-2,0)和直線/：(l+32)x+(l+2；)y-(2+52)=0(>l€R),則點(diǎn)P到直線/的距離d的最大值為(

A.2市B.

C.四D.2代

I答案IB|解析］由(1+32)/+(1+乂))，一(2+51)=0,得

(x+y—2)+A(3.r+2y—5)=0,

此方程是過(guò)直線x+y-2=0和3x+2y-5=0交點(diǎn)的直線系方程.

i+廠2=0,

解方程組,

3x+2y-5=0,

可知兩直線的交點(diǎn)為。(1,1),

故支線/恒過(guò)定點(diǎn)0(1,1),如圖所示,

可知d=[P//]W|POI=m，即故選B.

6.已知直線/|的方程為次+4,-12=0.求梃的方程，使得;

(l)b與八平行,且過(guò)點(diǎn)(一1,3)；

(2九與人垂直，且〃與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4.

［解］⑴談加3x+4y+w=0（w^-12）,因?yàn)?2過(guò)點(diǎn)（-1,3）,將點(diǎn)（-1,3）代入得一3+4乂3+加=0,解得

片一9,

所以A的方程為3i+4y-9=0.

⑵設(shè)/?:4%—3y+/?=0,則心與x軸交子點(diǎn)人卜￡,0）,與了軸交于點(diǎn)?0,

所以&A0B=；|盟=4.

“2=96,〃=±4#,

所以〃的方程為4L3J+4#=0或4x—3y—4^6=0.

%/法/指/導(dǎo)（來(lái)自課堂的最有用的方法）

常見的四大直線系方程

1,平行直線系方程

⑴與直線y="+b平行的所有直線可以表示為）=仙+獷S'W6）；

（2）與直線Ar+By+C=0平行的所有直線可以表示為加+Bj+。=0（。HQ.

2.垂直直線系方程

（1）與直線y=h+N&WO）垂直的所有直線可以表示為）?二一5+6'或x=一b'+力’：

（2）與直線Ax+By+C=O垂直的所有直纓可以表示為&-Ay+C=0.

3.過(guò)定點(diǎn)的直線系方程

過(guò)定點(diǎn)P（沏，川）的所有直線可以表示為4（工一與））+8。一刈=0（壽+82/0）,斛率存在時(shí)還可以表示為y-yo=

如一期），

4.過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程

過(guò)兩直線％Aix+Bi.y+Ci=O,〃；A”:一B2y+C2=O的交點(diǎn)的所有直線可以耒示為Aix+Biy+G+AA狀+及了

+C2）=0（i為參數(shù)，不包括直線田.

題型2距離公式的應(yīng)用

角度?.三種距離的簡(jiǎn)單應(yīng)用

%/題/調(diào)/研（題題精選，每題都代表一個(gè)方向）

1.如圖,已知直線人〃/2,點(diǎn)A是/1,，2之間的定點(diǎn)，點(diǎn)發(fā)到m12之間的距離分別為3和2,點(diǎn)B是12上的

一動(dòng)點(diǎn)，作ACLA8,且AC與人交于點(diǎn)C,則△A8C的面積的最小值為

［答案］6［解析1以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于八的直線為木軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

ikB(a,-2),C(Z>,3).

VAClAfi,

6

二時(shí)一6=0,而=6,b=~t

「△ABC的面積5=//d+4、/從+9=1『+4Z\^1+9

=￡72+9/+竽’1\/72+72=6(當(dāng)JU又當(dāng)a2=4時(shí)，等號(hào)成立).

2.與直線h3x+4y-12=0和直線/2；命+8y-9=0等距離的直線/的方程是.

9

［答案］⑵+16)，-33=0［解析］解法一：直線〃：61+8)，-9=0可化為次+與一5=0.

設(shè)與直線兒〃等距離的直線/的方程為3x+4y+(=0,

訕心+12|c(十+2

、廳+^^32+4-1

即|葉12尸卜I+］9,解得c二一3半3

???/的方程為12r+16y-33=0.

9

解法二：直線〃：6x+8.y-9=o可化為31+卬-8=0.

9

..-5+(-⑵33

?2―干

，與直線/i:3x+4y—12=0和直線，2：6x+8y—9=0等距離的直線/的方嘏是3x+4y一乎=0,

即12A+16)-33=0.

