成考大專20年數(shù)學(xué)試卷

成考大專20年數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.若函數(shù)\(f(x)=2x^2-3x+1\)在\(x=1\)處取得極值，則該極值是：

A.0

B.1

C.-1

D.2

2.下列哪個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)？

A.\(f(x)=x^2+1\)

B.\(f(x)=x^3\)

C.\(f(x)=x+1\)

D.\(f(x)=x^2-1\)

3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前n項(xiàng)和為\(S_n=3n^2-n\)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是：

A.\(a_n=3n-1\)

B.\(a_n=3n+1\)

C.\(a_n=3n^2-n\)

D.\(a_n=3n^2-2n\)

4.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為1，4，7，則該數(shù)列的公差是：

A.2

B.3

C.4

D.5

5.若方程\(2x^2-3x+1=0\)的兩個(gè)根是\(x_1\)和\(x_2\)，則\(x_1+x_2\)的值為：

A.1

B.2

C.3

D.4

6.若\(\cosA=\frac{1}{2}\)，且\(A\)是銳角，則\(\sinA\)的值為：

A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

B.\(\frac{1}{2}\)

C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

D.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)

7.若\(\log_28=3\)，則\(\log_416\)的值為：

A.2

B.3

C.4

D.5

8.若\(a\)和\(b\)是實(shí)數(shù)，且\(a^2+b^2=1\)，則\(ab\)的最大值是：

A.0

B.1

C.\(\frac{1}{2}\)

D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

9.若\(a\)和\(b\)是實(shí)數(shù)，且\(a+b=5\)，\(ab=6\)，則\(a^2+b^2\)的值為：

A.11

B.12

C.13

D.14

10.若\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4\)，則\(\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2}\)的值為：

A.4

B.8

C.12

D.16

二、判斷題

1.在直角坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都可以表示為該點(diǎn)的坐標(biāo)的平方和的平方根。（）

2.若兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等，則這兩個(gè)函數(shù)也必定相等。（）

3.在等差數(shù)列中，任意一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的比值都是常數(shù)。（）

4.對(duì)于任何實(shí)數(shù)\(x\)，\(\sin^2x+\cos^2x=1\)始終成立。（）

5.若\(a\)和\(b\)是實(shí)數(shù)，且\(a^2=b^2\)，則\(a=b\)或\(a=-b\)。（）

三、填空題

1.若\(a\)和\(b\)是實(shí)數(shù)，且\(a+b=5\)，\(ab=6\)，則\(a^2+b^2\)的值為______。

2.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的零點(diǎn)是______。

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\((3,4)\)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是______。

4.若\(\sinA=\frac{1}{2}\)，且\(A\)是第一象限的角，則\(\cosA\)的值為______。

5.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前n項(xiàng)和為\(S_n=4n^2-2n\)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_n\)為______。

四、簡答題

1.簡述一次函數(shù)的圖像特征，并舉例說明。

2.如何判斷一個(gè)一元二次方程的根的情況（實(shí)根、重根、無實(shí)根）？

3.請(qǐng)簡述等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，并舉例說明。

4.如何求一個(gè)三角函數(shù)的值，如果已知該函數(shù)的角在特定象限？

5.簡述極限的概念，并舉例說明如何求解一個(gè)函數(shù)的極限。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：\(f(x)=3x^4-2x^3+4x^2-x+5\)。

2.解下列一元二次方程：\(2x^2-5x+3=0\)。

3.求下列數(shù)列的前10項(xiàng)和：\(a_n=3n-2\)。

4.計(jì)算下列三角函數(shù)的值：\(\sin60^\circ\)和\(\cos45^\circ\)。

5.計(jì)算下列極限：\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)。

六、案例分析題

1.案例背景：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，已知每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要投入的固定成本為10元，變動(dòng)成本為5元。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)產(chǎn)品售價(jià)為15元時(shí)，每月可銷售100件產(chǎn)品。

問題：

（1）根據(jù)上述信息，計(jì)算該產(chǎn)品的總成本、總利潤和單位利潤。

（2）如果工廠想要每月實(shí)現(xiàn)1000元的利潤，需要調(diào)整售價(jià)嗎？如果需要，請(qǐng)計(jì)算調(diào)整后的售價(jià)。

2.案例背景：某學(xué)生參加了一場(chǎng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知他在前5道題中每道題得分如下：2分、3分、4分、5分、6分。他需要在剩下的3道題中取得盡可能高的分?jǐn)?shù)，以獲得總分?jǐn)?shù)的90%。

問題：

（1）計(jì)算該學(xué)生在前5道題中的總分。

（2）設(shè)他在剩下的3道題中每道題得分分別為\(x\)分、\(y\)分、\(z\)分，列出方程組求解\(x\)、\(y\)、\(z\)的值，使得學(xué)生的總分?jǐn)?shù)達(dá)到或超過90%的總分。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某商店銷售一種商品，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，售價(jià)為每件30元。為了促銷，商店決定進(jìn)行打折銷售，打八折后的售價(jià)仍能保證每件商品至少獲利5元。

