2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.1隨機(jī)抽樣2.1.3分層抽樣課后課時(shí)精練新人教A版必修3

PAGE1-2.1.3分層抽樣A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練一、選擇題1．將A，B，C三種性質(zhì)的個(gè)體按1∶2∶4的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取的樣本容量為21，則A，B，C三種性質(zhì)的個(gè)體分別抽取()A．12,6,3B．12,3,6C．3,6,12D．3,12,6答案C解析由分層抽樣的概念，知A，B，C三種性質(zhì)的個(gè)體應(yīng)分別抽取21×eq\f(1,7)＝3,21×eq\f(2,7)＝6,21×eq\f(4,7)＝12.2．共享單車為人們供應(yīng)了一種新的出行方式，有關(guān)部門對(duì)運(yùn)用共享單車人群的年齡分布進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：年齡12～20歲20～30歲30～40歲40歲及以上比例14%45.5%34.5%6%為調(diào)查共享單車運(yùn)用滿足率狀況，現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查，那么應(yīng)抽取20～30歲的人數(shù)為()A．12B．28C．69D．91答案D解析由分層抽樣的定義得應(yīng)抽取20～30歲的人數(shù)為200×45.5%＝91.3．某商場(chǎng)有四類食品，其中糧食類、植物油類、動(dòng)物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品平安檢測(cè)．若采納分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是()A．4B．5C．6D．7答案C解析分層抽樣中，分層抽取時(shí)都按相同的抽樣比eq\f(n,N)來抽取，本題中抽樣比為eq\f(20,40＋10＋30＋20)＝eq\f(1,5)，因此植物油類應(yīng)抽取10×eq\f(1,5)＝2(種)，果蔬類食品應(yīng)抽20×eq\f(1,5)＝4(種)，因此從植物油類和果蔬類食品中抽取的種數(shù)之和為2＋4＝6.4．在120個(gè)零件中，一級(jí)品24個(gè)，二級(jí)品36個(gè)，三級(jí)品60個(gè)，用分層抽樣的方法從中抽取容量為20的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性是()A.eq\f(1,24)B.eq\f(1,36)C.eq\f(1,60)D.eq\f(1,6)答案D解析在分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性都相等，且為eq\f(樣本容量,總體容量)，所以每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性是eq\f(20,120)＝eq\f(1,6).5．分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后根據(jù)肯定的比例，從各層獨(dú)立地抽取肯定數(shù)量的個(gè)體，組成一個(gè)樣本的抽樣方法．在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢．欲以錢數(shù)多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共100錢，要根據(jù)各人帶多少的比例進(jìn)行交稅，問三人各應(yīng)付多少稅？則下列說法錯(cuò)誤的是()A．甲應(yīng)付51eq\f(41,109)錢B．乙應(yīng)付32eq\f(24,109)錢C．丙應(yīng)付16eq\f(56,109)錢D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少答案B解析由分層抽樣可知，抽樣比為eq\f(100,560＋350＋180)＝eq\f(10,109)，則甲應(yīng)付eq\f(10,109)×560＝51eq\f(41,109)(錢)；乙應(yīng)付eq\f(10,109)×350＝32eq\f(12,109)(錢)；丙應(yīng)付eq\f(10,109)×180＝16eq\f(56,109)(錢)．故選B.二、填空題6．甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采納分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)．若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件．答案1800解析設(shè)乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為x件，則甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為(4800－x)件．由題意，得eq\f(50,80)＝eq\f(4800－x,4800)，解得x＝1800.7．某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛．為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取的輛數(shù)為________．答案6,30,10解析設(shè)三種型號(hào)的轎車依次抽取x輛，y輛，z輛，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,1200)＝\f(y,6000)＝\f(z,2000)，,x＋y＋z＝46，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝30，,z＝10.))故填6,30,10.8．某中學(xué)針對(duì)學(xué)生發(fā)展要求，開設(shè)了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個(gè)社團(tuán)，已知報(bào)名參與這兩個(gè)社團(tuán)的學(xué)生共有800人，根據(jù)要求每人只能參與一個(gè)社團(tuán)，各年級(jí)參與社團(tuán)的人數(shù)狀況如下表：高一年級(jí)高二年級(jí)高三年級(jí)泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社團(tuán)的人數(shù)占兩個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，為了了解學(xué)生對(duì)兩個(gè)社團(tuán)活動(dòng)的滿足程度，從中抽取一個(gè)50人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則從高二年級(jí)“剪紙”社團(tuán)的學(xué)生中應(yīng)抽取________人．