高分子材料流變學(xué)3專業(yè)課教材

高分子材料流變學(xué)主講：陳璞微博/chenpu28第五章流變學(xué)基礎(chǔ)方程第一節(jié)連續(xù)性方程——質(zhì)量守恒律第二節(jié)運(yùn)動(dòng)方程——?jiǎng)恿渴睾懵傻谌?jié)能量方程——能量守恒律第四節(jié)平行板間和管道中的流變過(guò)程高分子流變學(xué)主要研究高分子液體在流動(dòng)過(guò)程中所表現(xiàn)的非線性粘彈性及其規(guī)律。高分子流變過(guò)程遵循自然界普遍適用的質(zhì)量守恒律、動(dòng)量守恒律和能量守恒律。高分子流變過(guò)程與其它流體輸運(yùn)過(guò)程的主要差別在于高分子液體是一種特殊的非牛頓型流體，表現(xiàn)出異常的非線性粘彈性，遵循特殊的流動(dòng)本構(gòu)方程。哈米爾頓算子?，具有矢性和微分的雙重性質(zhì)。梯度：u為數(shù)性函數(shù)散度A為矢性函數(shù)旋度?稱為拉普拉斯算子。密度梯度ρV散度它反映了流動(dòng)場(chǎng)中質(zhì)量發(fā)散量?！?.1連續(xù)性方程我們可把流動(dòng)的聚合物看作連續(xù)介質(zhì)。所謂連續(xù)介質(zhì)就是物體是由一個(gè)挨一個(gè)的、具有確定質(zhì)量的、連續(xù)地充滿空間的眾多微小質(zhì)點(diǎn)所組成的。流體動(dòng)力學(xué)三大基礎(chǔ)方程連續(xù)性方程運(yùn)動(dòng)方程能量方程

設(shè)無(wú)限大空間內(nèi)充滿流體，在固定的空間坐標(biāo)系中任取封閉曲面A，設(shè)其包圍體積為V，考察單位時(shí)間內(nèi)曲面A中包圍流體的質(zhì)量變化率為：該質(zhì)量變化率應(yīng)等于單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)曲面A的凈質(zhì)量流量。在A上任取面元dA，設(shè)dA的方向指向封閉曲面的外法線方向。假定dA處流體的流速為

v，則單位時(shí)間通過(guò)dA的體積流量為（－v·dA），相應(yīng)的通過(guò)dA的質(zhì)量流量為（－ρv·dA），于是有：上式為連續(xù)性方程的積分形式。上式表示單位時(shí)間內(nèi)，體積V中流體的質(zhì)量變化等于該時(shí)間內(nèi)穿過(guò)曲面A的凈流量。根據(jù)Gauss定理：式（5－2）變?yōu)椋阂祈?xiàng)后：由于V區(qū)域?yàn)闊o(wú)限大空間中任取的區(qū)域，所以式

(5－3)積分等于零，只有被積函數(shù)等于零：此公式可稱為連續(xù)性方程的微分形式。得到：式（5－6）也可改寫為：此公式可稱為全導(dǎo)數(shù)形式的連續(xù)性方程。利用散度公式的性質(zhì)：對(duì)于任何一種穩(wěn)定流動(dòng)，有所以由式（5－5）得知：此公式是另一種全導(dǎo)數(shù)形式的連續(xù)性方程。對(duì)于不可壓縮流體的穩(wěn)定流動(dòng)，有則由式（5－7）得知：在直角坐標(biāo)系中，式（5－10）的顯式表示為：即速度矢量的散度等于零。這是不可壓縮流體穩(wěn)定流動(dòng)的連續(xù)性方程。對(duì)于大多數(shù)高分子材料熔體加工過(guò)程均可近似地視其為不可壓縮流體的穩(wěn)定流動(dòng)，故連續(xù)性方程可用式（5－10）表示。注意采用的坐標(biāo)系不同，式（5－10）的顯式表示不同。其中直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程最常用。對(duì)式（5－8）的說(shuō)明：如密度ρ是時(shí)間t和空間x、y、z的函數(shù)，即ρ=ρ(t,x,y,z)。根據(jù)全微分的定義可得：對(duì)于一般流體，式（5－8）可展開為：