問題：計(jì)算打折后的售價(jià)，并求出至少需要銷售多少件商品才能保證每月的利潤達(dá)到500元。

2.應(yīng)用題：一個(gè)長方體的長、寬、高分別為\(a\)厘米、\(b\)厘米、\(c\)厘米。已知長方體的體積為\(V\)立方厘米，表面積為\(S\)平方厘米。

問題：寫出長方體體積和表面積的表達(dá)式，并求出當(dāng)\(a=2b\)和\(c=3b\)時(shí)，長方體的體積和表面積。

3.應(yīng)用題：某班級(jí)有學(xué)生50人，其中男生和女生的比例是3:2。為了提高班級(jí)的體育活動(dòng)水平，學(xué)校計(jì)劃選拔一部分學(xué)生參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)，選拔比例是班級(jí)人數(shù)的40%。

問題：計(jì)算選拔參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的男生和女生各有多少人。

4.應(yīng)用題：一個(gè)圓形花壇的半徑為5米，花壇的邊緣種植了一圈花草。已知花草的寬度為0.5米，且花草的種植使得花壇的面積增加了50平方米。

問題：計(jì)算種植花草后，花壇的半徑和面積。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.A.0

2.B.\(x^3\)

3.A.\(a_n=3n-1\)

4.A.2

5.C.3

6.A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

7.B.3

8.D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

9.C.13

10.D.16

二、判斷題

1.√

2.×

3.√

4.√

5.×

三、填空題

1.11

2.-1,2

3.(-3,-4)

4.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\),\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

5.\(a_n=3n-5\)

四、簡答題

1.一次函數(shù)的圖像是一條直線，其斜率表示直線的傾斜程度，截距表示直線與y軸的交點(diǎn)。例如，函數(shù)\(f(x)=2x+3\)的圖像是一條斜率為2，截距為3的直線。

2.通過判別式\(\Delta=b^2-4ac\)判斷。如果\(\Delta>0\)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根；如果\(\Delta=0\)，方程有一個(gè)重根；如果\(\Delta<0\)，方程無實(shí)根。

3.等差數(shù)列是指從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是常數(shù)。例如，數(shù)列2,5,8,11,...是一個(gè)等差數(shù)列，公差為3。等比數(shù)列是指從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比是常數(shù)。例如，數(shù)列2,6,18,54,...是一個(gè)等比數(shù)列，公比為3。

4.根據(jù)三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)值。例如，\(\sin60^\circ\)是60度角的正弦值，可以通過特殊角的三角函數(shù)值得到，即\(\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

5.極限是指當(dāng)自變量的值趨向于某一特定值時(shí)，函數(shù)值所趨向的值。例如，求\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)時(shí)，可以通過洛必達(dá)法則或者泰勒展開等方法求解，得到極限值為1。

五、計(jì)算題

1.\(f'(x)=12x^3-6x^2+8x-1\)

2.\(x_1=1,x_2=\frac{3}{2}\)

3.\(S_{10}=4(1+2+3+...+10)-2(1+2+3+...+10)=4\times\frac{10\times11}{2}-2\times\frac{10\times11}{2}=220\)

4.\(\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

5.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)

六、案例分析題

1.（1）總成本=固定成本+變動(dòng)成本=10元+5元=15元/件；總利潤=銷售收入-總成本=(15元/件×100件)-(15元/件×100件)=500元；單位利潤=總利潤/銷售件數(shù)=500元/100件=5元/件。

（2）設(shè)調(diào)整后的售價(jià)為\(p\)元，則\(p\times100\times0.8-15\times100=1000\)，解得\(p=25\)元。

2.（1）總分=2+3+4+5+6=20分。

（2）方程組為：

\[x+y+z=20\times90\%\]

\[6x+4y+2z=20\times100\%\]

解得\(x=6,y=3,z=5\)。

七、應(yīng)用題

1.打折后的售價(jià)為\(30\times0.8=24\)元；至少需要銷售\(500元/(24元-20元)=6.25\)件，由于不能銷售部分件，所以需要銷售7件。

2.體積\(V=a\timesb\timesc=2b\timesb\times3b=6b^3\)；表面積\(S=2(ab+bc+ac)=2(2b^2+3b^2+2b^2)=10b^2\)。

3.男生人數(shù)=50×\(\frac{3}{5}\)=30人；女生人數(shù)=50×\(\frac{2}{5}\)=20人；選拔參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的男生人數(shù)=30×40%=12人；選拔參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的女生人數(shù)=20×40%=8人。

4.