答案6解析解法一：因?yàn)椤澳嗨堋鄙鐖F(tuán)的人數(shù)占兩個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，故“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)占兩個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的eq\f(2,5)，所以“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)為800×eq\f(2,5)＝320.因?yàn)椤凹艏垺鄙鐖F(tuán)中高二年級(jí)人數(shù)比例為eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以“剪紙”社團(tuán)中高二年級(jí)人數(shù)為320×eq\f(3,10)＝96.由題意知，抽樣比為eq\f(50,800)＝eq\f(1,16)，所以從高二年級(jí)“剪紙”社團(tuán)中抽取的人數(shù)為96×eq\f(1,16)＝6.解法二：因?yàn)椤澳嗨堋鄙鐖F(tuán)的人數(shù)占兩個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，故“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)占兩個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的eq\f(2,5)，所以抽取的50人的樣本中，“剪紙”社團(tuán)中的人數(shù)為50×eq\f(2,5)＝20.又“剪紙”社團(tuán)中高二年級(jí)人數(shù)比例為eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以從高二年級(jí)“剪紙”社團(tuán)中抽取的人數(shù)為20×eq\f(3,10)＝6.三、解答題9．某單位有技師18人、技術(shù)員12人、工程師6人．須要從這些人中抽取一個(gè)容量為n(n∈N*)的樣本，假如采納系統(tǒng)抽樣的方法抽取，不用剔除個(gè)體；假如采納分層抽樣的方法抽取，各層抽取結(jié)果都是整數(shù)；假如樣本容量增加1，則在采納系統(tǒng)抽樣時(shí)，須要在總體中先剔除1個(gè)個(gè)體，求樣本容量．解依題意，知總體容量為6＋12＋18＝36.當(dāng)樣本容量是n時(shí)，由題意知，系統(tǒng)抽樣的間隔為eq\f(36,n)，分層抽樣的抽樣比是eq\f(n,36)，抽取工程師的人數(shù)為eq\f(n,36)×6＝eq\f(n,6)，技術(shù)員的人數(shù)為eq\f(n,36)×12＝eq\f(n,3)，技工的人數(shù)為eq\f(n,36)×18＝eq\f(n,2)，∴n應(yīng)是36的約數(shù)且是6的倍數(shù)，即n的可能取值是6,12,18.當(dāng)樣本容量為n＋1時(shí)，系統(tǒng)抽樣的間隔為eq\f(35,n＋1).∵eq\f(35,n＋1)必需為正整數(shù)，∴n只能取6，即樣本容量n＝6.B級(jí)：實(shí)力提升練10．某中學(xué)實(shí)行了為期3天的新世紀(jì)體育運(yùn)動(dòng)會(huì)，同時(shí)進(jìn)行全校精神文明擂臺(tái)賽．為了解這次活動(dòng)在全校師生中產(chǎn)生的影響，分別在全校500名教職員工、3000名初中生、4000名中學(xué)生中作問卷調(diào)查，假如要在全部答卷中抽出120份用于評(píng)估．(1)應(yīng)如何抽取才能得到比較客觀的評(píng)價(jià)結(jié)論？(2)要從3000份初中生的答卷中抽取一個(gè)容量為48的樣本，假如采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，應(yīng)如何操作？(3)為了從4000份中學(xué)生的答卷中抽取一個(gè)容量為64的樣本，如何運(yùn)用系統(tǒng)抽樣抽取到所需的樣本？解(1)由于這次活動(dòng)對(duì)教職員工、初中生和中學(xué)生產(chǎn)生的影響不會(huì)相同，所以應(yīng)當(dāng)實(shí)行分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣．因?yàn)闃颖救萘繛?20，總體個(gè)數(shù)為500＋3000＋4000＝7500，則抽樣比eq\f(120,7500)＝eq\f(2,125)，所以有500×eq\f(2,125)＝8,3000×eq\f(2,125)＝48,4000×eq\f(2,125)＝64，所以在教職員工、初中生、中學(xué)生中抽取的個(gè)體數(shù)分別是8,48,64.分層抽樣的步驟是①分層：分為教職員工、初中生、中學(xué)生，共三層；②確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)：在教職員工、初中生、中學(xué)生中抽取的個(gè)體數(shù)分別是8,48,64；③各層分別按簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本；④綜合每層抽樣，組成樣本．這樣便完成了整個(gè)抽樣過程，就能得到比較客觀的評(píng)價(jià)結(jié)論．(2)由于簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣有兩種方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．假如用抽簽法，要作3000個(gè)號(hào)簽，費(fèi)時(shí)費(fèi)勁，因此采納隨機(jī)數(shù)法抽取樣本，步驟是①編號(hào)：將3000份答卷都編上號(hào)碼：0001,0002,0003，…，3000；②在隨機(jī)數(shù)表上隨機(jī)選取一個(gè)起始位置；③規(guī)定讀數(shù)方向：向右連續(xù)取數(shù)字，以4個(gè)數(shù)為一組，假如讀取的4位數(shù)大于3000，則去掉，假如遇到相同號(hào)碼則只取一個(gè)，這樣始終到取滿48個(gè)號(hào)碼為止．(3)由于4000÷64＝62.