是由時(shí)間變化而引起的質(zhì)量變化，是由于場(chǎng)的不穩(wěn)定性引起的質(zhì)量變化，是局部項(xiàng)。

是由空間位置改變而引起的質(zhì)量變化，是由于場(chǎng)的不均勻性引起的質(zhì)量變化，是遷移項(xiàng)?？傻眠B續(xù)性方程的物理意義：

質(zhì)量的總變化量由兩部分組成：

如將上式的密度ρ去掉，則得到一種所謂“全微－偏微分關(guān)系算符”：對(duì)于任一物理量R，可表示為：由算符d/dt或D/Dt所表示的函數(shù)dR/dt或DR/Dt稱為“隨體導(dǎo)數(shù)”。它的意思是指物理量隨著流體質(zhì)點(diǎn)一起運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的變化率?！半S體導(dǎo)數(shù)”由兩部分組成：局部導(dǎo)數(shù)+對(duì)流導(dǎo)數(shù)局部導(dǎo)數(shù)

：是物理量的局部變化，是由場(chǎng)的不穩(wěn)定性而引起的。對(duì)流導(dǎo)數(shù)

：是物理量的對(duì)流變化，是由空間位置改變而引起的。§5.1思考題3．“隨體導(dǎo)數(shù)”表示什么意義？它有哪兩部分組成?1．了解微分形式的連續(xù)性方程式(5－5)、全導(dǎo)數(shù)形式的連續(xù)性方程式(5－7)。2．試述另一種全導(dǎo)數(shù)形式的連續(xù)性方程式(5－8)的物理意義。§5.2運(yùn)動(dòng)方程x2△x1x3x1△x2△x3今以較簡(jiǎn)單的直角坐標(biāo)系為例，用“微小立方體積元”推導(dǎo)連續(xù)性方程。按質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理有：公式的物理意義為：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受的外力和。一．作用在運(yùn)動(dòng)流體上的力、應(yīng)力1．動(dòng)量與力動(dòng)量也可用單位體積流體的動(dòng)量ρV來(lái)表示。力可把力看作是單位時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的輸入量。2．作用在運(yùn)動(dòng)流體上的力、應(yīng)力可分為兩大類質(zhì)量力（體積力、體力）

表面力（面力）

（1）質(zhì)量力

流體受到的與其質(zhì)量或體積成正比的力。這種力作用在流體的每一個(gè)微團(tuán)上。如：重力、慣性力、電磁力等。單位體積的重力W可表示為：（2）表面力、一點(diǎn)處的應(yīng)力

作用于流體表面微團(tuán)上的力稱為表面力。表面應(yīng)力定義：以法線n為方向，包圍點(diǎn)M的面元δS上的表面力δF，其極限就是M點(diǎn)處的表面應(yīng)力σ(n)。表面應(yīng)力是面元法向單位矢量n的函數(shù)，記為σ(n)或σn。

一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不能用一個(gè)固定的作用應(yīng)力來(lái)描述，而要用九個(gè)數(shù)（分量）組成的應(yīng)力張量來(lái)描述。表面應(yīng)力σ可分解為σ法(法向應(yīng)力)σ切(切向應(yīng)力)二．張量的初步概念1．張量的定義（1）標(biāo)量?jī)H由數(shù)值大小所決定的物理量，叫數(shù)量或標(biāo)量。（2）矢量（向量）既有大小又有方向的物理量，叫向量或矢量。（3）張量在一點(diǎn)處不同方向上具有不同量值的物理量稱為張量。應(yīng)力張量要用九個(gè)分量來(lái)描述。要用九個(gè)分量來(lái)描述的稱為二階張量；要用三個(gè)分量來(lái)描述的稱為一階張量；標(biāo)量則稱為零階張量。張量的分量數(shù)目等于3階數(shù)。2．應(yīng)力張量σzzσzxσzyσxyσxzσxxσyyσyzσyxzyx物體受力后任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)需由九個(gè)分量組成的一個(gè)應(yīng)力張量來(lái)描述。

