備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第2講-兩條直線的位置關(guān)系

第2講兩條直線的位置關(guān)系第八章平面解析幾何考向預(yù)測(cè)核心素養(yǎng)一是利用直線方程判定兩條直線的位置關(guān)系；二是利用兩條直線間的位置關(guān)系求直線方程；三是綜合運(yùn)用直線的知識(shí)解決諸如中心對(duì)稱、軸對(duì)稱等常見的題目，大部分都是客觀題.直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算01基礎(chǔ)知識(shí)回顧一、知識(shí)梳理1．兩條直線的平行與垂直(1)兩條直線平行若l1∥l2，則l1與l2的傾斜角α1與α2相等，由α1＝α2，可得tanα1＝tanα2，即k1＝k2.因此，若l1∥l2，則____________．

k1＝k2(2)兩條直線垂直設(shè)兩條直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，則直線l1，l2的方向向量分別是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，于是l1⊥l2?a⊥b?a·b＝0?1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1.也就是說，l1⊥l2?________________．k1k2＝－13．三種距離點(diǎn)點(diǎn)距點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝______________________點(diǎn)線距點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝_________________________線線距兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝_____________________

常用結(jié)論1．兩個(gè)充要條件(1)兩條直線平行或重合的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0.(2)兩條直線垂直的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.2．三種直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.3．四種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，2b－y)．(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x，2b－y)．(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k＋y，x－k)．二、教材衍化1．(人A選擇性必修第一冊(cè)P67習(xí)題2.2T8(3)改編)已知直線l過點(diǎn)(0，3)，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是(

)A．x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0解析：依題意得直線l的斜率為1，又直線l過點(diǎn)(0，3)，所以直線l的方程為y－3＝1×(x－0)，即x－y＋3＝0.√2．(人A選擇性必修第一冊(cè)P79習(xí)題2.3T9改編)若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為________．答案：－93．(人A選擇性必修第一冊(cè)P79習(xí)題2.3T7改編)兩條平行直線l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之間的距離為________．×√×√二、易錯(cuò)糾偏1．(忽略兩直線平行的充要條件致誤)直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m＝(

)A．2 B.－3C．2或－3 D.－2或－3√√3．(忽略兩直線垂直的充要條件致誤)已知直線l1：ax＋y－4＝0和l2：2x＋ay＋1＝0，若l1⊥l2，則a＝________．解析：因?yàn)閘1⊥l2，則2a＋a＝0，所以a＝0.答案：04．(位置關(guān)系考慮不周全致誤)已知點(diǎn)A(3，2)和B(－1，4)到直線ax＋y＋1＝0的距離相等，則a的值為________．02核心考點(diǎn)共研√√考點(diǎn)一兩條直線的位置關(guān)系(自主練透)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：能根據(jù)斜率判定兩條直線的位置關(guān)系．解析：若直線l1∥l2，則3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，但m＝－1時(shí)，兩直線方程分別為x－y－1＝0，－3x＋3y＋3＝0即x－y－1＝0，兩直線重合，只有m＝3時(shí)兩直線平行，A錯(cuò)誤，B正確；2．經(jīng)過拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是(

)A．6x－4y－3＝0

B.3x－2y－3＝0C．2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0√√4．(多選)(2022·葫蘆島協(xié)作校高二考試)已知A(1，2)，B(－3，4)，C(－2，0)，則(

)A．直線x－y＝0與線段AB有公共點(diǎn)B．直線AB的傾斜角大于135°C．△ABC的邊BC上的中線所在直線的方程為y＝2D．△ABC的邊BC上的高所在直線的方程為x－4y＋7＝0√√√解析：如圖，因?yàn)閗OA＝2>1，kOB<0，所以直線x－y＝0與線段AB無公共點(diǎn)，A錯(cuò)誤；(1)兩條直線平行、垂直的判斷方法若已知兩條直線的斜率存在．①兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等．②兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于－1.[提醒]

判斷兩條直線位置關(guān)系應(yīng)注意：〈1〉注意斜率不存在的特殊情況．〈2〉注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．(2)由兩條直線平行與垂直求參數(shù)的值的解題策略在解這類問題時(shí)，一定要“前思后想”．“前思”就是在解題前考慮斜率不存在的可能性，是否需要分情況討論；“后想”就是在解題后，檢驗(yàn)答案的正確性，看是否出現(xiàn)增解或漏解．考點(diǎn)二兩條直線的交點(diǎn)與距離問題(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．2．探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離．角度1兩條直線的交點(diǎn)

(1)對(duì)于任給的實(shí)數(shù)m，直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通過一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A．(9，－4)

B.(－9，－4)

C．(9，4) D.(－9，4)√(2)經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點(diǎn)，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線的方程為__________________．【答案】(2)4x－3y＋9＝0角度2距離問題

已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)P.(1)點(diǎn)A(5，0)到直線l的距離為3，求直線l的方程；(2)求點(diǎn)A(5，0)到直線l的距離的最大值．解得交點(diǎn)P(2，1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到直線l的距離，則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)．所以dmax＝|PA|＝