3.已知點(diǎn)P(2,-1).

⑴求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為2的直線/的方程；

⑵求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離最大的直線/的方程，最大距離是多少？

解(1)過(guò)點(diǎn)P的直線/與原點(diǎn)距離為2,而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-1),可見，

過(guò)P(2,一1)且垂直于x軸的直線滿足條件，

此時(shí)/的斜率不存在，其方程為x=2.

若斜率存在，設(shè)/的方程為

)，+1=如-2),

即fcr—y—2女-1=0.

I—2k—II3

由已知得=2,解得攵=7

此時(shí)/的方程為3x-4y-10=0.

綜上，可得直線/的方程為x=2或*一4)：-10=0.

⑵作圖可得過(guò)點(diǎn)戶與原點(diǎn)。的距離最大的直線是過(guò)點(diǎn)戶且與P0垂直的直線，如圖.

由UOP,得kikop=-l,

所以卜=一；=2,

kop

由支線方程的點(diǎn)斜式，得

y+l=2(x-2),

即lr=y=5=0.

即支線Zt-)'-5=0是過(guò)點(diǎn)PJL與原點(diǎn)。距離最大的直線，最大距離為丹襄三小.

%，題/感/懵小提示，大智慧)

1.解決動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離相等的問(wèn)題時(shí)，一般不直接利用兩點(diǎn)間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)在兩定點(diǎn)所

連線段的垂直平分線上，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便.

2.求點(diǎn)與直線上動(dòng)點(diǎn)距離的最值時(shí)，一般不用兩點(diǎn)間距離公式，而是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離，

3.直線上+Bj+Q=O與兩平行直線Ar+B)，+Ci=O,AT+BJ+C2=O的距離相等，等價(jià)于。，Co,C2成等

差數(shù)列.

4,若兩定點(diǎn)P,。到某直線的距離相等，則該直線過(guò)線段P0的中點(diǎn)或該直線與直線P。平行，

角度II.三角形面積公式

&揶題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

4.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(1,1),B(4,2),C(3,5),則△4BC的面積是.

|答案|5|解析］解法一：???A(1,1),8(4,2),C(3,5),

—?―?

.力8=(3,1),AC=(2,4).

???LABC的面積叉加(.=；*|3X4-1X2|=5.

v—1X—1

解法二：易得直線A8的方程為3=匚］即工-3＞，+2=0,

13-3X5+21

點(diǎn)C到直線AB的距離為正+于一=加

V|AB|=A/(l-4)2+(l-2)2=7ib,

二t^ABC的面積S^ABC

=7xVibxVTo=5.

法/指/導(dǎo)(來(lái)自課堂的最有用的方法)

三角形面積公式的坐標(biāo)化形式

在AABC中，已知AB=(K,yi),AC=(X2tyi)f則△ABC面積的坐標(biāo)表示為5少耽=；|用),2一工2)川.

證明：不妨取4(0,0%則直線AB的方程為四工一處)=0,

.?.點(diǎn)C到直線AB的距離為d=也音膽.

巾r+t

又|4身=出?+此

^S^\BC=^\AB\d

“￥?+)4

題型3對(duì)稱問(wèn)題

角度?,點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題

%/題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

1.已知直線/被兩條直線敘+)，+3=0和七3x—5)—5~0截得的線段的中點(diǎn)為P(—1,2),則直線/的一

般式方程為()

A.3Ly+5=0B.3x+y+1=0

C.x-3y+7=0D.4+3廠5=0

［答案］B［解析］設(shè)直線J與/i的交點(diǎn)為A(劉，刈，

由已知條件，得直線/與，2的支點(diǎn)為B(-2—何，4—刈，并且滿足

4疝+卯+3=0,

3(-2-xo)-5(4-)^o)-5=0,

擾+的

即｛4+3=0,

[3用一5優(yōu)+31=0,

xo=-2,

解得

w=5.

因此直線/的方程為

5-2

廠2=萬(wàn)門(葉1),

即3x+y+l=0.