σxσyσz分別作用在垂直于x軸、y軸、z軸的面上，可沿x、y、z三個(gè)方向分解，共有九個(gè)分力（分量），如圖所示。用應(yīng)力張量形式表示為：法向應(yīng)力分量：σxx

σyy

σzz切應(yīng)力分量：σxy

σyx

σxz

σzx

σyz

σzy當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，即不發(fā)生旋轉(zhuǎn)，根據(jù)切應(yīng)力互等定律：

σxy

=σyx

，σxz=

σzx，σyz=σzy。所以上述九個(gè)分量中，只有六個(gè)是獨(dú)立的。這樣，上述的應(yīng)力張量可表示為：在直角坐標(biāo)系中，取δ11=δ22

=

δ33

=

1，

δij=0（i≠j)，則可得張量：3．幾個(gè)特殊張量（1）單位張量

I

或δij滿足δij=δji

，稱為對(duì)稱張量，記作：（2）對(duì)稱張量將矢量A（A1，A2，A3）和矢量B（B1，B2，B3）排成一個(gè)數(shù)組，記作：（3）并矢張量一般情況下AB≠BA兩矢量的并矢積為一張量在同一坐標(biāo)系中，如兩張量的各個(gè)分量全部對(duì)應(yīng)相等，即Pij=Qij，則兩張量相等，記作：4．張量的代數(shù)運(yùn)算（1）張量相等P≡Q（2）張量的加減兩張量對(duì)應(yīng)分量相加減，稱為張量的加減，記作：T=P±Q據(jù)此，可將一個(gè)張量分解為n個(gè)張量，或?qū)個(gè)張量合成為一個(gè)張量。例如：從上式可見(jiàn)：綜合這二式，可得：如i=j，δij

=1，則σij

=－P+τij如i≠j，δij

=0，則σij

=τij式中δij為單位張量（3）張量與標(biāo)量的乘（除）把張量Pij各個(gè)分量分別乘以（或除以）標(biāo)量λ，結(jié)果Tij=λPij，T也是張量，（4）向量與張量的乘積向量與張量點(diǎn)乘，不論是左乘或右乘，其積均為一個(gè)新矢量。考察流體中一無(wú)限小體積元，其速度為v，對(duì)其動(dòng)量矢量的x1分量進(jìn)行研究，有：三．運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)外力主要有三部分：流體流動(dòng)時(shí)作用在體積元上的壓力在x1方向的分量P1，粘彈力在x1方向的分量VE1，重力在x1方向的分量G1。代入式（5－14），得到：同理可求出動(dòng)量方程在x2、x3方向的分量式。綜合寫出張量表示式：

這就是一般粘彈性流體的動(dòng)量方程，也稱運(yùn)動(dòng)方程。把式（5－19）分解為各個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)方程x方向上的運(yùn)動(dòng)方程為：y方向上的運(yùn)動(dòng)方程為：z方向上的運(yùn)動(dòng)方程為：（3）將Dv/Dt展開后的各個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)方程∵v=v(t，x，y，z)

vx

=vx(t，x，y，z)……∴求全導(dǎo)數(shù)即得：X方向：y方向：z方向：物理意義：運(yùn)動(dòng)方程實(shí)質(zhì)上與牛頓力學(xué)第二定律相似。左邊括號(hào)內(nèi)第一部分：表示速度隨時(shí)間的變化率，又稱局部加速度。左邊括號(hào)內(nèi)第二部分（其余三項(xiàng)）：是由場(chǎng)的不均勻性引起的加速度，又稱遷移加速度。慣性力項(xiàng)：反映單位時(shí)間內(nèi)、單位體積流體的動(dòng)量增量。右邊的物理意義：重力項(xiàng)，反映重力的動(dòng)量的影響。