若將本例變?yōu)椋褐本€l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)且到點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(3，4)的距離相等，求直線l的方程．當(dāng)AB∥l時(shí)，又kAB＝2，所以直線l的方程為y－1＝2(x－2)即2x－y－3＝0，當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí)，又AB的中點(diǎn)為(2，2)．所以直線l的方程為x＝2.利用距離公式應(yīng)注意的點(diǎn)(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|．(2)兩條平行線間的距離公式要先把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等再利用距離公式求解．|跟蹤訓(xùn)練|1．(多選)已知直線l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為(

)A．2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0√√√√√3．若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為________．考點(diǎn)三對(duì)稱問題(思維發(fā)散)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：對(duì)稱問題的核心是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題，要把握兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線l對(duì)稱，則線段MN的中點(diǎn)在直線l上，且直線l與直線MN垂直．

(鏈接常用結(jié)論3)已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程．【解】

(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′必在直線m′上．又因?yàn)閙′經(jīng)過點(diǎn)N(4，3)，所以由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.

在本例條件下，求直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱的直線l′的方程．解：設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)，因?yàn)镻′在直線l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.對(duì)稱問題的求解策略(1)解決對(duì)稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解．(2)中心對(duì)稱可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)軸對(duì)稱問題利用垂直和中點(diǎn)兩個(gè)條件列方程解題．|跟蹤訓(xùn)練|如圖，已知A(4，0)，B(0，4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是(

)√03課后達(dá)標(biāo)檢測(cè)[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2022·哈師大附中模擬)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0,l2：x＋ay＋2＝0,其中a∈R,則“a＝－3”是“l(fā)1

⊥

l2”的(

)A．充分不必要條件

B.必要不充分條件C．充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：直線l1⊥l2的充要條件是a＋(a＋2)a＝0，所以a(a＋3)＝0，所以a＝0或a＝－3.故選A.√2．(2022·廣州期末)若直線y＝－2x＋3k＋14與直線x－4y＝－3k－2的交點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A．－6＜k＜－2B.－5＜k＜－3

C．k＜－6D.k＞－2√3．已知直線l：ax＋by＋c＝0與直線l′關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱，則l′的方程為(

)A．bx＋ay－c＝0 B.ay－bx－c＝0C．a(chǎn)y＋bx＋c＝0 D.ay－bx＋c＝0解析：在l的方程中以－x代替y，以－y代替x，即得l′的方程．直線ax＋by＋c＝0關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的直線l′的方程是a(－y)＋b(－x)＋c＝0，即bx＋ay－c＝0.√√√√6．過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為________．8．已知直線l1：ax＋y＋3a－4＝0和l2：2x＋(a－1)y＋a＝0，則原點(diǎn)到l1的距離的最大值是________；若l1∥l2，則a＝________．若a＝0，則兩直線方程為y－4＝0和2x－y＝0，不滿足直線平行；若a＝1，則兩直線方程為x＋y－1＝0和2x＋1＝0，不滿足直線平行；9．已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直線l1過點(diǎn)(－3，－1)；解：(1)因?yàn)閘1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.又因?yàn)橹本€l1過點(diǎn)(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等．解：(2)因?yàn)橹本€l2的斜率存在，l1∥l2，所以直線l1的斜率存在．10．已知四邊形ABCD為平行四邊形，A(0，3)，B(4，1)，D為邊AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；解：(1)如圖，設(shè)AB中點(diǎn)為M，則M(2，2)，由AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)D，可知kMD·kAB＝－1，令y＝0，則x＝1，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)．又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，設(shè)C(a，b)，(2)一條光線從點(diǎn)D射出，經(jīng)直線AB反射，反射光線經(jīng)過CD的中點(diǎn)E，求反射光線所在直線的方程．√√12．(2022·山東省精英對(duì)抗賽)直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點(diǎn)N，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱的直線方程為(

)A．2x＋3y－12＝0 B.2x＋3y＋12＝0C．2x－3y＋12＝0 D.2x－3y－12＝0√√解析：由題意，直線y＝－3x＋b與直線y＝ax＋2關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，所以直線y＝ax＋2上的點(diǎn)(0，2)關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)(－2，0)在直線y＝－3x＋b上，所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，所以直線y＝－3x－6上的點(diǎn)(0，－6)關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)(6，0)在直線y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，14．(2022·乳山市第一中學(xué)月考)從點(diǎn)A(2，3)射出的光線沿與向量a＝(8，4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在直線的方程為________．答案：x＋2y－4＝0[C素養(yǎng)提升]15．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0與點(diǎn)P(－2，2)．(1)證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過同一定點(diǎn)，并求出這一定點(diǎn)的坐標(biāo)；解：(1)顯然2＋λ與－(1＋λ)不可能同時(shí)為零，故對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，該方程都表示直線．因?yàn)榉匠炭勺冃螢?x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，解：(