2.［2021豫南豫北精英為杭賽］直線or+y+34—l=0恒過(guò)定點(diǎn)M則直線%+3丁-6=0關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱的直線

方程為（）

A.2H12=0B.2x+3y+12=0

C.2r-3y+12=0D.D-3y72=0

/+3=0,x=~3,

［答案］B［解析］由ai+y+3a—1=0可得〃（工+3）+）：—1=0,令-八可得:?N（一

b'-i=o,bi

3,1).謾直錢M+3y—6=0關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱的直線方程為2K+3y+c=0(c4—6).

|-6+3-6||-6+3+d

則飛丁飛k

解得c=12或c=-6(舍去).

.所求直線方程為〃+3)，+12=0,故選B,

角度H.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題

Bi忒/題/調(diào)/研(題題精選，每題都代表一個(gè)方向)

3.已知入射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)例(一3,4),被直線/：二一y+3=0反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,6),則反射光線所在直線

的方程為.

［答案］6x-y-6=0［解析1設(shè)點(diǎn)例(-3,4)關(guān)于直線/：彳-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為M'(用如

則反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)M',

b7

〃一（-3）XU，

所訴

-3+〃b+4

-z-----z—+3=0,

4Li

p=l,

解得

,=0.

又反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,6),

6—0

所以所求直線的方程為了-0二匚？(彳-1)，即6-y—6=0.

4.［2021豫北六校聯(lián)考］已知點(diǎn)P在直線/；3"-1=0上,4(4,1),8(0,4),則||例一|P訓(xùn)最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)

為.

［答案］（2,5）［解析］設(shè)點(diǎn)EQ4）關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為二（加，州）,

州一41

xo=~r

則有

3尸噤+0,

￡乙

劉=3,

解殍片=3,即=

，支線AB'的方程為2x+y—9=0,

易知當(dāng)點(diǎn)P與B',4共線時(shí)，|網(wǎng)一閥|最大.

2x+廠9=0,

由'得

,3x—y-1=0,

；.P（2,5）,

印陽(yáng)LIPBII取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為億5）,

//法/指/導(dǎo)（來(lái)自課堂的最有用的方法）

關(guān)于特殊直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

1,A(“,協(xié)關(guān)于工軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'm,-b）.

2.B(a,用關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B'（一小b）.

與關(guān)于直線）的對(duì)'稱點(diǎn)為

3.C(atC'（b—m,a+m）.

4.D(at6）關(guān)于直線）=一工+加的對(duì)稱質(zhì)為。'（/〃一瓦一〃+/〃）.

5.E(atb）關(guān)于直線工二〃的對(duì)稱點(diǎn)為￡（2小—a,b）.

6,F(a,協(xié)關(guān)于直線y=n的對(duì)稱點(diǎn)為F（a,2〃一協(xié)，

角度此直線關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題

Bi忒/題/調(diào)/研（題題精選，每題都代表一個(gè)方向）

5.已知直線/：2r—3y+l=0,求直線四：3上一2y—6=0關(guān)于直線/的對(duì)稱直線M的方程.

［解］在直線〃?上任取一點(diǎn)，

如桃2,0）,則M（2,0）關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)M'必在直線M上.

設(shè)對(duì)稱點(diǎn)M'（回機(jī)則

2”（啕-3乂（智+1=。,

b-02

有、廠一1，

6

a=

解帝

30

b=百

設(shè)立線刑與直線/的交點(diǎn)為N,則

2x-3y+l=0,

由’得N(4,3).

3x-2y-6=0,

又：M經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3),

由兩點(diǎn)式，得直線小的方程為%-46y+102=0.

BA/法/指/導(dǎo)(來(lái)自課堂的最有用的方法)

直線中的對(duì)稱問(wèn)題

I.中心對(duì)稱問(wèn)題的兩種類型及求解方法

x=2〃一加，

⑴點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：若點(diǎn)M(xi,州)和Mx,y)關(guān)于點(diǎn)P(m份對(duì)■稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得彳進(jìn)而求解,

ly=2/?-yi,

(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)秫：

①在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程;

②在已知直線上取一點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩直線平行，由點(diǎn)斜式

得到所求直線方程.

2.軸對(duì)稱問(wèn)題的兩種類型及求解方法

⑴點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱：若兩點(diǎn)P】3,對(duì)與尸2(4y2)關(guān)于直線/：Ai+By+C=0對(duì)稱，則線段P/2的中點(diǎn)在對(duì)