靜壓力項(xiàng)，反映靜壓力對(duì)動(dòng)量的影響。粘性力項(xiàng)，反映流體粘性對(duì)動(dòng)量的影響。綜上所述，運(yùn)動(dòng)方程的物理意義可看作：慣性力=靜壓力+粘性力+重力運(yùn)動(dòng)方程是流體力學(xué)、流變力學(xué)中一個(gè)最普遍的方程。是任何流體流動(dòng)的動(dòng)量守恒方程。因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)方程很難得到普遍解，所以在具體應(yīng)用時(shí)，往往都作一些假設(shè)，使之簡(jiǎn)化，以便與連續(xù)方程、應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系式等聯(lián)立求解。這樣，運(yùn)動(dòng)方程寫起來(lái)很復(fù)雜，但應(yīng)用起來(lái)卻較為簡(jiǎn)單。式中?p為壓力梯度，記為：于是Hamilton算子可縮寫記為：

此方程即著名的Navier-Stokes方程，為牛頓流體力學(xué)中的基本方程。式(5－19)表示，流體元流動(dòng)過(guò)程中動(dòng)量的變化有三種外力的貢獻(xiàn)，這三種外力是：壓力、粘彈力和重力。由于高分子流體的粘度往往很大，重力的影響一般很小，常忽略不計(jì)。因此影響流體流動(dòng)的主要外力為壓力和粘彈力。對(duì)不可壓縮的牛頓流體，因?yàn)槊芏圈?、粘度?為常數(shù)，偏應(yīng)力張量，故式(5－19)可以簡(jiǎn)化為：式(5－23)是粘彈性流體運(yùn)動(dòng)方程的一個(gè)特例，其分量式記為：式中?稱為L(zhǎng)aplace算子，在直角坐標(biāo)系中的顯式為：§5.2思考題1．作用在流體上的力可以分為哪幾類?2．了解運(yùn)動(dòng)方程的物理意義及應(yīng)用范圍?！?.3能量方程聚合物的加工通常是在粘流態(tài)進(jìn)行的，幾乎所有聚合物加工過(guò)程都包含流動(dòng)能量的交換，加熱和冷卻等熱傳遞過(guò)程?？偰芰?內(nèi)能（E）+動(dòng)能（K）

=流動(dòng)能量（V方向）+熱傳能量（Q）+應(yīng)力作功能量（σ方向）+重力作功能量（g方向）根據(jù)熱力學(xué)第一定律，即能量守恒定律表示為：此公式的物理意義為：封閉系統(tǒng)的任何能量變化，或源于與外界的功交換，或源于與外界的熱交換，否則能量守恒。設(shè)在無(wú)限大空間內(nèi)充滿連續(xù)流體，其占有空間域A的流體系統(tǒng)，在單位時(shí)間內(nèi)的能量變化律為：域A流體系統(tǒng)中的內(nèi)能和動(dòng)能分別為：設(shè)A域中的流體與外界的熱量交換只計(jì)傳導(dǎo)熱，不計(jì)輻射熱。熱流矢量q為：A域內(nèi)的流體與外界的熱交換率為：外力對(duì)體系作功的功率＝表面力功率＋體積力功率表面力：壓力與粘彈力；體積力：重力。由于體積力遠(yuǎn)小于表面力，故忽略不計(jì)。外力的功率為：該功率包括各向同性壓力和偏應(yīng)力張量的貢獻(xiàn)。將式(5－28)～(5－32)代入式(5－27)中，得到流動(dòng)過(guò)程中能量方程的積分形式：通過(guò)適當(dāng)?shù)难菟悖€可得到能量方程的微分形式：這是一個(gè)九項(xiàng)對(duì)應(yīng)乘積之和。其中既有剪切應(yīng)力分量與剪切速度梯度的貢獻(xiàn)（粘性力貢獻(xiàn)），又有法向應(yīng)力分量與拉伸速度梯度的貢獻(xiàn)（彈性力貢獻(xiàn)）。如將（5－34）展開，寫得具體一些，便有：這就是常用于求解溫度分布的能量守恒方程。1．物理意義討論：（1）單位時(shí)間內(nèi)某一點(diǎn)的溫度變化（2）

由傳熱引起的溫度變化，即空間位置變化所引起的溫度變化。（4）機(jī)械功變?yōu)闊崮芩鸬臏囟茸兓?。?）這是膨脹功引起的變化。綜上所述，流體中某一點(diǎn)的溫度變化，是熱傳導(dǎo)、膨脹功和機(jī)械功作用的結(jié)果。2．其它幾種情況的能量守恒方程（2）如微元體內(nèi)有均勻的內(nèi)熱源，也應(yīng)考慮進(jìn)去。（1）考慮摩擦熱引起的溫度變化，右邊加一項(xiàng)其物理意義為，流體流動(dòng)過(guò)程中體系能量的變化，決定于與外界的熱交換和功交換。對(duì)于粘彈性流體而言，功交換既包括粘性力貢獻(xiàn)，也包括彈性力貢獻(xiàn)。

這說(shuō)明：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某一點(diǎn)的溫度變化，等于熱傳導(dǎo)引起的或空間位置變化所引起的溫度變化。上述公式中cv

、

ρ、p、v和x、y、z均是可測(cè)的，可得溫度分布和速度分布：（4）如粘度不太大時(shí)，可以忽略，如果流體又是不可壓縮的，則式(5-34)變?yōu)椋豪}：不可壓縮粘彈性流體的穩(wěn)態(tài)簡(jiǎn)單剪切流場(chǎng)中的輸運(yùn)方程。根據(jù)上述簡(jiǎn)化假定，輸運(yùn)過(guò)程基本方程得以簡(jiǎn)化，得到：§5.3思考題1．在流動(dòng)場(chǎng)中的總能量是由哪幾部分組成?2．了解能量守恒方程的物理意義?！?.4平行板間和管道中的流變過(guò)程一．平行板間的等溫拖曳流兩塊間距為H的平板，上板以v0沿x方向流動(dòng)，下板靜止，兩板溫度保持Tw不變。簡(jiǎn)化模型1．不可壓縮的牛頓型流體，穩(wěn)定層流密度和粘度為常數(shù)2．H很小，一維流動(dòng)。3．Vy=Vz=0，4．物料在板壁上無(wú)滑移5．兩板的溫度Tw，6．p=常數(shù)7．可忽略重力和慣性力的作用經(jīng)簡(jiǎn)化假定，得輸運(yùn)過(guò)程基本方程為：推導(dǎo)公式（5－40）～（5－43）：上述方程聯(lián)立得到一個(gè)方程組，但為了求解上述問(wèn)題，還必須采用所研究的牛頓型流體的本構(gòu)方程：邊界條件為：由式(5－41)積分得：將式(1)代入式(5－46)得：將式(2)積分得：將式(1)、(2)代入式(5－45)得：將式(4)經(jīng)兩次積分得：利用邊界條件來(lái)確定各積分常數(shù)(1)求C1(2)求C2當(dāng)y=0時(shí)，vx

=0，從式(3)可得：(3)求C3、

C4當(dāng)y=0時(shí)，T(0)=Tw

，從式(6)可知：當(dāng)y=H時(shí)，T(H)=Tw

，并將式(7)、(9)代入式(6)得：根據(jù)C1、C2、C3、C4求解切應(yīng)力分布、速度分布和溫度分布：(1)將式(7)代入(1)，得切應(yīng)力分布：(2)將式(7)、(8)代入(3)，得線速度分布：(3)將(7)、(9)、(10)的C1、C2、C3值代入(6)，得溫度分布：這就是溫度分布方程式。推導(dǎo)的式(12)和式(13)即為式(5－48)。上述方程組合在一起，構(gòu)成一個(gè)定解問(wèn)題。通過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算，可求得流體在兩塊無(wú)限大平板間等溫拖曳流中的速度分布和溫度分布：為便于作圖可將式(5－48)變?yōu)椋?/p>

由圖5－5中的速度分布和溫度分布圖可知，在無(wú)限大平板間的等溫拖曳流中，速度分布為線性分布，而溫度分布為拋物線分布，在流道中央溫度最高，接近兩板處流體溫度與板的溫度相等，等于Tw。在流道中央